王偉江

一、由一般到特殊。引導(dǎo)學(xué)生分割圖形

在解決一些圖形面積的題中，常常需要把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形，或把復(fù)雜的圖形轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的基本圖形。一般情況下，學(xué)生對(duì)特殊圖形的面積計(jì)算是熟悉的，如直角三角形、平行四邊形、矩形、菱形、正方形、圓等。在教學(xué)過(guò)程中，教師要善于在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)上啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思維，把一般化的圖形分割為特殊的、可計(jì)算的圖形。正如教育家陶行知所說(shuō)的，“接知如接枝”。

例1如圖，在四邊形ABCD中，若∠BAD=90°，AD=3，AB=4，BC=12，CD=13，求四邊形ABCD的面積。

分析：解這道題需要添加輔助線，連接BD，把四邊形的面積轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積之和。

引導(dǎo)：在讓學(xué)生思考之前，可先提問(wèn)學(xué)生：“你會(huì)求哪些四邊形的面積？”學(xué)生會(huì)回答是平行四邊形、矩形、菱形、正方形。這時(shí)接著問(wèn)：“你會(huì)求直角三角形的面積嗎？”“不規(guī)則的四邊形的面積怎樣求？”這樣教學(xué)，可使學(xué)生的思維變得有序、有目標(biāo)，學(xué)生自然而然地會(huì)想到，要求不規(guī)則的四邊形的面積，可通過(guò)連接對(duì)角線轉(zhuǎn)化為兩個(gè)三角形的面積之和來(lái)求解。

二、把握定理題設(shè)。引導(dǎo)學(xué)生補(bǔ)全圖形

幾何證明就是從已知條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理得出結(jié)論。推理的依據(jù)是與條件有關(guān)的公理、定理等。解題時(shí)，公理、定理的運(yùn)用都需要一定的條件，所以在教學(xué)中教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生自己正確把握公理、定理的題設(shè)，把分散的、孤立的條件聯(lián)系到一起，如果題中沒(méi)有能利用條件的圖形，就要添加一些輔助線補(bǔ)全圖形，以利于公理、定理等的運(yùn)用。這是學(xué)生會(huì)添加輔助線證明幾何題、會(huì)思維、會(huì)學(xué)幾何的一個(gè)很好的切入點(diǎn)。

例2.已知：如圖，PA、PB是00的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，Ac是（30的直徑。求證：PO∥BC。

分析：本題中主要運(yùn)用切線長(zhǎng)定理、等腰三角形三線合一定理和直徑所對(duì)圓周角是直角這三個(gè)定理。

引導(dǎo)：在學(xué)生思考之前，可先提問(wèn)學(xué)生：“你知道與直徑有關(guān)的定理有哪幾個(gè)？”學(xué)生容易回答是垂徑定理，直徑所對(duì)圓周角是直角等。再問(wèn)：“等腰三角形三線合一的條件是什么？本題中有等腰三角形嗎？”由于本題是切線長(zhǎng)定理運(yùn)用的一個(gè)例題，所以學(xué)生根據(jù)切線長(zhǎng)定理輕松得到PA=PB，OP平分∠APB，再聯(lián)系A(chǔ)c是QO的直徑這個(gè)條件，只要連接AB，就補(bǔ)全了等腰三角形三線合一和直徑所對(duì)圓周角兩個(gè)定理的基本圖形，運(yùn)用這兩個(gè)定理易得PO與BC都與AB垂直，從而證得PO∥BC。

三、利用幾何變換。移動(dòng)局部圖形

在解題時(shí)，當(dāng)題目給出的條件顯得不夠或者不明顯時(shí)，可以啟發(fā)學(xué)生將圖形作一定的變換，這樣將有利于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的隱含條件，抓住問(wèn)題的關(guān)鍵和實(shí)質(zhì)，使問(wèn)題得以突破，找到滿意的解答。圖形變換是一種重要的思維方法，它是一種以變化的、運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)處理分散的、孤立的問(wèn)題的思維，學(xué)生若能很好地領(lǐng)會(huì)這種解題方法的本質(zhì)特征，并能準(zhǔn)確合理地使用，在解題中就會(huì)收到奇效，也將有效地提高思維品質(zhì)。

例3.P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，LAPB=J50°PA=3，PB=4。求：Pc的長(zhǎng)。

分析：所求的線段Pc與已知線段PA、PB不構(gòu)成一個(gè)三角形，條件分散，不容易求得Pc的長(zhǎng)度，由于AABC是等邊三角形，具備了旋轉(zhuǎn)角為60°的圖形旋轉(zhuǎn)條件，因此，可將AAPB以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心作順時(shí)針60°的旋轉(zhuǎn)；還可將AABP以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，將AAPC繞點(diǎn)c逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°。

引導(dǎo)：筆者先讓學(xué)生嘗試著解本題，在學(xué)生感到無(wú)處下手時(shí)，提問(wèn)：“等邊三角形是什么對(duì)稱(chēng)圖形？”學(xué)生答：“它是軸對(duì)稱(chēng)圖形。”“還有呢？”學(xué)生又答：“它還是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形?！苯又鴨?wèn)：“那么它的旋轉(zhuǎn)中心在哪里？”“等邊三角形除了繞著它的中心旋轉(zhuǎn)，還能繞哪些點(diǎn)旋轉(zhuǎn)？”“AAPB能否繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)？”到這時(shí)，學(xué)生似乎有點(diǎn)感悟。于是就讓學(xué)生繼續(xù)思考，再試著解本題。

在實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)具體的問(wèn)題情境具體分析，讓學(xué)生在不斷地嘗試、不斷地失敗中揭示隱含在輔助線中的精彩而又獨(dú)特的思維過(guò)程，并引導(dǎo)學(xué)生的思維深入到知識(shí)的發(fā)現(xiàn)或再發(fā)現(xiàn)的過(guò)程中去，只有這樣，學(xué)生才能真正理解和掌握知識(shí)，并把教師所教的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為自己的智慧。誠(chéng)如蘇霍姆林斯基所說(shuō)的那樣：“在學(xué)生的腦力勞動(dòng)中，擺在第一位的并不是背書(shū)，不是記住別人的思想，而是讓學(xué)生本人進(jìn)行思考，也就是說(shuō)，進(jìn)行生動(dòng)的創(chuàng)造?！?