彭麗湘

【摘 要】學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提高的重要標(biāo)志是學(xué)生積累了豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是在“做”中積累起來的，充足的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)。本文以《三角形內(nèi)角和》一課的教學(xué)為例，闡明在教學(xué)中教師應(yīng)設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生在活動中積累經(jīng)驗(yàn)；運(yùn)用多種方法進(jìn)行驗(yàn)證，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透；關(guān)注學(xué)生的實(shí)踐活動與數(shù)學(xué)結(jié)論存在誤差的處理；注重探索和證明的有機(jī)結(jié)合。以此提高學(xué)生操作的有效性，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)活動；經(jīng)驗(yàn)積累；教學(xué)方法；教學(xué)案例

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志。“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)”是讓學(xué)生在“做”中積累起來的。筆者也進(jìn)行了多次操作教學(xué)的嘗試，但仍對如何提高學(xué)生操作的有效性存在困惑。在教學(xué)了《三角形內(nèi)角和》一課后，筆者對在數(shù)學(xué)活動中，如何引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用多種方法驗(yàn)證，以及注重探索與驗(yàn)證的有機(jī)結(jié)合，有了更深的了解和啟發(fā)。

【片斷回放】

片斷1：提出問題，引發(fā)猜想

1. 出示一副三角板，告訴學(xué)生三角形的內(nèi)角是指三角形里面的角。請學(xué)生分別說出兩副三角板的內(nèi)角和是多少？

2. 告訴學(xué)生三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之和就是三角形的內(nèi)角和。通過計(jì)算得知兩副三角板的內(nèi)角和都是180°。

3. 由此，拋出問題：既然三角板三個(gè)內(nèi)角和是180°，由此猜測是不是所有三角形的內(nèi)角和都是180°呢？但只有猜想可不行，還得想辦法驗(yàn)證一下。

4. 確定研究范圍

師：研究三角形的內(nèi)角和，是不是應(yīng)該包括所有的三角形？只研究黑板上這一個(gè)行不行？那就隨便畫，挨個(gè)研究吧。（學(xué)生反對）請你想個(gè)辦法吧！

“研究哪幾類三角形，就能代表所有的三角形”，從而確定研究銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形就能代表所有的三角形。

片斷2：動手操作，驗(yàn)證猜想

1. 測量的方法

（1）小組合作量一量，動手操作，組內(nèi)交流

（2）全班匯報(bào)交流

師根據(jù)學(xué)生不同的匯報(bào)結(jié)果，總結(jié)并板書“量一量”，“形狀不同的三角形內(nèi)角和大約是180°”。同時(shí)指出測量存在誤差，不夠嚴(yán)謹(jǐn)和科學(xué)，向?qū)W生提出要求，利用教學(xué)道具，想出更科學(xué)、更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)尿?yàn)證方法。

2. 學(xué)生動手探索，交流后得出以下驗(yàn)證方法：

（1）剪拼的方法

學(xué)生匯報(bào)后，師小結(jié)：能想到這個(gè)方法不簡單，拼成的看起來像平角，到底是不是平角呢，我們一起來試試看。（教師和學(xué)生剪一剪、拼一拼，把三角形的三個(gè)內(nèi)角湊到了一起，拼成了一個(gè)大角）角的兩條邊是不是在一條直線上呢？看起來挺像的，但在操作的過程中難免會產(chǎn)生誤差，有時(shí)會差一點(diǎn)點(diǎn)，誰還有別的方法確定三角形的內(nèi)角和一定是180°？

（2）折拼的方法

學(xué)生匯報(bào)后，師小結(jié)：我們要研究三角形的內(nèi)角和，實(shí)際上就是想辦法把三角形的三個(gè)內(nèi)角湊到一起，像剪和折的方法，看三個(gè)內(nèi)角拼到一起是不是180°，都是借助我們學(xué)過的平角的知識來解決問題。這三種方法都不錯(cuò)，但在操作的過程中，有時(shí)會有誤差，不太有說服力。想一想，你還能不能借助我們學(xué)過的其他圖形，說明三角形的內(nèi)角和一定是180°？

（3）演繹推理的方法

有學(xué)生提出借助學(xué)過的長方形，把一個(gè)長方形沿對角線分成兩個(gè)三角形。

師：你認(rèn)為這種方法好不好？我們看看是不是這么回事。

（演示課件：兩個(gè)完全相同的三角形內(nèi)角和等于360°，一個(gè)三角形內(nèi)角和等于180°）

師小結(jié)：這種方法避免了在剪拼過程中由于操作出現(xiàn)的誤差，非常準(zhǔn)確地說明了三角形的內(nèi)角和一定是180°。

3. 驗(yàn)證猜想

請學(xué)生把剛才研究的三角形舉起來，分別是銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，這三類三角形的內(nèi)角和都是180°，那就可以說，所有的三角形的內(nèi)角和都是180°。

師：這個(gè)結(jié)論和課前知道的或猜的一樣嗎？

4. 老師介紹科學(xué)驗(yàn)證方法

師：不同的方法，同樣的精彩，大家發(fā)現(xiàn)了嗎？無論是剪一剪、折一折，還是拼一拼，這些方法都有異曲同工之妙，那就是你們都用了轉(zhuǎn)化的策略。我發(fā)現(xiàn)你們都有數(shù)學(xué)家的頭腦。知道嗎？數(shù)學(xué)家在證明這一猜想時(shí)，也用了轉(zhuǎn)化的思想，一起來看（看課件）。

結(jié)合以上兩個(gè)教學(xué)片斷，有以下四點(diǎn)值得深思。

一、設(shè)計(jì)有效的數(shù)學(xué)活動，在活動中積累經(jīng)驗(yàn)

在片斷中，筆者設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)活動，先讓學(xué)生整體感知三角形內(nèi)角和的知識，有效地避免了新知識的“橫空出現(xiàn)”。教學(xué)時(shí)，筆者按照從特殊到一般的思路，三角板的三個(gè)內(nèi)角和是180°，于是產(chǎn)生猜測：是不是所有的三角形的內(nèi)角和都是180°？學(xué)生產(chǎn)生了進(jìn)行驗(yàn)證的需要。學(xué)生從課堂上的猜一猜、量一量、剪一剪、拼一拼、折一折等數(shù)學(xué)活動中可獲得豐富的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)，但這種經(jīng)驗(yàn)只是教學(xué)的起點(diǎn)，它還需要學(xué)生在自主探究、老師指導(dǎo)、同學(xué)交流等過程中去粗取精、反思、抽象、概括，從而內(nèi)化為學(xué)生自身的活動經(jīng)驗(yàn)。課堂上要注重讓學(xué)生通過自己的實(shí)踐、猜測、驗(yàn)證去發(fā)現(xiàn)問題、研究問題、解決問題，在這個(gè)過程中，學(xué)生獲得的不僅僅是“三角形的內(nèi)角和都是180°”這個(gè)知識，而且通過這樣的過程，積累了如何去發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的經(jīng)驗(yàn)。

二、運(yùn)用多種方法進(jìn)行驗(yàn)證，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透

學(xué)生通過畫一畫、量一量、算一算的活動親自探究，但可能由于在測量過程中出現(xiàn)誤差，導(dǎo)致結(jié)果中有的小于180°，有的大于180°；或者是由于測量方法錯(cuò)誤，出現(xiàn)偏差較大的結(jié)果。通過展示及學(xué)生互相的質(zhì)疑和點(diǎn)評，學(xué)生能初步感知到不同形狀的三角形內(nèi)角和大約是180°，并認(rèn)識到測量的方法存在誤差，不夠嚴(yán)謹(jǐn)和科學(xué)，從而促進(jìn)學(xué)生探究更科學(xué)的驗(yàn)證方法。學(xué)生通過小組合作的方式學(xué)到方法，分享經(jīng)驗(yàn)，更重要的是領(lǐng)悟到研究問題的科學(xué)方法。就學(xué)生的發(fā)展而言，探究的過程比探究獲得的結(jié)論更有價(jià)值。在很多同學(xué)都知道“三角形內(nèi)角和是180°”的情況下，要引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟“有了猜測還要去驗(yàn)證”的道理，這是一種科學(xué)的研究問題的方法，是一種求實(shí)精神。立足長遠(yuǎn)，注重長效，不僅關(guān)注知識和能力目標(biāo)的落實(shí)，更注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透。在驗(yàn)證“三角形內(nèi)角和是180°”的過程中，筆者有意識地引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到，剪拼的驗(yàn)證方法其實(shí)是把三角形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成了平角，使學(xué)生對“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想有所感悟；在對測量的結(jié)果出現(xiàn)不同答案的交流過程中，學(xué)生認(rèn)識到測量時(shí)會出現(xiàn)誤差，從而培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度和探究精神。

三、關(guān)注學(xué)生的實(shí)踐活動與數(shù)學(xué)結(jié)論存在的誤差

教學(xué)中，要關(guān)注操作活動中學(xué)生遇到的問題，學(xué)生在量算中出現(xiàn)了兩個(gè)問題：一是測量三個(gè)內(nèi)角后所得的和不是180°；二是學(xué)生已經(jīng)知道了結(jié)論，操作時(shí)不自覺地用結(jié)論來調(diào)整自己的測量數(shù)據(jù)，制造出一個(gè)偽結(jié)果。在剪的過程也出現(xiàn)了兩個(gè)問題：一是剪下來的角不知是哪個(gè)角；二是剪下來的三個(gè)角拼不成平角。筆者針對這幾個(gè)問題，在學(xué)生討論時(shí)，及時(shí)點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)驗(yàn)時(shí)應(yīng)該注意什么問題，使學(xué)生懂得在驗(yàn)證“三角形的內(nèi)角和是不是180°”時(shí)，在先測量再相加的過程中，測量時(shí)會有誤差，剪得的三角形邊不夠直時(shí)也可能會有誤差。在一系列的實(shí)驗(yàn)、操作活動中，積累一些經(jīng)驗(yàn)和方法，逐步推理歸納出“三角和的內(nèi)角和是180°”。

四、注重探索和證明的有機(jī)結(jié)合

探索活動是進(jìn)行合情推理的過程，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注重“探索與發(fā)現(xiàn)”和“演繹證明”的有機(jī)結(jié)合，有利于增強(qiáng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，以及分析和解決問題的能力。

總之，數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是在“做”中積累起來的，充足的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)、提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要基礎(chǔ)。教師也應(yīng)注意到，在設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動的同時(shí)，更要關(guān)注活動背后學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。