□王紅權(quán) 王 凱

（杭州市基礎(chǔ)教育研究室，浙江杭州 310003；杭州市源清中學(xué)，浙江杭州 310015）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)

聚焦新特點(diǎn) 研究新策略
——2017年浙江省數(shù)學(xué)新高考復(fù)習(xí)備考研究

□王紅權(quán) 王 凱

（杭州市基礎(chǔ)教育研究室，浙江杭州 310003；杭州市源清中學(xué)，浙江杭州 310015）

“文理合卷”背景下的復(fù)習(xí)備考既是機(jī)遇也是挑戰(zhàn)，必須做好“新”與“舊”的對比，在研究以往真題的基礎(chǔ)上明確方向，在做好基礎(chǔ)的同時挖掘試題的核心意涵，提升學(xué)生能力，落實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)；調(diào)整“教”與“學(xué)”的關(guān)系，把課堂教學(xué)還給學(xué)生，讓學(xué)生在體驗(yàn)中獲得數(shù)學(xué)的基本經(jīng)驗(yàn)；處理好“收”與“放”的辯證關(guān)系，懂得取舍才能取得雙贏．

數(shù)學(xué)高考；復(fù)習(xí)策略；文理合卷

以“學(xué)考選考+必考”為主要模式的教育考試改革是推進(jìn)和深化課改的必然，其作用不單是優(yōu)化選拔功能，更要在引導(dǎo)和評價學(xué)科育人功能上發(fā)揮作用，當(dāng)好學(xué)科教學(xué)的指揮棒.2017年的數(shù)學(xué)高考是浙江省本輪推進(jìn)課改后的第一次考試，數(shù)學(xué)是必考科目，每年只考一次，試卷采用文理合卷，開全國高考改革之先河.與過去的高考看起來似乎相差不大，但在新高考模式（選考走班教學(xué)）下，高中階段學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上與以往已有很大的不同，對數(shù)學(xué)的教與學(xué)都提出了新的挑戰(zhàn)，同樣對數(shù)學(xué)高考也需要進(jìn)行全新的思考［1］.針對新高考，及時準(zhǔn)確了解新特點(diǎn)，研究新的復(fù)習(xí)策略，意義重大.完全有必要根據(jù)新頒發(fā)的考試說明，研究考試范圍的新變化、考試難度的新調(diào)整、試卷結(jié)構(gòu)的新格局、熱點(diǎn)難點(diǎn)的新轉(zhuǎn)向、命題趨勢的新動向，適時調(diào)整復(fù)習(xí)備考教學(xué)計(jì)劃，確保復(fù)習(xí)質(zhì)量．

數(shù)學(xué)具有嚴(yán)密的邏輯性、結(jié)論的確定性和應(yīng)用的廣泛性等特點(diǎn).數(shù)學(xué)學(xué)科考試既要考查基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經(jīng)驗(yàn)，又要考查考生的邏輯思維能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、綜合應(yīng)用能力［2］.從這個意義上說，在現(xiàn)有條件下要達(dá)成復(fù)習(xí)備考的高效、高質(zhì)量就需要備考者有充分的準(zhǔn)備.筆者從以下三個方面簡要分析，并提出若干復(fù)習(xí)備考建議，以期對備考2017年的浙江省數(shù)學(xué)新高考有幫助．

一、新與舊的比照

2017年數(shù)學(xué)新高考試卷的最大特點(diǎn)是文理合卷，全卷難度分布必定呈現(xiàn)“文頭理尾”的規(guī)律.整卷依舊會秉承重基礎(chǔ)、重本質(zhì)，貼近中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際的一貫命題思路．

（一）從“舊”中把握“新”的核心

“文頭理尾”的難度分布樣式要求試卷更注重基礎(chǔ)，起點(diǎn)會更低，梯度更緩，區(qū)分度更大，但收官之處會更高.復(fù)習(xí)時要重視基礎(chǔ)知識和解決問題的通性通法和重視對基本技能的培養(yǎng)，選題要常規(guī)常態(tài).復(fù)習(xí)備考時要重視數(shù)學(xué)主干知識，關(guān)注知識的內(nèi)在聯(lián)系，在問題轉(zhuǎn)化的過程中凸顯本質(zhì)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的思維方式，要求對概念有深刻的理解，并能合理轉(zhuǎn)化、靈活運(yùn)用，在問題變化過程中把握其不變性．

例1（2016年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）如圖，點(diǎn)列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，（P≠Q(mào) 表示點(diǎn) P 與 Q不 重 合）． 若 dn＝|AnBn|，Sn為 △ AnBnBn＋1的 面積，則（ ）

A.{Sn}是等差數(shù)列 B.{S}是等差數(shù)列

C.{dn}是等差數(shù)列 D.syggg00是等差數(shù)列

由三角形的面積想到高，由于所有的Sn都等底，只需要考查圖 2 中的高線，顯然{hn}是等差數(shù)列，這便是等差數(shù)列的幾何模型，直觀而且本質(zhì)．

圖1

圖2

學(xué)習(xí)數(shù)列應(yīng)從數(shù)入手，利用代數(shù)手段精準(zhǔn)刻畫其變化規(guī)律，利用其函數(shù)背景揭示數(shù)列的本質(zhì)，特別是等差數(shù)列，還可以輔之以幾何直觀幫助理解，揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系．

例2 （2016年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知a≥3，函數(shù) F（x）＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－ 2}，其中

（I）求使得等式 F（x）＝x2－2ax＋4a－2 成立的x的取值范圍；

（II）（i）求 F（x）的 最 小 值 m（a）；（ii）求F（x）在區(qū)間[0，6]上的最大值 M（a）.

顯然函數(shù) F（x）隨 a 的變化而變化，所以研究函數(shù) F（x）就是研究當(dāng) a 變化時的函數(shù) F（x）具有的不變性.容易發(fā)現(xiàn)的兩個不變性是①函數(shù) g（x）＝x2－2ax＋4a－2 圖象經(jīng)過定點(diǎn)（2，2）；②函數(shù) g（x）的對稱軸 x＝a≥3.由此，簡單畫圖即可解決，把握不變性是關(guān)鍵．

（二）悟透“舊”的本質(zhì)方知“新”的對策

試題注重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)是浙江卷的特點(diǎn)之一，但試題并不刁鉆和繁難.特別是對概念的考查，除了理解的廣度，還特別關(guān)注深度，但命題立意都在最為基本的概念上，如2016年第6題.

例3 （2015年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）存在函數(shù) f（x）滿足：對任意 x∈R 都有（ ）

命題以復(fù)合函數(shù)為背景，內(nèi)隱函數(shù)概念和性質(zhì)的考查，需要對兩個函數(shù)復(fù)合時，其某些性質(zhì)（如周期性、奇偶性）具有的不變性有一定的認(rèn)識，例如：當(dāng)里層函數(shù)為周期函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)也為周期函數(shù)且周期保持不變；當(dāng)里層函數(shù)為偶函數(shù)時，復(fù)合函數(shù)也為偶函數(shù).這就把握了題目的本質(zhì)，也揭示了題目的真面目，很顯然該解法更勝一籌［3］.其實(shí)這樣的試題也貼近教學(xué)實(shí)際，這是教學(xué)中常見的問題.當(dāng)然也可以用函數(shù)概念逐一鑒別．

（三）“新”是對“舊”的延續(xù)和發(fā)展

選擇題重視概念的本質(zhì)，要求判斷準(zhǔn)確．填空題關(guān)注計(jì)算的方法，要求結(jié)論正確，多空題能更好地分散難點(diǎn).解答題以多角度、全方位的思考為突破口，展示計(jì)算和推理的過程［4］.備考選題時切忌小題過度綜合，大題獨(dú)門絕技.選題應(yīng)該遵循小題題干簡約、一事一議，解答以理解為主，計(jì)算為輔；大題適度綜合，解答應(yīng)入口淺而寬，且有一定的深度，強(qiáng)調(diào)計(jì)算和推理.這也是我省高考數(shù)學(xué)試題的一貫風(fēng)格，可以想象2017年的試題將會是難度與風(fēng)格和往年保持一致．

二、教與學(xué)的調(diào)整

（一）厘清考綱、教材和考試三者的關(guān)系，構(gòu)建學(xué)科知識網(wǎng)絡(luò)

《考試說明》（以下簡稱“考綱”）是命題的依據(jù)，也是備考者必備的資料之一.教材也是命題者的主要參考資料，用好教材也是復(fù)習(xí)中的重要一環(huán)．

例 4 （2010 年安徽省高考數(shù)學(xué)試題）設(shè){an}是任意等比數(shù)列，它的前 n 項(xiàng)和，前 2n 項(xiàng)和與前3n項(xiàng)和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是（ ）

A.X＋Z＝2Y B.Y（Y－X）＝Z（Z－X）

C.Y2＝XZ D.Y（Y－X）＝X（Z－X）

該試題即為人教版必修5第76頁復(fù)習(xí)參考題B組選擇題2：等比數(shù)列前n項(xiàng)，前2n項(xiàng)，前3n項(xiàng)的和分別為A，B，C，則（ ）

A.A＋B＝C B.B2＝AC

C.（A＋B）－C＝B2D.A2＋B2＝A（B＋C）

僅僅是對選項(xiàng)進(jìn)行了簡單的改造．

例5 （2010浙江高考數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f（x）＝（x－a）2（x－b）（a，b∈R，a＜b）．

當(dāng) a＝1，b＝2 時，求曲線 y＝f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程．

這題僅僅是人教A版選修2-1第8頁例2的變式．

例 6 （2016 浙江高考數(shù)學(xué)試題）設(shè)數(shù)列{an}滿足

證明：|an|≥2n－1（|a1|－2）.

這是壓軸題，據(jù)說平均得分不足1分，其遞推不等式取自人教A版必修5第36 頁：an＝2an－1＋1（n＞1）.僅做簡單的改造：

an＝2an-1＋1（改變系數(shù)，2 變（加絕對值）→|an－（改等式為不等式）

復(fù)習(xí)不用教材的備考是不科學(xué)的，合理和理性的回歸是高三復(fù)習(xí)不可或缺的一環(huán)，當(dāng)然回歸不是簡單的重復(fù)，是挖掘教材中問題的通性通法、思想方法和數(shù)學(xué)解決問題的一般模式，學(xué)會數(shù)學(xué)的思考問題．

（二）掌握高考真題、訓(xùn)練題和模擬題三者的功能，突破考試瓶頸

研究高考真題是深刻理解和掌握數(shù)學(xué)核心知識的一條路徑，一般高考命題都立足數(shù)學(xué)的核心知識和思想方法.譬如向量，中學(xué)為何學(xué)習(xí)向量？從歐氏幾何到笛卡爾的坐標(biāo)幾何再到向量，遵循從定性分析到定量分析再到整體統(tǒng)一分析的路子，由于定性分析無法對幾何量的位置和度量精確刻畫，必然由定量分析來克服，但解析幾何的關(guān)鍵在于坐標(biāo)原點(diǎn)值確定，這樣又因?yàn)榇_定坐標(biāo)原點(diǎn)使無關(guān)量帶入運(yùn)算，使得運(yùn)算往往比較繁雜，向量的代數(shù)結(jié)構(gòu)恰好解決了這個問題．

1.回頭看看一路走來的浙江向量試題，從沒有跳出過這個框框.如2016年理科第15題，命題組認(rèn)為需要“深刻理解它的幾何本質(zhì)”才能“使問題變得清晰簡潔”．

例7（2016年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知向量 a，b，|a|＝1，|b|＝2，若對任意單位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，則a·b的最大值是___________.

認(rèn)為畫個草圖就是揭示幾何本質(zhì)，這樣理解可能太“廣義”了，向量的幾何本質(zhì)理應(yīng)是用一套其固有代數(shù)系統(tǒng)來刻畫幾何量的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，基本的代數(shù)工具如下所述［5］.

如圖3，已知a，b是兩個向量，設(shè)m＝a＋b，n＝a－b.把兩式平方后相加，得“平行四邊形性質(zhì)”：

圖3

把兩式平方后相減，得“極化恒等式”：

從圖3中利用三角形三邊之間的關(guān)系，得“三角形不等式”：

設(shè)計(jì)者的解答：根據(jù)三角形不等式，得：

根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，得：

結(jié)合上式，得：（a－b）2≥4．

根據(jù)極化恒等式，得：

例8 （2005浙江高考數(shù)學(xué)試題）已知向量a≠e，|e|＝1 對任意 t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則（ ）

A.a⊥e B.a⊥（a－e）

C.e⊥（a－e） D.（a＋e）⊥（a－e）

試題意在用向量不等式刻畫直線外一點(diǎn)到直線的最短距離，簡潔而本質(zhì).也可以理解為是關(guān)于變量t的函數(shù)的最小值問題，筆者給出這種解法：

設(shè) f（t）＝|a － te|，則 [f（t）]2＝|a － te|2＝（t－e·a）2＋a2－（e·a）2≥a2－（e·a）2，

因?yàn)楹阌衸a－te|≥|a－e|，所以 a2－（e· a）2＝|a－e|2，

所以（e·a）2－2e·a＋1＝0，即 e·a－1＝0．

所以 e·a－1＝e·a－e2＝e·（a－e）＝0，選C．

類似的，2015年高考第15題的空間向量問題和2013年的第7題都可以用同樣的思路解決，以此為命題立意的試題在浙江可謂是考了又考.縱觀浙江的歷年向量試題，都較好地體現(xiàn)用代數(shù)的手段刻畫幾何本質(zhì)這一理念，在復(fù)習(xí)時值得思考，一味地追求建系并不是命題者的本意，也不是數(shù)學(xué)發(fā)展的本來面目，更何況因計(jì)算變得冗長而容易出錯．

2.關(guān)于函數(shù)值域的考查，立意都非常新穎，很少直白考查求某個函數(shù)的值域.常見的立意有：著眼值域的邊界、著眼值域的區(qū)域等.

例9 （2008浙江高考數(shù)學(xué)試題）已知t為常數(shù)，函數(shù) y＝|x2－2x－t|在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則t＝____．

事實(shí)上，y＝|（x－1）2－（t＋1）|，函數(shù) y＝（x－1）2在[0，3]上的值域?yàn)閇0，4]，根據(jù)圖 4，直線 y＝t＋1 只能位于區(qū)間[0，4]的中間，即 t＋1＝2，所以t＝1．

圖4

該解答著眼于值域區(qū)域的大小，簡潔而巧妙．

例 10 （2008 浙 江 高 考 數(shù) 學(xué) 試 題）若cosx＋2sinx＝－，則 tanx＝（ ）

例11（2016年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知實(shí)數(shù)a，b，c，則（ ）

從而 a2＋b2＋c2有界 .以一種全新的面貌考查函數(shù)的值域．

為了提高熟練程度的訓(xùn)練題和仿真模擬題的功能并不一致，現(xiàn)有的模擬試題并不能完全滿足訓(xùn)練要求，需要教師在備考時挖掘真題中蘊(yùn)含的東西，也唯有這樣才能高效完成“文理合卷”的首考．

三、收和放的建議

（一）在實(shí)際的教學(xué)中教師要從學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生尋求思維的生長點(diǎn)與發(fā)展方向，在充分理解教材編者的意圖和思想下，設(shè)計(jì)和學(xué)生的認(rèn)知水平與自主思維相符合的問題探究和解決的策略，給學(xué)生充分的時間和空間來進(jìn)行探究分析讓其更好的理解數(shù)學(xué).一定要重視概念的形成過程，改變重結(jié)論、輕過程的教學(xué)陋習(xí).

（二）數(shù)學(xué)教學(xué)講究“三基”（基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法）的落實(shí)，核心素養(yǎng)的養(yǎng)成，但冰凍三尺非一日之寒.“三基”和核心素養(yǎng)是通過教材中的定理、例題和習(xí)題為載體加以實(shí)現(xiàn)的，所以在復(fù)習(xí)階段一定要挖掘教材，改編課本中的例、習(xí)題的形式讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，達(dá)到串聯(lián)知識、梳理結(jié)構(gòu)、形成網(wǎng)絡(luò)，使其感受解題思想方法并非是無源之水，無本之木，而是源于教材，水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物，不僅合情合理，甚至很有人情味.能力立意并非都是難題，而是能否有數(shù)學(xué)的意識去解決問題，而不是用題型一、題型二……讓數(shù)學(xué)成為八股文.

（三）現(xiàn)在的高三復(fù)習(xí)，一般每個學(xué)校都會給全體學(xué)生定一本教輔，當(dāng)下的教輔基本特點(diǎn)是大而全，喜歡羅列高考題和難題.很多老師就是按部就班，前一天讓學(xué)生做練習(xí)，后一天課上講練習(xí)，機(jī)械循環(huán)，生累師疲還沒有什么效果.所以在復(fù)習(xí)資料的處理上應(yīng)該根據(jù)各學(xué)校生源的特點(diǎn)，注意對資料中的題目合理取舍，講解要詳略得當(dāng)，千萬不要眉毛胡子一把抓，結(jié)果什么都沒有.高三的教學(xué)最能體現(xiàn)教師的數(shù)學(xué)理解，題目不在多，在能否激發(fā)學(xué)生的思維，唯有做得精細(xì)，才能考得精彩．

最后預(yù)祝大家能在2017年的高考復(fù)習(xí)中帶領(lǐng)學(xué)生感受數(shù)學(xué)之美、享受數(shù)學(xué)之趣，師生都能收獲成功的愉悅 .

［1］伊建軍.新高考模式下的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略[EB/OL]．（2016-10-18）[2017-02-01].http:// www.eol.cn/zhejiang/zhejiang_news/201610/ t20161018_1458748.shtml．

［2］浙江教育考試院 .2017 年浙江省普通高考考試說明·數(shù)學(xué)［J］.浙江考試，2016（10）：26-35．

［3］張金良.把握數(shù)學(xué)問題本質(zhì) 提高課堂教學(xué)立意［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2016（6）：2-4 ．

［4］2015 年浙江省高考數(shù)學(xué)命題思路及試 題 評 析 [EB/OL]．（2015-06-09）［2017-02-01］.http：//edu.zjol.com.cn/05ks/system/2015/06/ 09/020690529.shtml．

［5］王紅權(quán).一類與向量模長有關(guān)試題的簡潔解法［J］.中國數(shù)學(xué)教育，2015（3）：35-38 ．