☉浙江寧波市四眼碶中學(xué) 潘小梅

關(guān)注學(xué)生現(xiàn)實(shí) 構(gòu)建“自然”的教學(xué)
——人教版八年級(jí)下冊(cè)“15.3分式方程”教學(xué)實(shí)錄及思考

☉浙江寧波市四眼碶中學(xué) 潘小梅

2016年12月，浙江省寧波市特級(jí)教師、名師團(tuán)隊(duì)與廣西師范大學(xué)舉行了教學(xué)聯(lián)誼活動(dòng)，筆者受命在廣西桂林漓江中學(xué)執(zhí)教人教版八年級(jí)上冊(cè)“15.3分式方程（第1課時(shí)）”，現(xiàn)撰文將本課的備課過程及教學(xué)思考與各位分享.

一、備課過程的思考

由于筆者平時(shí)使用的教材是浙教版系列教材，對(duì)人教版的教材內(nèi)容編排體系較為陌生，所以備課之前反復(fù)研讀了人教版教材中關(guān)于該課的內(nèi)容編排.“分式方程”位于人教版八年級(jí)下冊(cè)第15章，本章先介紹分式及其運(yùn)算，再介紹分式方程及其應(yīng)用.分式方程位于第3節(jié)，第3節(jié)共分3課時(shí)，先介紹分式方程及其解法，然后介紹分式方程在實(shí)際生活中的運(yùn)用，在課后的配套練習(xí)中還涉及含字母系數(shù)的分式方程.筆者根據(jù)內(nèi)容體系的分析，首先確定第1課時(shí)的授課內(nèi)容是分式方程的概念及其解法.在確定授課內(nèi)容的基礎(chǔ)上，結(jié)合了解到學(xué)生基礎(chǔ)水平一般的實(shí)際情況，對(duì)以下問題進(jìn)行了深入思考：

思考1：本課的教學(xué)目標(biāo)是什么？

筆者認(rèn)為，本課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生經(jīng)歷分式方程概念的產(chǎn)生過程，類比含分母的整式方程的解法探索分式方程的解法，掌握解分式方程的一般步驟，在解分式方程的過程中，逐步感受“化歸與轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，并在問題探索與解決的過程中獲得自信與成功的體驗(yàn).

思考2：怎樣導(dǎo)出“分式方程”的概念？

概念的導(dǎo)出一般有兩種方式：概念的形成與概念的同化.分式方程是從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出的一種數(shù)學(xué)模型，所以可以選擇概念形成的方式導(dǎo)出分式方程的概念，也就是從生活中的實(shí)際問題抽象并建立分式方程，課本就是通過本章的章前圖（流水問題）導(dǎo)出分式方程的概念.與此同時(shí)，由于學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)過較多的整式方程（一元一次方程、二元一次方程），課本中先給出“分母中含有字母的方程是分式方程”，并順帶說“以前學(xué)過的方程都是整式方程”.筆者認(rèn)為，學(xué)生剛剛在本章的前兩節(jié)學(xué)過分式的概念，也可以認(rèn)為分式方程新知的生長(zhǎng)點(diǎn)是分式.事實(shí)上，分式方程就是分式與分式或分式與整式之間建立等量關(guān)系.另外，學(xué)生學(xué)習(xí)分式方程解法的起點(diǎn)是解一元一次方程.因此，筆者選擇教學(xué)的切入點(diǎn)是：通過分式與整式的概念復(fù)習(xí)，由關(guān)系的建立得到分式方程，尊重了知識(shí)的邏輯關(guān)系.

思考3：如何突破本課教學(xué)的難點(diǎn)？

學(xué)生之前在解一元一次方程時(shí)所執(zhí)行的“檢驗(yàn)”環(huán)節(jié)只是為了檢查自己的解答是否正確，但是對(duì)于分式方程來說，“檢驗(yàn)”成為必須的環(huán)節(jié).因此，本課教學(xué)的難點(diǎn)是理解求解分式方程檢驗(yàn)的必要性.這一點(diǎn)既不能強(qiáng)加給學(xué)生讓學(xué)生識(shí)記，也不能過度解釋.因?yàn)閷?duì)八年級(jí)學(xué)生而言，他們還不能很好地理解在方程兩邊乘同一個(gè)整式，所得到的方程與原方程并不一定是同解方程，況且也沒有必要和初中學(xué)生交流“同解理論”.所以，為了讓學(xué)生理解檢驗(yàn)的必要性，可以讓學(xué)生自己在解分式方程的過程中自然地發(fā)現(xiàn)，然后步步回代，發(fā)現(xiàn)解滿足整式方程但不滿足分式方程，從而發(fā)現(xiàn)問題所在.

思考4：如何落實(shí)解分式方程的技能？

本課的教學(xué)重點(diǎn)是分式方程的解法，相比于整式方程，分式方程首先要進(jìn)行去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，再解整式方程得到解，最后進(jìn)行檢驗(yàn).在這些過程中，去分母的關(guān)鍵是找最簡(jiǎn)公分母，為什么要找最簡(jiǎn)公分母？如何找最簡(jiǎn)公分母？檢驗(yàn)是代入原分式方程還是代入最簡(jiǎn)公分母？這些具體操作技能的獲得都需要通過學(xué)生集體練習(xí)、個(gè)別展評(píng)、易錯(cuò)點(diǎn)分析，經(jīng)驗(yàn)總結(jié)，幫助學(xué)生一步步掌握解分式方程的技能.另外，技能的掌握有一個(gè)從陌生到熟練的過程，需要適量的訓(xùn)練.

二、教學(xué)過程

課堂伊始，在簡(jiǎn)短而歡快的自我介紹開場(chǎng)白之后展開如下教學(xué)：

1.分類歸位，導(dǎo)出概念.

師：你能將“整式、分式、單項(xiàng)式、多項(xiàng)式”這四個(gè)概念填入合適的位置嗎？

（在黑板上出示如圖1所示的框架）

圖1

生1：（1）號(hào)位置填的是“整式”，（2）號(hào)位置填的是“單項(xiàng)式”，（3）號(hào)位置填的是“多項(xiàng)式”，（4）號(hào)位置填的是“分式”.

師：?jiǎn)雾?xiàng)式和多項(xiàng)式的位置可以更換嗎？

生（眾）：可以.

師：現(xiàn)在請(qǐng)你舉一個(gè)單項(xiàng)式的例子.

生2：5.

師：好，單獨(dú)的一個(gè)數(shù)是單項(xiàng)式.還有呢？

生3：2x.

師：很好！數(shù)和字母相乘就組成單項(xiàng)式.在這里，字母x能取一切實(shí)數(shù).現(xiàn)在請(qǐng)你舉一些多項(xiàng)式的例子.

生4：x-6.

師：舉了一個(gè)只含有一個(gè)字母x的多項(xiàng)式，還有呢？

生5：4x+3y.

師：好！含有2個(gè)字母的多項(xiàng)式.這些單項(xiàng)式、多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式.現(xiàn)在請(qǐng)你舉一些分式的例子.

師：像這些分母中含有字母的式子，我們都稱它們?yōu)榉质?分式中的字母能取所有的實(shí)數(shù)嗎？

生7：不能！

師：現(xiàn)在，老師選一個(gè)整式中的單項(xiàng)式5和一個(gè)多項(xiàng)式x-6，提出這樣一個(gè)問題：“多項(xiàng)式x-6的值等于5”，你能把這句話翻譯成一個(gè)數(shù)學(xué)式子嗎？

生8：x-6=5.

師：怎樣稱呼這個(gè)式子？

生9：方程.

師：確切地說，它是一個(gè)什么方程？

生10：一元一次方程.（師板書）

師：這里字母x的取值還是任意的嗎？

生11：不是！

師：它是一個(gè)確定的數(shù)，只是這個(gè)數(shù)暫時(shí)還不知道，我們稱它為未知數(shù).現(xiàn)在，如果要構(gòu)造一個(gè)二元一次方程，你會(huì)選哪兩個(gè)式子？

生12：5，4x+3y，構(gòu)成二元一次方程4x+3y=5.

師：我也選了兩個(gè)整式.我們把這些左、右兩邊都是整式的方程稱為整式方程.那么，你能提出一個(gè)怎樣的問題，也構(gòu)造一個(gè)方程呢？生13：分式的值是5，構(gòu)造出方程：

師：能否給這些方程取一個(gè)名字？

生15：分式方程.

師：今天我們一起來學(xué)習(xí)分式方程.（師板書課題）

【教學(xué)說明】本教學(xué)片段先讓學(xué)生整理“單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、整式、分式”四個(gè)概念的關(guān)系并舉例，既讓學(xué)生回顧梳理這些概念，同時(shí)讓學(xué)生類比“整式方程是對(duì)整式之間建立等量關(guān)系”來提出問題，從而引出分式方程.

2.厘清關(guān)系，鞏固概念.

師：能說說什么叫分式方程嗎？

生16：分式與整式相等，或者分式與分式相等，就得到分式方程.

師：確實(shí)，分式方程就是對(duì)分式與整式或分式與分式之間建立等量關(guān)系.那么，從結(jié)果的“樣子”看，你可以更簡(jiǎn)潔地定義分式方程嗎？不妨模仿一下分式的概念.（屏幕上出示分式的概念：分母中含有字母的式子叫作分式）

生17：分母中含有未知數(shù)的方程叫作分式方程.

師：現(xiàn)在，請(qǐng)大家看如下的問題：

下列方程中，哪些屬于整式方程？哪些屬于分式方程？

生18：第（1）個(gè)方程是整式方程，第（2）個(gè)方程是分式方程.

師：怎樣由第（1）個(gè)方程得到第（2）個(gè)方程？

生19：把左邊、右邊分別取倒數(shù).

師：“倒一倒”，就從一個(gè)整式方程變成了一個(gè)分式方程！

生20：第（3）個(gè)方程是整式方程，第（4）個(gè)方程是分式方程.

師：怎樣由第（4）個(gè)方程得到第（3）個(gè)方程？

生21：方程（4）乘以x去掉分母以后就得到方程（3）.

師：不錯(cuò)！去掉分母，分式方程就得到整式方程！

生22：（5）是二元一次方程，（6）是分式方程.

師：方程（6）告訴我們，分式方程也可能含有2個(gè)未知數(shù).

【教學(xué)說明】本教學(xué)片段設(shè)置了6道判斷題幫助學(xué)生鞏固分式方程的概念，根據(jù)事先對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)的了解，特意設(shè)置了互相配對(duì)的3組判斷題，旨在讓學(xué)生了解“倒一倒”“等式兩邊同乘一個(gè)式子”都可以實(shí)現(xiàn)分式方程與整式方程的轉(zhuǎn)換，“無(wú)聲”地為后續(xù)分式方程的解法進(jìn)行鋪墊.

3.類比舊知，探索解法.

師：這個(gè)主意好！我們不妨來回顧一遍.（師生合作下寫出如下的解法）

化簡(jiǎn)得3（x-2）=2x.

解得x=6.

師：為什么在方程兩邊同乘6，這個(gè)6是怎樣找到的？

生24：6是分母的最小公倍數(shù)，乘6以后，就去掉分母了！

師：那么，如果你想知道自己解得的x=6到底是不是正確的，可以怎么辦？

生25：代入原方程看左、右兩邊是否相等.

當(dāng)x=6時(shí)，左邊=2，右邊=2，所以x=6是原方程的解.（續(xù)前板書）

師：那么，除了這種方法，我們還有其他的方法把分式方程化為整式方程嗎？

生27：乘公分母x（x-2）.

去分母得到3（x-2）=2x，這樣就得到整式方程了！去分母的關(guān)鍵是找到公分母，那么如何找公分母呢？請(qǐng)你們?cè)囈辉嚕?/p>

教師依次在黑板上寫下以下方程，請(qǐng)學(xué)生說出公分母，并歸納最簡(jiǎn)公分母的找法.

師：找到最簡(jiǎn)公分母，我們就可以根據(jù)等式的基本性質(zhì)化去分母了.下面，請(qǐng)大家完成以下練習(xí)：（1）（.練習(xí)來自書本）

【教學(xué)說明】本教學(xué)片段中，學(xué)生先想到“倒一倒”的方法將分式方程變?yōu)檎椒匠?，教師順?shì)讓學(xué)生解整式方程并進(jìn)行完整的書寫，然后讓學(xué)生類比含分母的整式方程的解法聯(lián)想如何去分母，從而引出公分母.課堂中注意到學(xué)生對(duì)公分母的找法還不夠熟練，隨手補(bǔ)充了練習(xí)幫助學(xué)生回顧最簡(jiǎn)公分母的找法.

4.做中生疑，探索解法.

教師請(qǐng)一位學(xué)生上臺(tái)板書方程（2）的解題過程，學(xué)生板書如下：

化簡(jiǎn)得x+5=10，解得x=5.

師：（在對(duì)完第1題答案后）我剛才巡視教室時(shí)，發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)一直在看第（2）題，好像沒錯(cuò)，好像又錯(cuò)了？不知道你們是什么疑惑？

生28：我看看每一步都沒有錯(cuò)，可發(fā)現(xiàn)x=5時(shí)，原方程的分母為0，那就沒有意義了！

師：這倒是一個(gè)奇怪的問題，原因到底出在哪里呢？我們把x=5代入“x+5=10”成立嗎？

生29：成立！

師：繼續(xù)往上代呢？

生30：（x+5）（x-5）為0，分母也為0了！

生31：（恍然大悟地）也就是說我們是對(duì)不可能相等的兩個(gè)分式乘了一個(gè)數(shù)0以后得到一個(gè)等式了.x=5是原方程的增根.

生32：可是我們?cè)谌シ帜傅臅r(shí)候怎么知道是否乘了一個(gè)值為0的數(shù)呢？

生33：算好以后檢驗(yàn)一下！

師：對(duì)，事先不知，解完方程以后進(jìn)行檢驗(yàn).你們覺得怎樣檢驗(yàn)?zāi)兀?/p>

生34：可以代入原方程看看分母是不是等于0.

師：還有其他檢驗(yàn)的方法嗎？

生35：也可以代入最簡(jiǎn)公分母，看看最簡(jiǎn)公分母是不是為0.

師：很好！最簡(jiǎn)公分母是根據(jù)分母產(chǎn)生的，更直接！現(xiàn)在，我們來看一道完整的解分式方程題：例2：解方程：

（師生共同確定最簡(jiǎn)公分母，然后書寫完整的解題步驟，共同歸納解分式方程的一般步驟：化（化為整式方程）→解（解整式方程）→驗(yàn)（檢驗(yàn)是否為增根）→寫（寫出分式方程的解或說明無(wú)解），接著從課本練習(xí)中篩選以下兩題）

師：方程（2）的解為x=-1.5，x=1是方程（3）的增根，方程（3）無(wú)解.是否所有的分式方程只要出現(xiàn)增根就無(wú)解了呢？我們來看之前遇到的一個(gè)方程：去分母以后得到方程的解是什么？

生36：x=1或x=0.

師：我們發(fā)現(xiàn)x=0是該方程的增根，但是該方程還有一個(gè)解x=1.

【教學(xué)說明】本教學(xué)片段中，教師沒有急于告訴學(xué)生解分式方程必須進(jìn)行檢驗(yàn)，而是先讓學(xué)生自行解方程，在實(shí)踐的基礎(chǔ)上產(chǎn)生疑惑，再舉例幫助釋疑解惑，讓學(xué)生自然地理解解分式方程時(shí)檢驗(yàn)的必要性，同時(shí)通過后續(xù)的練習(xí)幫助學(xué)生理解增根.本處通過例2強(qiáng)化分式方程的解題步驟，目的是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)規(guī)范地進(jìn)行書寫.

5.梳理小結(jié)，提升認(rèn)識(shí).

師：今天，我們又認(rèn)識(shí)了“方程家族”中的一名新成員：分式方程，你能否模仿式子的結(jié)構(gòu)將“整式方程、分式方程、一元一次方程、二元一次方程”放到合適的位置呢？

（生模仿課開始的框架整理）

師：當(dāng)然，整式方程遠(yuǎn)不止這兩種，所以，我們?cè)诤罄m(xù)再添上省略號(hào).解分式方程的一般步驟是什么？

生37：化→解→驗(yàn)→寫.

師：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，去分母是最普遍的方法，其他的“倒一倒”等方法只適用于一些特殊的方程.這些轉(zhuǎn)化，給了你什么啟發(fā)？

生38：解題時(shí)，我們常常把不會(huì)的轉(zhuǎn)化為會(huì)的，把陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的……

師：轉(zhuǎn)化，是我們最常用的數(shù)學(xué)思想，它無(wú)時(shí)無(wú)刻不藏在數(shù)學(xué)之中、生活之中，讓我們變得越來越聰明！

【教學(xué)說明】出示三個(gè)問題，幫助學(xué)生梳理知識(shí)，將新知納入新舊概念體系，形成完整的知識(shí)架構(gòu)，感悟轉(zhuǎn)化、類比等數(shù)學(xué)思想，提升認(rèn)識(shí).

三、教后反思

在課后的教學(xué)研討中，名師、特級(jí)教師、廣西聽課教師等眾多參與教師對(duì)本課展開深入研討和交流，充分肯定了本課設(shè)計(jì)和實(shí)施中的亮點(diǎn)，認(rèn)為這是一節(jié)“設(shè)計(jì)精巧、過程自然”的課，筆者也從中獲得很多啟發(fā)，現(xiàn)集結(jié)一些觀點(diǎn)及思考分享如下.

1.教學(xué)設(shè)計(jì)尊重“學(xué)生現(xiàn)實(shí)”，推進(jìn)才會(huì)自然.

我們常說，理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提，與此同時(shí)，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)水平的理解也是有效教學(xué)的保證.關(guān)于本課的教學(xué)導(dǎo)入，大部分老師遵循了教材的編排，采用了實(shí)際生活問題導(dǎo)入，有的老師還自行編制了基于學(xué)生實(shí)際的應(yīng)用題，讓學(xué)生體會(huì)分式方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的重要模型，但是本課教學(xué)中，基于學(xué)生現(xiàn)實(shí)，筆者把列分式方程及其應(yīng)用作為第2課時(shí)，既避免了課始就讓學(xué)生畏懼冗長(zhǎng)的文字理解，又讓學(xué)生有更多的時(shí)間來學(xué)習(xí)分式方程的解法，收到了良好的教學(xué)效果，使得學(xué)生的學(xué)習(xí)顯得輕松、自然.

2.思想方法教學(xué)“潤(rùn)物無(wú)聲”，滲透才會(huì)自然.

數(shù)學(xué)思想方法指的是蘊(yùn)含在知識(shí)內(nèi)容中體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)的東西，本課中重點(diǎn)滲透了兩種思想方法，一是類比思想，二是化歸思想.在整個(gè)教學(xué)過程中，并沒有刻意地說出或板書這兩種思想，但卻潛移默化地滲透在各個(gè)教學(xué)過程中，如開課之初類比整式方程提出問題引出分式方程，之后類比含分母的整式方程的解法想到去分母解分式方程，到最后類比式子的分類對(duì)方程進(jìn)行分類，這些數(shù)學(xué)活動(dòng)讓學(xué)生感悟、體驗(yàn)、運(yùn)用類比的思想方法.再者，本課教學(xué)中巧妙地將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程來解的萌芽蘊(yùn)含在整式方程和分式方程的辨別中，既以對(duì)比的形式給出整式方程和分式方程的不同特征，又讓學(xué)生在對(duì)比中感受可以通過“倒一倒”“去分母”等方式將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，從學(xué)生的課尾感悟中可見學(xué)生已經(jīng)自然地感受到這種把陌生變?yōu)槭煜さ霓D(zhuǎn)化與化歸思想.

3.運(yùn)算教學(xué)需要“適量訓(xùn)練”，技能自然形成.

運(yùn)算技能指的是按照一定的程序與步驟進(jìn)行運(yùn)算，運(yùn)算能力主要體現(xiàn)在運(yùn)算的正確、靈活、合理和簡(jiǎn)潔，提高運(yùn)算能力需要適度的訓(xùn)練，實(shí)現(xiàn)從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從低級(jí)到高級(jí)、從具體到抽象的螺旋上升.本課的教學(xué)目標(biāo)是幫助學(xué)生學(xué)會(huì)解分式方程，從學(xué)生的課堂練習(xí)和黑板板演來看，大部分學(xué)生都已經(jīng)學(xué)會(huì)解一般的分式方程，但是由于學(xué)生參差不齊，有的學(xué)生找最簡(jiǎn)公分母也有一定的困難，在同樣的學(xué)習(xí)容量下，需要進(jìn)行課后的補(bǔ)習(xí).再者，本課在時(shí)間允許的情況下，可以增加學(xué)生自己練習(xí)、互相糾錯(cuò)、反饋評(píng)價(jià)等環(huán)節(jié)，充分暴露學(xué)生的學(xué)習(xí)水平、學(xué)習(xí)過程等情況，以便教師教學(xué)跟進(jìn).再者，技能的形成需要一個(gè)過程，只有當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷適量的訓(xùn)練之后，逐漸明晰算理，才會(huì)從模仿走向程序，通過優(yōu)化程序走向自動(dòng)化.