程績

【摘要】經(jīng)濟(jì)管理類、教育類、部分工科類專業(yè)都開始有更多的文科生加入，而這些專業(yè)均包含不少的公共數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課.對(duì)于文科學(xué)生而言，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)是很大的挑戰(zhàn).本文以線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)為例，給出文科生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課學(xué)習(xí)的一些思考，如增加案例實(shí)驗(yàn)教學(xué)、分層分類教學(xué)等，并對(duì)線性代數(shù)課程的學(xué)習(xí)提出建議.

【關(guān)鍵詞】線性代數(shù)；教學(xué)；案例；分層分類

一、部分文理兼收專業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課概況

隨著高等教育改革的不斷深入，我國的高等教育已經(jīng)逐漸轉(zhuǎn)為面向大眾的大眾化教育.同時(shí)，全國各省市相繼出臺(tái)的高考改革方案都提出，從2017年后高考將逐漸不再區(qū)分文理科，這就意味著高校在招生時(shí)將逐步實(shí)現(xiàn)大類招生，文理科就讀專業(yè)以及數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)差異將逐步縮小.與此相應(yīng)地，我們?cè)趯?duì)大學(xué)生的教學(xué)培養(yǎng)過程中，應(yīng)該從以往的注重專業(yè)課程學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為側(cè)重學(xué)生基礎(chǔ)能力培養(yǎng)，包括學(xué)生的專業(yè)課和專業(yè)意識(shí).

筆者所在的是一所省屬師范大學(xué)，有心理學(xué)、工商管理、會(huì)計(jì)學(xué)、地理科學(xué)和信息管理與信息系統(tǒng)等20余個(gè)專業(yè)實(shí)現(xiàn)了文理兼收，涉及管理、經(jīng)濟(jì)、商學(xué)等多個(gè)學(xué)科，而且近年文科生和女生的比例大幅增加.他們?cè)趯W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課時(shí)都遇到很大困難，教師在教學(xué)時(shí)也感覺更加難以推進(jìn)，效果大不如前.

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課主要包括線性代數(shù)、微積分、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)共3門課程，它們都是必修的重要基礎(chǔ)理論課.一方面，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課是大多數(shù)理工類專業(yè)研究生入學(xué)考試的必考內(nèi)容，更加受到學(xué)生和學(xué)校的重視；另一方面，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)，能夠幫助學(xué)生構(gòu)建起嶄新的思維方式，為他們的后續(xù)課程及進(jìn)一步深造打好基礎(chǔ).通過微積分和線性代數(shù)等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)，能夠讓學(xué)生的思維能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力、空間想象能力和數(shù)學(xué)表述能力得到很大提升，這些對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力大有裨益.

本文以線性代數(shù)教學(xué)為例，對(duì)文科生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)提出一些思考和建議.

二、線性代數(shù)課程特點(diǎn)

線性代數(shù)和其他數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)一樣，本身具有高度抽象性，同時(shí)課程要求學(xué)生要在短時(shí)間內(nèi)認(rèn)識(shí)了解一個(gè)新的研究對(duì)象以及一套新的運(yùn)算規(guī)則，而這些特有的規(guī)律與初學(xué)者曾經(jīng)學(xué)習(xí)了十余年的初等數(shù)學(xué)有比較大的差異.

線性代數(shù)的內(nèi)容主要包括矩陣、行列式、線性方程組、向量空間和二次型，授課時(shí)數(shù)為32～48課時(shí)，課時(shí)量少，課程內(nèi)容偏多，而且和微積分一起在大一下學(xué)期開設(shè).兩門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課同時(shí)學(xué)習(xí)，給學(xué)生學(xué)習(xí)帶來非常大的困難.在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生普遍反映這門課程有三個(gè)特點(diǎn)：內(nèi)容抽象、知識(shí)點(diǎn)冗繁、計(jì)算枯燥.

線性代數(shù)教材種類繁多，筆者一直選用中國人民大學(xué)盧剛所編線性代數(shù)教材.該書是教育部“高等教育面向21世紀(jì)教學(xué)內(nèi)容和課程體系改革計(jì)劃”研究成果，現(xiàn)已修訂至第三版.

和多數(shù)線性代數(shù)教材一樣，盧剛版線性代數(shù)也呈現(xiàn)出了定義多（51個(gè)）、定理多（含性質(zhì)、推論共101個(gè)）和符號(hào)多的特點(diǎn)，增加了和經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)有關(guān)的例題，如，在矩陣中引進(jìn)圖論模型并給出鄰接矩陣表示圖的方法，引用馬爾可夫鏈進(jìn)行天氣預(yù)測(cè)，在矩陣的特征值和特征向量中引用污染與工業(yè)發(fā)展的工業(yè)增長模型、萊斯利種群模型、投入產(chǎn)出分析數(shù)學(xué)模型等.同時(shí)，教材還關(guān)注線性代數(shù)和其他數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課之間的聯(lián)系，如，在正定矩陣的應(yīng)用中用正交矩陣的知識(shí)解決多元函數(shù)極值問題、解決二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)形轉(zhuǎn)化問題.

三、線性代數(shù)教學(xué)的幾點(diǎn)建議

（一）注重案例教學(xué)，讓學(xué)生自己設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案

對(duì)于文科生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)，關(guān)鍵是培養(yǎng)和提升學(xué)習(xí)興趣，增加應(yīng)用訓(xùn)練便是最有效的途徑.思維訓(xùn)練和應(yīng)用訓(xùn)練在線性代數(shù)中并不是兩個(gè)孤立的功能，大多數(shù)學(xué)生對(duì)線性代數(shù)的畏懼，體現(xiàn)在它的思維訓(xùn)練上.事實(shí)上，線性代數(shù)的運(yùn)算都很簡單，雖然運(yùn)算過程冗長，但規(guī)律性強(qiáng)、技巧性不大.如果能夠在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生把理論和應(yīng)用相結(jié)合，注重知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，便能夠把學(xué)生引向一個(gè)較高的思維平臺(tái).

要在線性代數(shù)教學(xué)中增加應(yīng)用訓(xùn)練并不困難，線性代數(shù)在各學(xué)科中的應(yīng)用非常廣泛，針對(duì)不同專業(yè)的學(xué)生，可以選擇與其專業(yè)相關(guān)的典型問題，讓他們體會(huì)到線性代數(shù)理論的應(yīng)用.線性代數(shù)主要在于應(yīng)用，核心就是典例，典例選用一定要經(jīng)典，讓學(xué)生形成印象、產(chǎn)生興趣，如，對(duì)物流管理專業(yè)學(xué)生引入運(yùn)輸流量的問題，對(duì)計(jì)算機(jī)專業(yè)學(xué)生引入加密和解密問題，對(duì)化學(xué)專業(yè)學(xué)生引入試劑配制問題，對(duì)經(jīng)濟(jì)類學(xué)生引入效益最優(yōu)化問題.

筆者在對(duì)經(jīng)濟(jì)管理類專業(yè)教學(xué)的過程中，嘗試推進(jìn)案例教學(xué).針對(duì)文科生多的特點(diǎn)，選用的都是簡單且學(xué)生感興趣的案例，讓學(xué)生分團(tuán)隊(duì)合作，設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)方案，達(dá)到數(shù)據(jù)分析的目的.

如，在學(xué)習(xí)矩陣的加法、數(shù)乘和乘法等運(yùn)算知識(shí)后，以大一上學(xué)期期末成績排名為例，希望學(xué)生們能夠以團(tuán)隊(duì)合作的方式，自己設(shè)置實(shí)驗(yàn)方案，利用矩陣基本運(yùn)算，給出計(jì)算全班學(xué)生平均分的算法，從而達(dá)到對(duì)這幾個(gè)概念內(nèi)化于心的效果.

例如，某班4名學(xué)生甲、乙、丙、丁四門課程（大學(xué)英語、體育、微積分、政治經(jīng)濟(jì)學(xué)）的期中考試成績和期末考試成績（按百分制評(píng)定）由下表給出，計(jì)算四名學(xué)生在學(xué)分制下的平均分.

實(shí)驗(yàn)方案中，矩陣E的構(gòu)造顯然相對(duì)靈活，這也是考查學(xué)生能否運(yùn)用所學(xué)概念的關(guān)鍵.實(shí)際教學(xué)過程中，不同小組學(xué)生設(shè)計(jì)的方案雖多，但大多數(shù)都是不能靈活利用矩陣各種運(yùn)算，這更加印證了利用該實(shí)驗(yàn)整合矩陣相關(guān)運(yùn)算概念的必要性.

（二）注重分層教學(xué)，針對(duì)文理科學(xué)生分類開課

事實(shí)上，隨著前述專業(yè)中文科生從點(diǎn)綴到現(xiàn)在基本過半，不能再簡單地把所有學(xué)生塞在同一個(gè)教室中上大課.而且，現(xiàn)在很多學(xué)校為了節(jié)約成本，并不重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)，甚至出現(xiàn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課200余學(xué)生一起上課的極端現(xiàn)象，這對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)非常不利.

以前筆者曾經(jīng)將文理科學(xué)生分別開課，但是效果并不明顯，因?yàn)樗麄儗?duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的需求并不相同.現(xiàn)在筆者正在嘗試先對(duì)學(xué)生進(jìn)行職業(yè)生涯規(guī)劃的引導(dǎo)，希望能夠把握住他們的職業(yè)目標(biāo)和就業(yè)定位，在此基礎(chǔ)上有針對(duì)性地就數(shù)學(xué)類基礎(chǔ)課做出分層分類教學(xué).如，針對(duì)有考研深造打算以及在經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)中偏重于模型建立和數(shù)據(jù)分析的學(xué)生，可以把他們劃為A類，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的學(xué)習(xí)中加強(qiáng)要求，甚至可以借鑒數(shù)學(xué)專業(yè)高等代數(shù)課程教學(xué)的一些經(jīng)驗(yàn)，既增加原理和理論教學(xué)，強(qiáng)化概念教學(xué)，又注重應(yīng)用訓(xùn)練.針對(duì)有考公務(wù)員打算以及想從事會(huì)計(jì)工作等對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)要求不高的學(xué)生，可以把他們劃為B類，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課學(xué)習(xí)中重視對(duì)他們結(jié)論理解、定理運(yùn)用等方面能力的培養(yǎng).

同時(shí)，在線性代數(shù)學(xué)習(xí)中，利用學(xué)生動(dòng)手能力強(qiáng)、計(jì)算機(jī)操作興趣高的特點(diǎn)，可以借助于EXCEL辦公軟件和MATLAB、MAPLE等數(shù)學(xué)軟件，教會(huì)學(xué)生在面對(duì)大數(shù)據(jù)計(jì)算時(shí)，使用計(jì)算機(jī)手段輔助計(jì)算.如，筆者在教授行列式部分時(shí)，就要求學(xué)生結(jié)合自己的學(xué)號(hào)或者身份證號(hào)碼編制出不同的3階行列式和4階行列式，練習(xí)手工演算，而教師在多媒體操作中利用EXCEL中的MDETERM函數(shù)進(jìn)行快速計(jì)算，驗(yàn)證學(xué)生的計(jì)算結(jié)果，大大增加了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也教會(huì)了他們一些常見的函數(shù)命令.既通過手工演算熟悉原理，又通過軟件演算提高效率.

四、結(jié)語

數(shù)學(xué)是有用的，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的教學(xué)，更要注重案例教學(xué)，和學(xué)生的專業(yè)緊密結(jié)合.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課在各學(xué)科中的應(yīng)用，也是它的一種美.數(shù)學(xué)是美的，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的教學(xué)也要體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的美.教學(xué)過程中，如何把這種美傳遞給學(xué)生，便是對(duì)教師的最基本的要求.本文結(jié)合筆者在多年線性代數(shù)課程教學(xué)中的心得，給出幾點(diǎn)建議，如注重案例教學(xué)，大力推進(jìn)分層分類教學(xué)，對(duì)于其他數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的教學(xué)同樣是有意義的.教師在教學(xué)過程中還應(yīng)該多探索，希望能夠讓學(xué)生體會(huì)到在本專業(yè)中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的強(qiáng)大作用，以及讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課帶來的數(shù)學(xué)邏輯之美、數(shù)學(xué)整合之美、數(shù)學(xué)簡潔之美.

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