杜柯

什么叫作極值點偏移呢？例如函數(shù)f（x）在x=x0處取得極值，且函數(shù)y=f（x）與直線y=b交于A（x1，b），B（x2，b）兩點，則AB的中點為M（，b），那么極值點x0與x1，x2存在什么關(guān)系呢？有時候x0=，如開口向上的拋物線。而大多數(shù)情況下由于極值點兩邊增減的速度不一樣，往往x0≠。

此類問題變化多樣，有些題型是不含參數(shù)的，而更多的題型又是含有參數(shù)的。不含參數(shù)的如何解決？含參數(shù)的又該如何解決，參數(shù)如何來處理？現(xiàn)在我們就通過幾個典型例題來逐一探索一下！

一、不含參數(shù)的問題

例1 （2010天津理）已知函數(shù)f（x）=xe-x（x∈R），如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明：x1+x2>2。

解析： f′（x）=（1-x）e-x，易得f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，x→-∞時，f（x）→-∞，f（0）=0，x→+∞時，f（x）→0，函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值f（1），且f（1）=，如圖所示。

由f（x1）=f（x2），x1≠x2，不妨設(shè)x12，即證：x2>2-x1，因為x1<1可得：2-x1>1，所以x2，2-x1∈（1，+∞）；又f（x）在（1，+∞）遞減，故而只需證明f（x2）F（x），即f（x）-f（2-x）<0，x∈（0，1），所以f（x1）2。

二、含參數(shù)的問題

1.變量分離后再構(gòu)造函數(shù)

例2 已知函數(shù)f（x）=x-aex有兩個不同的零點x1，x2，求證：x1+x2>2。

解析：函數(shù)f（x）的兩個零點等價于方程xe-x=a的兩個實根，令g（x）=xe-x，依題意：g（x1）=g（x2）=a，從而這一問題與例1完全等價。按照例1的思路，可得x1+x2>2。

2.不分離變量直接構(gòu)造函數(shù)

例3 已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2（a>0）有兩個零點。設(shè)x1，x2是f（x）的兩個零點，證明：x1+x2<2。

解：f′（x）=（x-1）（ex+2a），由a>0可得f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增。設(shè)x1<1f（2-x2），

由于f（x2）=（x2-2）ex2+a（x2-1）2=0？圯-（x2-2）ex2=a（x2-1）2，所以f（2-x2）=-x2e2-x2+a（1-x2）2=-x2e2-x2-（x2-2）ex2。

下面構(gòu)造函數(shù)g（x）=-xe2-x-（x-2）ex，x≥1。

g′（x）=（x-1）（e2-x-ex）。所以當(dāng)x>1時g′（x）<0？圯g（x）在（1，+∞）遞減。所以g（x）

（作者單位：湖北省天門中學(xué)）