楊利娜

[摘 要] 從高中數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)這一角度來(lái)講，數(shù)學(xué)思想的延續(xù)與傳授應(yīng)該是比數(shù)學(xué)知識(shí)的傳授更為主要和重要的內(nèi)容，學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)、高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的效果以及教學(xué)的效率均因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法掌握的程度而左右.筆者結(jié)合多年教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的含義、實(shí)施原則、實(shí)踐應(yīng)用以及其教育的價(jià)值作了初步探討.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)思想方法；簡(jiǎn)要含義；原則；實(shí)踐應(yīng)用；教育價(jià)值

[?] 數(shù)學(xué)思想方法的簡(jiǎn)要含義

青少年思維發(fā)展的重要途徑從其心理發(fā)展規(guī)律這個(gè)層面來(lái)講正是數(shù)學(xué)思想方法的開(kāi)展. 如果說(shuō)初中生的思維還處于“形式”向“辯證”轉(zhuǎn)變的過(guò)渡階段，那么“辯證思維”形成與發(fā)展的重要時(shí)期正好便是學(xué)生的高中時(shí)期.

人的意識(shí)在認(rèn)知客觀事物及其規(guī)律的過(guò)程中產(chǎn)生的一系列思維活動(dòng)的產(chǎn)物正是我們通常所說(shuō)的思想方法. 在數(shù)學(xué)學(xué)科范疇的數(shù)學(xué)思想方法便是人的意識(shí)對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系及其空間形式的認(rèn)知而產(chǎn)生的數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)本質(zhì)等方面的思維產(chǎn)物. 數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)從學(xué)習(xí)的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)理論來(lái)講，對(duì)于數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的建立與發(fā)展都有著巨大的心理影響，是學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、意愿以及認(rèn)知的生產(chǎn)與促進(jìn)者，在為學(xué)生提供數(shù)學(xué)思維活動(dòng)實(shí)施具體手段的同時(shí)強(qiáng)化了學(xué)生的學(xué)習(xí)意愿. 由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)生的學(xué)習(xí)遷移、數(shù)學(xué)能力及學(xué)習(xí)效率的發(fā)展、提高過(guò)程中均具有無(wú)法替代的推動(dòng)作用.

[?] 高中數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)需遵循的原則

1. 揭示、滲透與淺顯相結(jié)合的教學(xué)原則

教材中的概念、法則、性質(zhì)、公式、定理及其所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想與方法組成了數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容體系. 大多較高層次的數(shù)學(xué)思想都是蘊(yùn)含在教材的表層知識(shí)之中的，一般來(lái)說(shuō)它們都處于潛在隱形的狀態(tài)之中. 教師在教學(xué)中應(yīng)注重揭示深層知識(shí)并將其潛在形態(tài)轉(zhuǎn)變成學(xué)生易于發(fā)現(xiàn)并接受的外顯形態(tài)，學(xué)生對(duì)于這些數(shù)學(xué)思想方法才能從朦朧中形成清晰的感受并更加容易理解與掌握，只有這樣，教師才能有針對(duì)性地采取恰當(dāng)科學(xué)的措施并結(jié)合學(xué)生數(shù)學(xué)實(shí)際水平狀態(tài)進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透教學(xué).

2. 反復(fù)系統(tǒng)和螺旋推進(jìn)相結(jié)合的教學(xué)原則

學(xué)生對(duì)于邏輯思維范疇內(nèi)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會(huì)與掌握一般都會(huì)經(jīng)歷從個(gè)別到一般、具體到抽象、感性到理性、低級(jí)到高級(jí)的認(rèn)知過(guò)程. 學(xué)生對(duì)任何知識(shí)或方法的認(rèn)知首先都會(huì)在感性認(rèn)知上建立，然后在此基礎(chǔ)上經(jīng)歷多次反復(fù)的認(rèn)知沖突以后才能逐漸概括形成理性認(rèn)知，并學(xué)會(huì)在實(shí)踐中應(yīng)用和驗(yàn)證.因此，教師在教學(xué)中只有注重這一過(guò)程的反復(fù)滲透才能使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)知逐步深入并達(dá)到穩(wěn)步上升的狀態(tài).

[?] 如何發(fā)現(xiàn)并挖掘蘊(yùn)含于教材之中的數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法與知識(shí)內(nèi)容是數(shù)學(xué)課程內(nèi)容這一整體的有機(jī)組成部分. 如今的高中數(shù)學(xué)必修與選修教材知識(shí)點(diǎn)中都蘊(yùn)含著大量的數(shù)學(xué)思想方法，在其發(fā)現(xiàn)與挖掘上，憑借學(xué)生有限的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)基本是不可能的. 因此，教師要善于引導(dǎo)并帶領(lǐng)學(xué)生以知識(shí)教學(xué)為載體將教材中的數(shù)學(xué)思想方法內(nèi)容挖掘出來(lái)，并在學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中長(zhǎng)期逐步滲透與反復(fù)引導(dǎo)，使學(xué)生在循序漸進(jìn)的過(guò)程中掌握數(shù)學(xué)思想方法的具體內(nèi)容并深化理解.

1. 教師應(yīng)注重研究數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科對(duì)于知識(shí)的系統(tǒng)編排，并在此研究中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法并加以梳理和歸納. 以筆者多年的教學(xué)實(shí)踐和總結(jié)結(jié)合必修模塊1、3、5的部分教學(xué)內(nèi)容為例，這幾章內(nèi)容中主要蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法整理出如表1.

2. 教師應(yīng)準(zhǔn)確掌握各單元知識(shí)中所蘊(yùn)含的思想方法并將這些數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)列入自身教學(xué)計(jì)劃中. 教師應(yīng)注重將教學(xué)過(guò)程的教學(xué)代替?zhèn)鹘y(tǒng)教學(xué)中知識(shí)結(jié)論的教學(xué)，使數(shù)學(xué)這一學(xué)科的工具功能與文化功能都能得到體現(xiàn)，教師在教學(xué)中要注重課堂教學(xué)當(dāng)前利益與長(zhǎng)遠(yuǎn)效益的體現(xiàn)，使學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)中能夠獲得比較長(zhǎng)遠(yuǎn)的學(xué)習(xí)效益. 例如，數(shù)列這一知識(shí)點(diǎn)蘊(yùn)含了諸如歸納、猜想、類比等思想方法以及特殊到一般、函數(shù)與方程等思想方法，教師在教學(xué)中要注重這些思想方法的教學(xué)與應(yīng)用，而迭加法、相加法以及迭乘法、錯(cuò)位相減法在求和公式的推導(dǎo)中是教師更加需要注重教學(xué)的.教師將蘊(yùn)含于知識(shí)發(fā)展中的思想方法教給學(xué)生，有助于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)素質(zhì).

[?] 數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決中的實(shí)踐應(yīng)用

數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)便是教會(huì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)及方法能夠解決實(shí)際問(wèn)題. 因此，教師應(yīng)注重以知識(shí)教學(xué)為載體滲透數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，使學(xué)生能夠在掌握表層知識(shí)的基礎(chǔ)上加深對(duì)深層知識(shí)的理解與領(lǐng)悟.

1. 函數(shù)與方程思想是高中數(shù)學(xué)的重要且常用思想方法之一

高中數(shù)學(xué)中很多的實(shí)際問(wèn)題可以運(yùn)用這一思想方法進(jìn)行函數(shù)關(guān)系的建立并運(yùn)用函數(shù)概念及性質(zhì)進(jìn)行分析、轉(zhuǎn)化并最終得以解決. 因此，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，牢固掌握初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)是學(xué)生應(yīng)用此數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，根據(jù)題意準(zhǔn)確建立函數(shù)關(guān)系式是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵. 當(dāng)然，在此類思想方法的實(shí)踐應(yīng)用中，函數(shù)、方程以及不等式之間的相互聯(lián)系與轉(zhuǎn)化這些要點(diǎn)也是學(xué)生必須注意的.

例如，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x來(lái)說(shuō)，a是多少時(shí)不等式a2+2a-sin2x-2acosx>2恒成立？

思路：教師首先引導(dǎo)學(xué)生將原不等式嘗試運(yùn)用三角函數(shù)知識(shí)與換元法轉(zhuǎn)化成一元二次不等式，在二次函數(shù)被順利構(gòu)造以后，教師再繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求該函數(shù)的最值使此問(wèn)題最終得到順利解決.

具體過(guò)程如下：

設(shè)t=cosx，則有sin2x=1-t2，t∈[-1，1]，原不等式即可變成t2-2at+a2+2a-3>0在[-1，1]上恒成立這一問(wèn)題. 令f（t）=t2-2at+a2+2a-3=（t-a）2+2a-3.

當(dāng)a≤-1時(shí)， f（t）min=f（-1）=a2+4a-2；當(dāng)-1

因此，題中a的取值應(yīng)為以下不等式的解集：

a≤-1，

a2+4a-2>0，或-1

2a-3>0，或a≥1，

a2-2>0.

求得a<-2-或a>.

2. 數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)重要的解題思想方法之一

將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和直觀的圖形語(yǔ)言相結(jié)合繼而應(yīng)用于數(shù)學(xué)問(wèn)題的思考與解決是該思想方法的應(yīng)用核心，在此類數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用中，“以形助數(shù)”與“以數(shù)助形”的應(yīng)用往往能使問(wèn)題簡(jiǎn)單而又具體，解題的優(yōu)化也易于達(dá)成.

例如，有f（x）=-這樣一個(gè)函數(shù)，求該函數(shù)的最大值.

分析：該問(wèn)題的結(jié)構(gòu)特征學(xué)生在解題中一般都能注意到，但是由于學(xué)生聯(lián)想意識(shí)的欠缺，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題中數(shù)形、結(jié)構(gòu)的特征審查與聯(lián)想還是必須的.教師可以引導(dǎo)學(xué)生從根式向距離進(jìn)行聯(lián)想繼而討論出解決該問(wèn)題的關(guān)鍵在于兩個(gè)根式下的被開(kāi)方式是否能被轉(zhuǎn)化為平方和的形式. 通過(guò)一系列的拆湊，該函數(shù)可以轉(zhuǎn)化成f（x）=-，用適當(dāng)?shù)恼Z(yǔ)言對(duì)該函數(shù)進(jìn)行如下表述：有A（3，2）和B（0，1）這樣的兩個(gè)點(diǎn)，請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)P（x，x2）到這兩點(diǎn)之間距離之差的最大值是多少？

如果進(jìn)一步將上述問(wèn)題進(jìn)行直觀具體化表示，可以如圖1所示：

根據(jù)A，B兩點(diǎn)的位置可以知道，拋物線y=x2跟直線AB必然相交于第二象限的一個(gè)點(diǎn)，我們記作C，根據(jù)三角形中兩邊之差小于第三邊這一性質(zhì)我們可以知道，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，f（x）才有可能取到最大值A(chǔ)B，因此f（x）max=AB=.

[?] 思想方法教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中所具備的教育價(jià)值

1. 對(duì)于學(xué)生良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成具有積極的助推作用

知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量并不是良好數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)的決定性內(nèi)容，事實(shí)上，知識(shí)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)、組織方式以及結(jié)構(gòu)排列的層次及有序才是其更為重要的內(nèi)容. 數(shù)學(xué)思想方法對(duì)于學(xué)生良好數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成以及各部分知識(shí)的關(guān)聯(lián)與融合均有積極的助推作用.

2. 對(duì)于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)具有積極的含義

數(shù)學(xué)思想方法在發(fā)現(xiàn)、分析、解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中為學(xué)生的學(xué)習(xí)、思考、解題提供了策略性的知識(shí)和方向，使得學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)也體會(huì)并掌握知識(shí)發(fā)生、發(fā)展中所蘊(yùn)含的思想方法，因此，對(duì)于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法具有無(wú)法替代的積極含義.

3. 對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的提高鋪就了基石

學(xué)生只有在掌握了一定的數(shù)學(xué)思想方法以后才能使得自身數(shù)學(xué)能力的各個(gè)方面得以提高，因此，數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)生數(shù)學(xué)能力發(fā)展提高的基礎(chǔ)，它為學(xué)生數(shù)學(xué)能力提高以及思想方法之間的轉(zhuǎn)化與變形鋪就了成功的基石.

[?] 結(jié)束語(yǔ)

因此，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師積極幫助學(xué)生了解與構(gòu)建數(shù)學(xué)思想是勢(shì)在必行的，教師應(yīng)遵循循序漸進(jìn)的原則促使學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科數(shù)學(xué)化與形式化特點(diǎn)的理解，并在此基礎(chǔ)上形成扎實(shí)、科學(xué)的數(shù)學(xué)思維，從而促進(jìn)學(xué)生具有自身思維特色的數(shù)學(xué)思想得以建立，最終使得學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)得以全面提高.