李倩++張之正+牛惠芳

摘要：新課程改革提倡高效課堂教學(xué)，教師教學(xué)行為對(duì)高效課堂教學(xué)起著至關(guān)重要的作用. 本文以高效的教師教學(xué)行為理論為指導(dǎo)，對(duì)回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).回歸分析是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一種重要的統(tǒng)計(jì)方法，對(duì)解決實(shí)際問題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

關(guān)鍵詞：高效課堂教學(xué)；教學(xué)行為；回歸分析；教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類號(hào)】G633.6

1.問題的提出

高中新課程標(biāo)準(zhǔn)指出，對(duì)于希望繼續(xù)升入高一級(jí)學(xué)校學(xué)習(xí)或具有較高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生，需要在必修課程的基礎(chǔ)上進(jìn)一步學(xué)會(huì)適合于自己的數(shù)學(xué)，為此，課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)置選修課程.它的內(nèi)容按照遵循學(xué)生的個(gè)性發(fā)展和對(duì)未來的人生規(guī)劃思考而制定.他們對(duì)選修課的態(tài)度，決定了他們上選修課時(shí)的教學(xué)行為，進(jìn)而影響學(xué)生對(duì)這一部分知識(shí)的學(xué)習(xí). 選修系列1是為那些希望在人文、社會(huì)科學(xué)等方面發(fā)展的學(xué)生而設(shè)置的.選修1—2中的回歸分析的基本思想及其應(yīng)用是新課程標(biāo)準(zhǔn)新增加的內(nèi)容，是數(shù)學(xué)必修3中統(tǒng)計(jì)內(nèi)容的進(jìn)一步拓展. 在數(shù)學(xué)必修3中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，包括畫散點(diǎn)圖，利用最小二乘法求回歸直線方程等內(nèi)容.這一部分的知識(shí)內(nèi)容多，學(xué)時(shí)短，對(duì)于學(xué)生來說有一定的難度.因此，本文以高效課堂教學(xué)行為理論為指導(dǎo)，探究回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（第一課時(shí)）的教學(xué)設(shè)計(jì)，對(duì)高中選修課的教學(xué)改革提供一些參考.

2.高效課堂設(shè)計(jì)的設(shè)想

高效課堂的教師教學(xué)行為對(duì)于新課程改革來說，是非常重要的一環(huán).高效教學(xué)行為應(yīng)該具有的特征是：要在八方聯(lián)系、融會(huì)貫通中開展數(shù)學(xué)活動(dòng)；教師要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透和總結(jié).高效課堂教師教學(xué)行為下的教學(xué)設(shè)計(jì)思想遵從以下幾方面的原則：（1）教師進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)嚴(yán)格按照教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)要求制定；（2）教師需要轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，將先進(jìn)的教學(xué)理念化作課堂實(shí)施內(nèi)容；（3）教師教學(xué)時(shí)要體現(xiàn)以學(xué)生為主體的理念，關(guān)注學(xué)生全面發(fā)展.

3.教學(xué)目標(biāo)的確定

教師在制定教學(xué)目標(biāo)時(shí)，既要考慮全班同學(xué)的實(shí)際情況，又要考慮每個(gè)學(xué)生的發(fā)展?fàn)顩r.學(xué)習(xí)統(tǒng)計(jì)的相關(guān)知識(shí)，目的是使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的過程，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)的直觀感覺，認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)方法的特點(diǎn)，體會(huì)統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用的廣泛性和對(duì)于決策的作用.

4.教學(xué)過程設(shè)計(jì)

回歸分析的基本思想及其應(yīng)用是一節(jié)應(yīng)用型的數(shù)學(xué)課，課程的內(nèi)容較多，并且是由大學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容下放到高中數(shù)學(xué)的內(nèi)容，對(duì)于高中生來說具有一定的難度.本文采用問題導(dǎo)入法，從高效課堂的教師教學(xué)行為的角度做如下教學(xué)設(shè)計(jì)：

3.1創(chuàng)設(shè)情境，新課導(dǎo)入

教師行為描述：開始上課之時(shí)，教師從所在班級(jí)隨機(jī)選取8名女生，請(qǐng)她們報(bào)出自己的身高和體重（身高單位是cm，體重單位是kg）.把這8位女生的身高和體重都填入事先制定好的表格1中，然后提出問題.

問題1.根據(jù)班級(jí)中女生的身高預(yù)報(bào)體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高169cm（隨機(jī)選取的8名學(xué)生中沒有身高為169cm，而班級(jí)中有身高為169cm的女生）的女同學(xué)的體重.

教師行為描述：其次，教師通過語(yǔ)言提示，提醒學(xué)生回顧必修3中已經(jīng)學(xué)過的變量之間的相關(guān)關(guān)系，分析解決問題的方法.教師采用相關(guān)的軟件畫出其散點(diǎn)圖（如圖1），請(qǐng)同學(xué)們觀察身高和體重這兩個(gè)變量間的相關(guān)關(guān)系.同學(xué)們由圖1可知，二者呈線性相關(guān)關(guān)系.同學(xué)們可以借助計(jì)算器，按照學(xué)過的公式求出回歸方程.同時(shí)，教師可以采用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件畫出其回歸直線 （如圖2）.應(yīng)用相關(guān)軟件求回歸方程及其圖象時(shí)，教師向同學(xué)們介紹相關(guān)數(shù)學(xué)軟件的功能，并告訴大家給的數(shù)據(jù)越多，利用軟件求解就越方便.（在教學(xué)過程中建議教師在采用excel求出回歸直線方程，因這是求回歸分析最簡(jiǎn)單的軟件.）

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)這樣的情境（當(dāng)然，也可以以男同學(xué)的身高和體重為例），能夠提高學(xué)生的積極性與主動(dòng)性，使學(xué)生快速進(jìn)入到數(shù)學(xué)課堂中來.教師在此過程中，采用多媒體（包括教學(xué)課件和Excel）課堂演示并加以引導(dǎo)的教學(xué)方法，內(nèi)容的深度和廣度可以很好的滿足實(shí)際應(yīng)用的需要. 這樣，不但在實(shí)際教學(xué)工

3.2自主探究，引發(fā)思考

問題2：對(duì)于身高為169cm的同學(xué)，由回歸方程預(yù)報(bào)的體重為60.32kg，所得的預(yù)測(cè)值一定是該同學(xué)的體重嗎？如果不是，你能夠解釋一下原因嗎？若改變樣本，即所選的8名同學(xué)不同，所預(yù)測(cè)的結(jié)果是否相同？

教師行為描述：教師從班級(jí)中挑選出班級(jí)里身高為169cm的女生，讓她們報(bào)出自己的體重.同學(xué)們發(fā)現(xiàn)班級(jí)中有身高為169cm的女生的體重不是60.32kg.接下來，請(qǐng)同學(xué)們思考原因是什么.請(qǐng)幾個(gè)同學(xué)們?cè)囍f一說原因，之后教師讓同學(xué)們觀察圖2，發(fā)現(xiàn)樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以用一次函數(shù) 來描述它們之間的關(guān)系不太準(zhǔn)確.它們之間只是近似有這樣的關(guān)系. 是樣本對(duì) 的估計(jì)值. 教師讓學(xué)生分組，看看所選的8名同學(xué)不同，所得出的相關(guān)關(guān)系有何不同，預(yù)測(cè)的結(jié)果又是如何.

設(shè)計(jì)意圖：以班級(jí)中實(shí)際例子來說明預(yù)測(cè)值不一定是該同學(xué)的體重.引發(fā)學(xué)生的思考.在這個(gè)教學(xué)過程中，教師在引導(dǎo)著學(xué)生一步一步的探索. 該過程體現(xiàn)出教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)者、啟發(fā)者、指導(dǎo)者.

3.3師生交流，講授新知

教師根據(jù)學(xué)生的反應(yīng)情況，實(shí)施相應(yīng)的教學(xué)策略.學(xué)生在建構(gòu)知識(shí)的同時(shí)，發(fā)現(xiàn)回歸方程的預(yù)測(cè)值與實(shí)際情況會(huì)出現(xiàn)誤差這一現(xiàn)象，并且受樣本的影響.教師順勢(shì)提出樣本的隨機(jī)性引起的預(yù)報(bào)值和真實(shí)值的誤差，從而提出隨機(jī)誤差（random error）的定義.給出隨機(jī)誤差的定義之后，用案例進(jìn)行說明利用回歸分析所建立的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)會(huì)存在誤差.用軟件和多媒體展示在搜集數(shù)據(jù)時(shí)選取的樣本不同，產(chǎn)生的隨機(jī)誤差也不相同，同時(shí)給出線性回歸模型 ，其中 稱為隨機(jī)誤差.

問題3：產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因是什么？在線性回歸模型中， 是用 預(yù)報(bào)真實(shí)值 的隨機(jī)誤差，它是一個(gè)不可觀測(cè)的量，那么應(yīng)該怎樣研究隨機(jī)誤差呢？endprint

教師用非常響亮的聲音提出產(chǎn)生隨機(jī)誤差的原因是什么.采用頭腦風(fēng)暴的方式，讓同學(xué)們回答他們所想到的原因.讓學(xué)生明白一個(gè)人的體重除了受身高的影響外，還受其它許多因素的影響.線性回歸方程只是近似表示身高和體重的關(guān)系.緊接著再拋出提問，怎樣研究隨機(jī)誤差呢.此問題由小組合作，同學(xué)們相互討論來完成.在討論的過程中，教師參與到某一小組，聽一聽學(xué)生們是如何考慮的. 鼓勵(lì)每一個(gè)學(xué)生參與到同伴的討論中.教師總結(jié)問題結(jié)論：隨機(jī)誤差的估計(jì)值 ， . 稱為相應(yīng)于點(diǎn) 的殘差（residual）.

設(shè)計(jì)意圖：教師應(yīng)該對(duì)此內(nèi)容有著深刻的理解，用厚實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)來講解，將教學(xué)內(nèi)容多樣化的呈現(xiàn)出來，這樣能很好的吸引學(xué)生.教師更多的對(duì)學(xué)生施加間接影響，多提問，少講授，在教學(xué)中充分考慮學(xué)生所表達(dá)的思想和感情.

教師行為描述：給出殘差的定義之后，教師再給同學(xué)們一些時(shí)間，討論這兩個(gè)問題.確定用殘差的知識(shí)來解決之后，讓同學(xué)們分組計(jì)算問題1中每個(gè)樣本點(diǎn)的殘差 （如表2）.為了更直觀的表示，可以用圖形來分析殘差的特性.教師指導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手繪出殘差圖，教師用統(tǒng)計(jì)軟件做出以樣本編號(hào)為橫坐標(biāo)的殘差圖（如圖3）.最后給同學(xué)們留下思考題：如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的錯(cuò)誤？如何衡量模型的擬合效果？這個(gè)問題讓學(xué)生課下思考.

設(shè)計(jì)意圖：計(jì)算殘差、作殘差圖，也是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容，需要師生的重視.通過師生的共同探討，采用講授法教學(xué)，突破教學(xué)重點(diǎn).教師領(lǐng)悟并恰當(dāng)運(yùn)用“教與學(xué)”對(duì)應(yīng)原理，即教師的“教”建立在學(xué)生的“學(xué)”基礎(chǔ)之上，也能夠提高學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效率.

（1） 作GDP和年份的散點(diǎn)圖，根據(jù)該圖猜想它們之間的關(guān)系應(yīng)是什么.

（2） 建立年份為解釋變量，GDP為預(yù)報(bào)變量的回歸模型，并計(jì)算殘差.

（3） 根據(jù)你得到的模型，預(yù)報(bào)2003年的GDP，看看你的預(yù)報(bào)值與實(shí)際GDP（117252億元）的誤差是多少.

設(shè)計(jì)意圖：將經(jīng)濟(jì)學(xué)等相關(guān)知識(shí)融入回歸模型，增加模型直觀背景的講解，使學(xué)生更好的理解和掌握線性回歸分析的應(yīng)用，使學(xué)生能夠與前面所學(xué)的知識(shí)融會(huì)貫通，激發(fā)學(xué)生根據(jù)理論知識(shí)的學(xué)習(xí)應(yīng)用到實(shí)際案例中去，通過模型的建立與分析，提高學(xué)生的實(shí)際操作技術(shù)和解決現(xiàn)實(shí)社會(huì)經(jīng)濟(jì)問題的能力.

3.5課堂總結(jié)，回顧重點(diǎn)

教學(xué)的小結(jié)回顧，讓學(xué)生明確知道本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，加深學(xué)生從整體上對(duì)知識(shí)的理解.回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的常用方法.采用回歸分析基本思想，解決實(shí)際問題的過程如下：

（1）從散點(diǎn)圖看出樣本點(diǎn)呈條狀分布，體重與身高具有線性關(guān)系，因此可以利用線性回歸方程來近似刻畫它們之間的關(guān)系.（2）由回歸方程預(yù)測(cè)到的身高為169cm的女生體重不一樣，它只是一個(gè)平均值.（3）樣本點(diǎn)不完全落在回歸方程之上，存在隨機(jī)誤差，在數(shù)學(xué)上可以用殘差來研究.

5.教學(xué)反思

本設(shè)計(jì)把信息技術(shù)與課程內(nèi)容有機(jī)結(jié)合作為課程的基本理念和數(shù)學(xué)教師的任務(wù).數(shù)學(xué)教師有效地使用各種數(shù)學(xué)教育技術(shù)平臺(tái)，讓學(xué)生不再認(rèn)為數(shù)學(xué)只是公式的記憶及數(shù)據(jù)代入，感受到數(shù)學(xué)的魅力所在.該教學(xué)設(shè)計(jì)注重學(xué)生的發(fā)展，體現(xiàn)出學(xué)生是課堂的真正主人. 通過學(xué)生在課堂上的探索發(fā)現(xiàn)，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法，如統(tǒng)計(jì)思想、隨機(jī)觀念，函數(shù)思想，數(shù)形結(jié)合思想方法等，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)中的理性精神，加強(qiáng)數(shù)字形式下的思考和推理.當(dāng)然，此教學(xué)設(shè)計(jì)也存在不足之處.教學(xué)重難點(diǎn)、作業(yè)以及板書設(shè)計(jì)等都省略了，教學(xué)設(shè)計(jì)內(nèi)容的重在描述教師課堂教學(xué)的行為.

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基金項(xiàng)目：河南省教育課程改革研究項(xiàng)目（教師（2012）1111號(hào)）endprint