李紅春

摘 要：數(shù)學(xué)是一種文化，教學(xué)過(guò)程中對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證思維的啟發(fā)和培養(yǎng)，使學(xué)生逐步形成一種自覺(jué)的辯證思維能力，對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展有著重要的意義.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以從抽象與具體、特殊與一般、繁與簡(jiǎn)、分與合、主與次、進(jìn)與退、正與反、靜與動(dòng)、實(shí)與虛等九個(gè)方面對(duì)數(shù)學(xué)解題滲透辯證思維.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)解題；辯證思維；數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)辯證思維是從聯(lián)系、運(yùn)動(dòng)、發(fā)展的三個(gè)方面來(lái)考查對(duì)象，它在教學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起著重要的作用，它是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要策略，教學(xué)過(guò)程中教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證思維的啟發(fā)和培養(yǎng)，使學(xué)生逐步形成一種自覺(jué)的辯證思維能力，對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展有著重要的意義.筆者結(jié)合近二十年的教學(xué)經(jīng)歷，從九個(gè)方面通過(guò)實(shí)例展示辯證思維在數(shù)學(xué)解題中的滲透.

一、抽象與具體

高度的抽象性是數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科的最顯著特點(diǎn)之一，善于將抽象概念形象化，抽象符號(hào)具體化，抽象問(wèn)題情境化，抽象方法直觀化，抽象表述通俗化，可以有效降低抽象程度，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)的難度.

例1 求證：

解 班上有名學(xué)生，其中有名男生，名女生，左邊表示從名學(xué)生中選出名學(xué)生；右邊表示具體情況：若選出0名男生，則選出名女生；若選出名男生，則選出名女生；……若選出名男生，則選出名女生.故

點(diǎn)評(píng) 這是一個(gè)典型的將抽象問(wèn)題情境化的例子，將冰冷抽象的數(shù)學(xué)式子賦予具體的生活背景，思考起來(lái)生動(dòng)形象，妙趣橫生，讓人難以忘懷.

二、特殊與一般

一般性寓于特殊性之中，并通過(guò)特殊性表現(xiàn)出來(lái)，通過(guò)特殊可認(rèn)識(shí)一般.數(shù)學(xué)解題中，對(duì)特殊問(wèn)題的研究、感悟、歸納、概括、提煉是解決一般問(wèn)題的重要策略.

例2 設(shè)函數(shù)滿(mǎn)足：①對(duì)任意實(shí)數(shù)、都有；②對(duì)任意實(shí)數(shù)均有成立；③不恒等于，當(dāng)時(shí).試求的值.

解 因?yàn)椴缓銥?，故存在?shí)數(shù)使得.令，，則

，即

，因，故.

令，，則

，

而，故，

即，于是是偶函數(shù).又，則，于是，因此，因此是以為周期的函數(shù).那么.令，由條件①得：

，所以，又，故；令，由條件①得：，即，再令得：，而，聯(lián)立兩式可求得：，，由條件②得：，，故

，

由函數(shù)以2為周期，故

=

.

點(diǎn)評(píng) 本題求解如此復(fù)雜，是如何想到的？其實(shí)，首先由已知條件可聯(lián)想特例，由特例猜測(cè)抽象函數(shù)也該有如下性質(zhì)：如偶函數(shù)、有周期性、等，辨別哪些條件對(duì)解題有幫助，再一一從一般情況證明，基于這些性質(zhì)，再將問(wèn)題解決.

三、繁與簡(jiǎn)

當(dāng)我們面臨的是一道結(jié)構(gòu)復(fù)雜、難以入手的題目時(shí)，要設(shè)法轉(zhuǎn)化為一道或幾道比較簡(jiǎn)單、易于解答的新題，以便通過(guò)對(duì)新題的考察，啟迪解題思路，以簡(jiǎn)馭繁，解出原題.

例3 設(shè)正數(shù)滿(mǎn)足，求證：

證明：由

，

知，

于是：

同理：，

，

以上三式相加得：

點(diǎn)評(píng) 本題從整體上入手比較困難，退回局部分析，局部研究清楚后整體便不攻自破.形式上的簡(jiǎn)單，有時(shí)是思維上的復(fù)雜，形式上的復(fù)雜，有時(shí)卻是思維的簡(jiǎn)單，這同樣是一種智慧.

四、分與合

分類(lèi)討論是數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題因要考慮的情形較多，一般分開(kāi)研究再綜合一起，但也不能形成思維定式，有時(shí)不分反而是一種智慧.

例4 若，，則不等式的解集為_(kāi)________.

解 由得

，即，

即或.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于“連不等式”，通常是分成兩個(gè)分式不等式單獨(dú)求解，再取交集，本題的解答反其道而行，讓人耳目一新，其中蘊(yùn)含的哲理卻相當(dāng)深刻，數(shù)學(xué)解題要善于變通，不可思維單一.

五、主與次

“橫看成林側(cè)成峰”，不同的角度看到的問(wèn)題不盡相同，解數(shù)學(xué)題要學(xué)會(huì)統(tǒng)攬全局，尤其是遇到多重限制條件時(shí)更要分清主次，換位思考.

例5 從6人中選出4人分別去巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市旅游，要求每個(gè)城市有1人游覽，要求每個(gè)人只游覽一個(gè)城市，且這6個(gè)人中甲、乙不去巴黎，則不同的選擇方案共有______.

解法1 以“人員”為主，依次考慮“甲乙都不去”“甲乙只去1人”“甲乙都去”三種情形，則有種.

解法2 以“地點(diǎn)”為主，依次考慮巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個(gè)城市可供選擇的人數(shù)，依據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，則有種.

點(diǎn)評(píng) 本題涉及“地點(diǎn)”和“人員”兩個(gè)要素，分析問(wèn)題時(shí)，以哪個(gè)要素為“主導(dǎo)”，雖然有隨意性，但難易程度迥然不同.

六、進(jìn)與退

數(shù)學(xué)解題就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程，將未知的轉(zhuǎn)化為已知的，陌生的轉(zhuǎn)化為熟悉的，形式繁雜的轉(zhuǎn)化為形式簡(jiǎn)單的過(guò)程，但也不是絕對(duì)的.

例6 （武漢市2015屆高三二月調(diào)考理科第10題）已知點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（ ）

A. B. C. D.

解 設(shè)，則又，于是

.

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取最小值，故選A.

點(diǎn)評(píng) 將簡(jiǎn)單的待求式轉(zhuǎn)化為復(fù)雜的式子，然后再配方求解，以退求進(jìn)，著實(shí)讓人意外，乃匠心獨(dú)運(yùn)之作.

七、正與反

“正難則反”本質(zhì)是一種“轉(zhuǎn)換”的數(shù)學(xué)思想，是一種打破常規(guī)思維，采用逆向思考的解題策略，但一個(gè)問(wèn)題正面的確很復(fù)雜，是否真的需要從反面入手也是充滿(mǎn)智慧，需要因題而異的.

例7 方程、

、至少一個(gè)有實(shí)數(shù)根，求的范圍.

解 設(shè)三個(gè)方程對(duì)應(yīng)的判別式依次為、、，則

；

；

；

設(shè)以上三個(gè)范圍對(duì)應(yīng)的集合為，

取其并集得：

.

點(diǎn)評(píng) 本題如果不深入思考，從正面入手確實(shí)需要分7種情況討論，因此大部分人會(huì)選擇從反面入手，但如果你細(xì)心理解兩個(gè)集合“并集”的概念就是指“元素至少來(lái)自其中一個(gè)集合”，你會(huì)恍然大悟.

八、靜與動(dòng)

唯物辯證法認(rèn)為，世間萬(wàn)事萬(wàn)物都處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之中，運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，靜止是相對(duì)的，動(dòng)中有靜，靜中有動(dòng).只有在運(yùn)動(dòng)的事物中尋求相對(duì)的靜止，才能把握事物的本質(zhì)，只有用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看待事物，才能把握事物的全貌，二者是辯證統(tǒng)一的關(guān)系.數(shù)學(xué)中的很多問(wèn)題，就體現(xiàn)著這樣的辯證關(guān)系.

例8 如圖1，已知分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)橢圓上第二象限一定點(diǎn)的切線為，過(guò)原點(diǎn)作交于點(diǎn)，則與的關(guān)系是（ ）

A. B.

. D.

分析 作為選擇題，小題不大做，為第二象限上的一定點(diǎn)，從運(yùn)動(dòng)的角度看，當(dāng)趨近橢圓上頂點(diǎn)時(shí)，趨近點(diǎn)（如圖2），此時(shí)，即；當(dāng)趨近橢圓左頂點(diǎn)時(shí)，趨近點(diǎn)（如圖3），此時(shí)亦有，故，選A.

點(diǎn)評(píng) 本題題干中指明點(diǎn)為定點(diǎn)，為何分析時(shí)偏偏看成動(dòng)點(diǎn)？這其中是充滿(mǎn)智慧的，動(dòng)中覓靜，靜中思動(dòng)，以靜制動(dòng)，動(dòng)靜結(jié)合，這是數(shù)學(xué)解題中的辯證法.

九、實(shí)與虛

“虛”與“實(shí)”實(shí)際上是一對(duì)對(duì)立統(tǒng)一體，解題中如果一味“求實(shí)”，有時(shí)會(huì)“山窮水盡”，智慧的“就虛”有時(shí)能“柳暗花明”.

例9 已知，當(dāng)時(shí)恒成立，求正整數(shù)的最大值.

解 由 得

，因，則

，

設(shè)，

則，

記，，

則，所以在遞增，而，，故存在唯一實(shí)根滿(mǎn)足且，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減，故而，故正整數(shù)的最大值為.

點(diǎn)評(píng) 函數(shù)的零點(diǎn)客觀存在，但精確值無(wú)法求出，如果一味糾結(jié)，將寸步難行，采用“虛設(shè)零點(diǎn)”的方法巧妙將障礙繞過(guò)去，體現(xiàn)“避實(shí)就虛”的思想.

數(shù)學(xué)是一種文化，數(shù)學(xué)教育的基本宗旨是實(shí)現(xiàn)“人”的培養(yǎng)，在數(shù)學(xué)解題中教會(huì)學(xué)生用辯證的思維看待問(wèn)題，既能激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，又能防止思維固化，提高思維的靈活性.endprint