廖莉

【摘要】常微分方程是在解答各種數(shù)學(xué)問(wèn)題中的常用方法，一般將整個(gè)數(shù)學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行分析總結(jié)，然后對(duì)其中的各種關(guān)系進(jìn)行抽象化的理解。最終運(yùn)用一個(gè)抽象的公式將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型。這就是數(shù)學(xué)建模中常微分方程的一般應(yīng)用過(guò)程，文章將對(duì)這一應(yīng)用進(jìn)行探討。

【關(guān)鍵詞】常微分方程 數(shù)學(xué)建模 應(yīng)用

【中圖分類(lèi)號(hào)】G64 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2017）38-0139-02

1.前言

數(shù)學(xué)建模中經(jīng)常會(huì)應(yīng)用到常微分方程思維，這種方法大大降低了實(shí)際問(wèn)題的難度，將一種抽象化的思維模式運(yùn)用到實(shí)際問(wèn)題的解答過(guò)程中，會(huì)給解題過(guò)程帶來(lái)很大的方便。而且作為數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的中心學(xué)科，運(yùn)用常微分方程可以解答實(shí)際生活中遇到的各種問(wèn)題。本文將圍繞常微分方程中數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用進(jìn)行深入的分析研究。

2.常微分方程與數(shù)學(xué)建模結(jié)合的特點(diǎn)

對(duì)不同的運(yùn)算對(duì)象我們需要有不同的數(shù)學(xué)模型來(lái)與之相對(duì)應(yīng)，才能在進(jìn)行更加復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程中不會(huì)出現(xiàn)數(shù)據(jù)的缺失和混亂。同時(shí)還要完成對(duì)研究對(duì)象的建模目的的簡(jiǎn)化過(guò)程。其次，還要在其它類(lèi)似的模型中尋找解答問(wèn)題的關(guān)鍵，也就是與其相似的解題規(guī)律或思路。這樣的操作就可以做到對(duì)其結(jié)果的有效反饋，從而正確得出實(shí)際問(wèn)題的答案。[1]當(dāng)然數(shù)學(xué)建模本身就是一個(gè)需要分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的創(chuàng)造性思維運(yùn)用的過(guò)程。所以需要找準(zhǔn)切入點(diǎn)，才能結(jié)合常微分方程很好地解題，從而充分體現(xiàn)建模思維的解題策略。常微分方程的解題思路將給我們的抽象化思維帶來(lái)一種新的解題體驗(yàn)，它可以將數(shù)學(xué)模型中的各種復(fù)雜關(guān)系用一種最為凝練的數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)表達(dá)。整個(gè)的推導(dǎo)過(guò)程雖很繁瑣，但是這種解題方式、思維方式的運(yùn)用，與數(shù)學(xué)建模方法的結(jié)合使用，將會(huì)給數(shù)學(xué)問(wèn)題的解答帶來(lái)很多意想不到的好處?，F(xiàn)在人們常將常微分方程與數(shù)學(xué)建模方法結(jié)合使用。這樣會(huì)實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的簡(jiǎn)化，常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用也使得數(shù)學(xué)科學(xué)步入快速發(fā)展階段。[2]

3.數(shù)學(xué)建模中的常微分方程應(yīng)用

3.1產(chǎn)品推廣模型的建立

與數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)緊密的經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)中，經(jīng)常要對(duì)所研究問(wèn)題變量的變化、增長(zhǎng)等實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行討論。需要把常微分方程與數(shù)學(xué)建模結(jié)合起來(lái)，并對(duì)其中的變化規(guī)律進(jìn)行公式化的總結(jié)。比如某公司將一種新型的產(chǎn)品推廣到市場(chǎng)當(dāng)中，T時(shí)的銷(xiāo)售數(shù)目為Y（T），而且產(chǎn)品贏得了較好的口碑，銷(xiāo)售良好。那么，這種產(chǎn)品T時(shí)的產(chǎn)品銷(xiāo)售量的增加量dT/dY與Y（T）是成正比的，這種產(chǎn)品的銷(xiāo)售量也會(huì)達(dá)到飽和。市場(chǎng)最大消耗量M，根據(jù)公司的調(diào)查結(jié)果dT/Y（T）與此種商品的潛在銷(xiāo)售量之間也成正比關(guān)系。因此可以得出dY/dT=kY（M-Y），這其中的常數(shù)k是大于零的數(shù)，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的運(yùn)算簡(jiǎn)化可以得到y(tǒng)（t）=m/（1+Ce-kmt）。并由dy/dt=cm2ke-kmt/（1+Ce-kmt）和d2y/dt2=ck2m3e-kmt（Ce-kmt-1）/（1+Ce-kmt）3，那么如果y（t*）處于零到m之間時(shí)，dt/dy大于0，就會(huì)出現(xiàn)銷(xiāo)量的遞增，反之就會(huì)出現(xiàn)銷(xiāo)量的遞減。

3.2通風(fēng)問(wèn)題的模型

通風(fēng)問(wèn)題就是指某些工廠，比如化工廠在進(jìn)行生產(chǎn)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生很多的有毒有害氣體。如果不能及時(shí)將這些有毒有害氣體排出工廠車(chē)間，將會(huì)對(duì)車(chē)間內(nèi)員工產(chǎn)生極大的危害。要保證足量的氧氣注入，就是化工廠面臨的通風(fēng)問(wèn)題。比如在一個(gè)一萬(wàn)立方的工廠車(chē)間中，空氣中的二氧化碳含量為萬(wàn)分之十二，新鮮空氣中的含量為萬(wàn)分之四。如果需要在十分鐘之后要其含量低于萬(wàn)分之六，那么每分鐘要注入多少新鮮空氣？根據(jù)具體的關(guān)系式：進(jìn)入量（排走量）=進(jìn)入速度*氣體濃度*所用時(shí)間，氣體的實(shí)際增加量=注入量-排走量。[3]根據(jù)實(shí)際情況并結(jié)合常微分方程與數(shù)學(xué)建模方法的思路，可以假設(shè)在某一時(shí)刻s，二氧化碳的總量為wx，另一時(shí)刻s+ds為w（x+dx），所以利用常微分方程可以得到增量為wdx，即wdx=agds-axds，化簡(jiǎn)之后就可以得到dx/（x-g）=-ads/w。經(jīng)過(guò)運(yùn)算得出a=-1080ln0.25，也就是體積流量a=1500m3/min。也就說(shuō)每分鐘通入1500立方的新鮮空氣就可以在十分鐘之后使工廠車(chē)間內(nèi)的二氧化碳含量低于萬(wàn)分之六。

4.結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)以上分析，我們可以看出常微分方程在數(shù)學(xué)建模應(yīng)用中的巨大優(yōu)勢(shì)。對(duì)于建模思維的充分運(yùn)用以及對(duì)于復(fù)雜數(shù)學(xué)問(wèn)題的簡(jiǎn)化發(fā)揮極大作用。因此，在以后的數(shù)學(xué)發(fā)展研究中，我們要抓住常微分方程在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用，才能拓展在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]郝文斌.常微分方程在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J].理工發(fā)展.2014（10）44-47

[2]王保平.數(shù)學(xué)建模的多方面應(yīng)用[J].學(xué)術(shù)論壇.2016（5）102-104

[3]陳華.常微分方程的發(fā)展應(yīng)用[J].2016（1）77-79endprint