翟榮俊

摘 要

如何提高高三數學一輪復習課的有效性？許多在高三一線教學的老師提出了很多觀點，總結出很多具體實施的方法和措施，比如有的教師認為要研究考綱考點、高考試題、考試說明，增強授課的針對性；有的認為教師要下題海，精心挑選練習題，精講多練；要求學生搞錯題本；要有教學計劃；教師要團結合作，共享資源；查缺補漏，培優(yōu)轉差，激勵學生等等.當然我們并不否定前面所提的許多具體措施，這些措施對提高課堂教學效果，促進學生成績的提高無疑是有效的.但是僅僅做到這些還不能大面積提高學生的數學成績，課堂教學有效性的核心內容是學生的發(fā)展，是學生對知識的自我構建，形成能力.課堂上必須是學生為主體，教師為主導，學生全面參與教學，知識體系、技能方法是學生自我構建的，而不是老師教給學生，更不是死記硬背.構建主義理論同樣適用于高三復習課的教學，新課程理念與高考并不矛盾，相反，高三復習課必須在新課程理念的指導下才能最大限度地提高課堂教學的有效性，才能大面積提高學生的高考成績。

【關鍵詞】高三數學；一輪復習課；有效性

受某名校邀請，筆者就高三一輪復習中《直線與圓》的內容上了一節(jié)公開課，以下為課堂實錄：

1 課前對話

（1）開場白：解析幾何的學習，大家最大的感觸是什么？感覺最難的是什么？

師生總結：運算量大，方法多，面對參數的時候不知如何轉化。

（2）解析幾何的基本數學思想——數形結合，

以兩個重要的思想觀念為基礎：

一是坐標觀念，通過位置量化——點的代數化；

二是運動變化的思想，點動成線，實現圖形代數化。

（3）解析幾何的基本方法——幾何問題代數化（代數語言描述幾何要素及其關系）

幾何問題代數化——處理代數問題——分析代數結果的幾何意義——解決幾何問題。

（4）突出：平面解析幾何的本質還是幾何，是通過代數解析的方法解決幾何問題。

2 教學過程

問題1.已知圓C經過點

三點，則圓C的方程為 。

學生思考，討論，給出了以下方法。

方法一：待定系數法。設圓C方程為，因為經過A，B，C三點，

所以有；圓C的方程為。

方法二：細致觀察后，可以發(fā)現，

，發(fā)現，圓C是以B，C為直徑的圓，所以圓C的方程為

，

化簡可得C的方程為。

（解后反思，解析幾何問題的關鍵是幾何問題代數化，在分析幾何特性的時候，要善于觀察幾何關系，從而優(yōu)化運算）

追問：若過原點O作直線l，恰好與圓C相切。則直線l的方程為 。

方法一：圓C：x2+y2-4x+3=0可轉化為（x-2）2+y2=1，直線l與圓C相切，

所以直線l斜率存在，設為k，直線l方程為y=kx

所以圓心（2，0）到直線的l距離

。

方法二：將y=kx帶入圓C方程，可得；

化簡可得關于x的方程，因為直線l與圓C相切，

所以。

方法三：圖象分析，由圖1可知，，

所以斜率為

歸納小結：數形結合會給解題帶來很多的驚喜。學會多角度的分析問題，在靈活多變的方法中，找尋最適合的方法。

2.已知點，直線l的方程為y=x+2，O為坐標原點，試分析直線l上是否存在點P，滿足。

解析：學生比較容易想到的方法是設點P。利用兩點間距離公式構建方程，研究方程的根。

方法一：假設存在點滿足條件，則，

可得到，化簡可得方程，

因為方程判別式，方程無解，所以得到在直線l上不存在點P，滿足。

方法二：研究點P的幾何特征，可設點P（x，y），因為，考慮阿波羅尼斯圓，

由可得，所以；化簡可得點P所在的曲線方程為圓，

因為圓心M到直線l的距離

，所以不存在滿足條件的點P。

（解后反思：在研究存在性問題時，不僅僅要重視設點構建方程求解，更要重視滿足幾何條件得點是否有確定的軌跡，從而簡化問題的解決過程）

追問：已知點，直線l的方程為，O為坐標原點，若直線l上總存在兩個不同的點P，滿足，則直線l斜率的取值范圍為 。

解析：本題的研究中，如果學生采用設點P。利用兩點間距離公式構建方程，研究方程的根。的方法會比較繁瑣，可以從幾何特點出發(fā)研究問題。

解析：直線l的方程為，所以直線l經過定點，斜率為k。

點P滿足，可得到點P所在的曲線方程為圓，

觀察圖2，可得當直線l與圓M相切時，

斜率，

直線l上總存在兩個不同的點P，滿足PA=2PO，

所以直線l斜率的取值范圍為。

歸納小結：阿波羅尼斯圓在近年高考及模擬題中時常出現。

反映出命題中對數學文化的關注，在問題的研究中要關注。

3.已知在平面直角坐標系xoy中，曲線y=x2-6x+1與坐標軸的交點都在圓C上。求圓C的方程。

解析：學生比較容易想到的方法是求出曲線y=x2-6x+1與坐標軸的三個交點坐標，分別是，根據圓的特點，設圓心C（3，m），利用CA=CP，求出圓心，得到半徑，從而得到圓C的方程。

方法一：圓心C（3，m），利用，求出m=1，r=3。

所以圓C的方程為。

方法二：利用同解方程的特點，可直接設圓C的方程為，因為圓C過點 ，所以，所以圓C的方程為，即。

（解后反思：在求解圓的方程時，可以從解方程的角度，把握整體性，利用同解問題，簡化方程形式，從而優(yōu)化解題過程。）endprint

追問1：若圓C與直線交于A，B兩點，且（O為坐標原點），求實數a的值。（本題也可以將“”變?yōu)椤耙跃€段AB為直徑的圓經過原點O”）

解析：直線代入圓C：，

可得：（﹡），設，

如圖3所示。

則，因為，所以。

所以

因為a=-1時，方程（﹡）的判別式，滿足條件，所以a=-1。

追問2：過點P（1，0）作圓C兩條互相垂直的弦AB，MN，

求證：為定值。

解析：，

，

因為，

所以為定值。

追問3：試求四邊形AMBN的面積最大值。

解析：，

當且僅當AB=MN時，四邊形AMBN的面積取到最大值為13。

3 對本節(jié)課的課后體會與思考

（1）高三數學復習課的教學內容和應充分和學生的實際學情相結合才能提高復習效率的時效性，數學的嚴謹求實也應和學生的活躍主動相結合才能有更好的復習效果。

（2）對本節(jié)課在教學實施中，老師充分體現了新課程理念，從學生的學的角度出發(fā)，層層推進，具體表現在：

第一步：問題引動，加強基礎

夯實基礎是數學第一輪復習的教學目標之一，對于基礎知識的復習，由于學生已經有了第一次的學習經歷，再加上課前的復習，總認為自己知道，傳統(tǒng)的提問回答勢必使學生感到乏味，因此，在教學中，圍繞教學內容，設計問題，引導學生在解決問題中，使學生主動地復習相關知識。

第二步：主動探究，培養(yǎng)能力

提高素質，培養(yǎng)能力是第一輪復習的目標之二。而能力的培養(yǎng)要通過學生的主動探究來實現。在復習中，根據教學內容，精選例題，讓學生通過獨立思考或通過合作討論解答，是培養(yǎng)能力的途徑之一。因此，在教學中，我特別注意讓學生動手做題，通過展示學生的解題過程，或讓學生口答解題過程，師生共同評價，與學生一起分析解題過程中的得與失，總結提煉數學思想方法，使學生主動領悟、吸收、內化解題規(guī)律。

第三步：開放發(fā)散，綜合創(chuàng)新

培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和綜合能力是數學教學的總目標，應貫穿于復習教學的全過程。因此，在復習中，特別注意設計更開放的問題，將內容引申拓展，引導學生進行發(fā)散思維，進一步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力。

總之，這樣的一堂課，老師引導著學生體驗了“思考”、“實踐”、“歸納”、“創(chuàng)新”幾個過程，是課堂的真正主體，這些數學問題的完成，思想方法的歸納，很大程度上是學生自己完成的，知識是學生自己構建的，不是老師灌給他的，這樣的數學一輪復習課才能真正體現出其有效性。

作者單位

江蘇省無錫市洛社高級中學 江蘇省無錫市 214000endprint