王喜清

【摘 要】作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》“四基”內(nèi)容之一的“基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”已提出多年。但目前諸文獻(xiàn)對“基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”的概念解釋不統(tǒng)一，致使一線教師對其概念理解出現(xiàn)困惑。從眾家共同認(rèn)識中找出基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的核心成分，并從經(jīng)驗的感性和理性層面的視角入手，厘清“基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗”概念并與“四基”其他內(nèi)容進(jìn)行辨析，以利于教師教學(xué)中抓住基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗教學(xué)的核心目標(biāo)。

【關(guān)鍵詞】感性認(rèn)識 理性認(rèn)識 核心經(jīng)驗 基本的數(shù)學(xué)活動 遷移

基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗已提出多年，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）將其列入“四基”內(nèi)容之一。但目前對“基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”的概念的解釋卻不統(tǒng)一，主要體現(xiàn)在對“經(jīng)驗”的內(nèi)涵及外延的不同側(cè)面的理解上。眾人對經(jīng)驗的解釋不統(tǒng)一，導(dǎo)致一些教師理不清基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的本質(zhì)特征以及和“四基”中其他內(nèi)容的聯(lián)系與區(qū)分，不能準(zhǔn)確地把握對應(yīng)的教學(xué)目標(biāo)。本文試圖從多數(shù)人對經(jīng)驗的共同認(rèn)識中找出基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的核心成分，從知識經(jīng)驗的感性及理性層面的視角入手，給出“基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗”概念，為一線教師對“基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗教學(xué)核心目標(biāo)”的把握找到一個突破口。

一、個體的知識、經(jīng)驗及核心經(jīng)驗

知識，其一指個體大腦貯存的內(nèi)容；其二指社會上流通的“知識”，即人類的知識。教師教學(xué)更關(guān)心的是學(xué)生如何建構(gòu)出自身腦內(nèi)知識的。本文談的知識、經(jīng)驗等等，不指外在客觀世界的內(nèi)容，而指經(jīng)過個體感知、體會或加工等貯存于個體腦內(nèi)的內(nèi)容。知識有廣義和狹義之分，本文中個體的知識主要是指個體獲得的狹義的知識，即陳述性知識。

（一）與經(jīng)驗相關(guān)的感性認(rèn)識和理性認(rèn)識

知識含感性知識（感性認(rèn)識）和理性知識（理性認(rèn)識）。感性認(rèn)識含感覺、知覺和表象三種基本形式，看到的是事物的某些外部特征、外在聯(lián)系或表面現(xiàn)象，看不到同類事物的共有的一般因素，看不到事物內(nèi)在的本質(zhì)特征或內(nèi)在聯(lián)系，人們常常將其稱為感性經(jīng)驗。理性認(rèn)識是揭示事物一般因素、本質(zhì)因素的認(rèn)識。所謂一般因素，指一類事物所共有的特征或聯(lián)系等因素，但該因素也可能是與其他類事物共有的因素。如“內(nèi)角是直角”是所有正方形具有的一般因素，但該因素所有矩形也都具有。所謂本質(zhì)因素，指決定事物性質(zhì)，建立與其他類事物的聯(lián)系與區(qū)分的因素。如“矩形是內(nèi)角為直角的平行四邊形”，這是矩形的本質(zhì)因素，其他平行四邊形不具備。又如認(rèn)識了圓的面積公式，而能將其與圓周長公式等其他公式嚴(yán)格區(qū)分，則認(rèn)識了圓的面積公式的本質(zhì)。

1.直觀中獲得的感性認(rèn)識

從認(rèn)識活動角度看，直觀是不經(jīng)過中間環(huán)節(jié)而直接接觸實際事物的感性認(rèn)識（感覺、知覺、日常概念、觀念等）過程。直觀是在刺激物（實物、模像和語言等）直接作用下發(fā)生的，獲得的感性認(rèn)識與實際事物聯(lián)系較為直接。直觀活動中，除含感知成分外，還含想象、初步的思維和記憶成分，但沒經(jīng)過進(jìn)一步的理性思維加工。直觀活動是直接認(rèn)識事物的外部表征與外在聯(lián)系的活動，它一般是領(lǐng)會抽象的科學(xué)知識的起點。直觀主要含實物直觀、模像直觀與言語直觀。如看到一個現(xiàn)象，聽到一個人說話，看到面前事物間的表面關(guān)系等，這些都屬于人們常說的“感性經(jīng)驗”層面。

2.對直觀感性認(rèn)識的感性概括

在感性認(rèn)識中，不僅含直觀獲得的感性經(jīng)驗，還含對這些直觀的感性經(jīng)驗的感性概括。所謂感性概括，是大腦對直觀事物的直覺概括，是對事物的外部聯(lián)系的概括，是對事物的表面特征的概括。該概括沒經(jīng)歷理性思考的過程，不能認(rèn)識事物的內(nèi)在聯(lián)系、內(nèi)在規(guī)律和獨自的本質(zhì)特征。比如，幼兒通過觀察生活中的各種具體的長方形，概括出“方形”概念，但說不清“確定方形的標(biāo)準(zhǔn)到底是什么”。這種感性概括的結(jié)果，也隸屬于我們生活中常說的“經(jīng)驗”，由于它是概括而得，故與直觀相比，強化了遷移因素。

感性概括有時會得到錯誤結(jié)論。其一，有時所概括出的特征不具一般性。如學(xué)生看到的矩形相鄰的邊都是一長一短，就認(rèn)為這是所有矩形共有的一般性特征，從而將正方形排除在矩形之外。其二，有時所概括的不是本質(zhì)特征。如學(xué)生看到所有正方形的對角線相等，故概括出對角線相等的方形是正方形。但這不是正方形區(qū)分其他圖形的本質(zhì)特征。盡管感性認(rèn)識并沒有真正認(rèn)識到事物的本質(zhì)及內(nèi)在規(guī)律，所獲得的經(jīng)驗可能是正確的，也可能是錯誤的，但感性認(rèn)識是理性認(rèn)識的窗口，沒有感性認(rèn)識，理性認(rèn)識一般無法開始。

3.沒經(jīng)過嚴(yán)格推理過程的初步的理性認(rèn)識

以感性認(rèn)識為基礎(chǔ)，主體可透過表面認(rèn)識，進(jìn)入初步的理性認(rèn)識階段，發(fā)現(xiàn)事物一般性的特征及內(nèi)在的本質(zhì)性聯(lián)系。但此時認(rèn)識只處于簡單說理或感悟?qū)用妫皇墙?jīng)歷了類比推理或不完全歸納推理或不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理的過程，其認(rèn)識不一定嚴(yán)謹(jǐn)。生活中所說的“經(jīng)驗”，大多指這些。如一些學(xué)生認(rèn)識到所有正方形共有的一般性特征和內(nèi)在本質(zhì)特征：鄰邊相等的長方形，對角線相互垂直且相等，四角是直角且鄰邊相等……但這些往往是不完全歸納概括得到的對其本質(zhì)的感悟，至于為何這些結(jié)論是正確的，沒經(jīng)歷完全歸納或嚴(yán)格的演繹推理證明過程。與“感性概括相比”“初步的理性認(rèn)識”遷移因素更強，它是通向嚴(yán)謹(jǐn)層面的理性認(rèn)識的中介。特別是學(xué)生解題實踐中總結(jié)出的解題策略，大多屬于該層面的認(rèn)識。

4.經(jīng)歷嚴(yán)格推理驗證得到的理性認(rèn)識

此時獲得的本質(zhì)認(rèn)識或是通過嚴(yán)格的演繹推理得到證明的，或是通過完全歸納推理等得到證明的。如小學(xué)生通過將圓形紙片剪裁開拼補成近似長方形，由此得到圓面積公式。這里對圓面積公式的認(rèn)識，經(jīng)歷了演繹推理證明過程，在該過程中厘清了圓面積公式是對所有圓都適用的公式，厘清了圓面積公式的內(nèi)在本質(zhì)特征及與長方形面積公式的聯(lián)系（該證明雖然不是標(biāo)準(zhǔn)規(guī)范的邏輯證明，但對小學(xué)生來說，確實經(jīng)歷了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理的理性思考）。此時獲得的已經(jīng)不是淺層的理性認(rèn)識了，而是深層的理性知識經(jīng)驗了。

（二）核心經(jīng)驗的概念endprint

人們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｕf的“經(jīng)驗”，大多指已經(jīng)獲得的沒經(jīng)過嚴(yán)格證明的且能在以后不同情境運用的具有模式化的認(rèn)識。本文以前面知識經(jīng)驗的不同層面的討論為基礎(chǔ)，給出中小學(xué)生核心經(jīng)驗的概念：

中小學(xué)生對直觀的感性概括形成的感性認(rèn)識和沒經(jīng)過嚴(yán)格的推理過程形成的理性認(rèn)識，如果這些認(rèn)識具有模式化和遷移性，則統(tǒng)稱為“中小學(xué)生核心經(jīng)驗”，簡稱“核心經(jīng)驗”。

這里的核心經(jīng)驗，第一，是個體大腦儲存的認(rèn)識；第二，是感性概括化認(rèn)識和僅僅處于感悟、說理層面的初步的理性認(rèn)識；第三，這種認(rèn)識基本可用自己的語言表述，主要隸屬于陳述性知識；第四，這種認(rèn)識具有模式化和遷移性，能應(yīng)用于不同情境。

核心經(jīng)驗是對客觀事物的淺層概括化認(rèn)識，且是廣義經(jīng)驗的核心部分。盡管眾人對經(jīng)驗的解釋不同，但筆者給出的“核心經(jīng)驗”，是大多數(shù)人的共同認(rèn)識的核心內(nèi)容。核心經(jīng)驗是形成深層知識的基礎(chǔ)，對核心經(jīng)驗進(jìn)行進(jìn)一步理性加工后，則形成深層的知識經(jīng)驗。

從經(jīng)驗的內(nèi)容不同，核心經(jīng)驗可劃分為思維方法模式化認(rèn)識和非思維方法模式化認(rèn)識。所謂思維方法模式化認(rèn)識，即數(shù)學(xué)思想方法中的具體方法認(rèn)識的經(jīng)驗層面。如面對具體問題，能找到具體的、可陳述的解題方法或技巧，則獲得了思維方法模式類核心經(jīng)驗。而像對概念、公式、命題等認(rèn)識及辨析等經(jīng)驗，屬于非思維方法性認(rèn)識。如學(xué)生知道了0.1元代表1角，0.2元代表2角（還不知道其原理），則是獲得了非思維方法模式化核心經(jīng)驗。這兩類經(jīng)驗都是和學(xué)生日常學(xué)習(xí)息息相關(guān)的。

二、基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗

（一）中小學(xué)生基本的數(shù)學(xué)活動

中小學(xué)生的基本數(shù)學(xué)活動，是中小學(xué)生水平下的數(shù)學(xué)實踐活動?！墩n標(biāo)》中與經(jīng)驗配套的基本的數(shù)學(xué)活動，是對中小學(xué)生學(xué)習(xí)專門提出的。關(guān)于基本的數(shù)學(xué)活動，張奠宙、史寧中等專家均有精辟論述（詳細(xì)見參考文獻(xiàn)[1][2]）。根據(jù)個人的理解，其特征摘要如下。

（1）基本的數(shù)學(xué)活動必須是以探究數(shù)學(xué)問題為目標(biāo)的活動。如果一個活動僅僅是和數(shù)學(xué)相關(guān)但不作為目標(biāo)，通過活動獲得的經(jīng)驗是不含數(shù)學(xué)內(nèi)容的生活經(jīng)驗，則不屬于基本數(shù)學(xué)活動。

（2）基本的數(shù)學(xué)活動是以中小學(xué)數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)為背景，與學(xué)生生活或生活經(jīng)驗直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐活動?；顒觾?nèi)容不是多次抽象得到的遠(yuǎn)離生活的數(shù)學(xué)內(nèi)容?；顒又?，學(xué)生親歷外部世界，從生活中抽象出數(shù)學(xué)，進(jìn)而形式化；或用抽象的數(shù)學(xué)解決生活中的具體問題。

（3）基本的數(shù)學(xué)活動操作對象或是和數(shù)學(xué)相關(guān)的生活中的具體形象的事物，或是對生活中具體形象的模擬，或是與生活直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)對象，或是在純數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成的貼近生活的數(shù)學(xué)現(xiàn)實（如，學(xué)生在紙上畫三角形，測量三角形內(nèi)角和。三角形圖形雖然不是日常生活中的具體原型，但是學(xué)生數(shù)學(xué)生活中常?？吹降膱D形，已經(jīng)成為學(xué)生數(shù)學(xué)生活現(xiàn)實）。

（二）基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗的概念

受張奠宙、史寧中等各位專家對基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的界定的啟迪，并調(diào)查一線教師的認(rèn)識，今在“基本的數(shù)學(xué)活動”及“核心經(jīng)驗”概念討論的基礎(chǔ)上，給出基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗的概念：

基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗，是指在數(shù)學(xué)目標(biāo)指引下、通過對具體事物進(jìn)行實際操作，考察或思考，所產(chǎn)生的感性認(rèn)識以及沒經(jīng)過嚴(yán)格推理證明的初步理性認(rèn)識，且這個認(rèn)識具有模式化和遷移性。

中小學(xué)生在基本的數(shù)學(xué)活動中，體驗獲得的有關(guān)數(shù)學(xué)的核心經(jīng)驗，其實就是基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗?；镜臄?shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗，不含基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的所有內(nèi)容，但它是中小學(xué)生基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的主要部分。

（三）基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗與其他“三基”內(nèi)容的辨析

1.基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的辨析

《課標(biāo)》中的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識主要指中小學(xué)生獲得的最基本的數(shù)學(xué)概念、公式、法則、典型固定的數(shù)學(xué)方法或命題等基本知識內(nèi)容?；A(chǔ)知識不全是在基本活動實踐中直接獲得的（特別含在被告知中獲得），而數(shù)學(xué)基本活動核心經(jīng)驗必須在基本活動中獲得。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識含一些基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗，也含更嚴(yán)謹(jǐn)深層的理性認(rèn)識；數(shù)學(xué)基本活動核心經(jīng)驗不含更嚴(yán)謹(jǐn)深層的理性認(rèn)識。基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗特別強調(diào)獲得的可以遷移的內(nèi)容，但基礎(chǔ)知識卻不一定都能遷移。如一個學(xué)生學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)概念、命題等，但有時尚不能將其靈活運用于具體情境，則此時他還沒獲得相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本活動核心經(jīng)驗。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識有的是意義學(xué)習(xí)中獲得的，有的機械記憶比例偏大；而基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗是意義學(xué)習(xí)中偏重自身體驗獲得的，不易遺忘，更容易遷移。

2.基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗與數(shù)學(xué)基本思想的辨析

《課標(biāo)》中的數(shù)學(xué)基本思想是面對中小學(xué)生學(xué)習(xí)提出的：其一，主含關(guān)于數(shù)學(xué)的抽象、推理、建模等方面的思考策略及觀念，它不是具體固定的方法和模式；其二，這些思考策略及觀念有些是在數(shù)學(xué)基本活動中執(zhí)行或獲得的，有些不是在數(shù)學(xué)基本活動中執(zhí)行或獲得的。數(shù)學(xué)基本活動核心經(jīng)驗，其一，是在數(shù)學(xué)基本活動中獲得的；其二，獲得的不是思想觀念，而是在體驗中提煉出的固定具體的模式。如學(xué)生面對問題，能想到用數(shù)形結(jié)合策略分析問題，則說明學(xué)生具有了數(shù)形結(jié)合這個數(shù)學(xué)思想觀念；而學(xué)生能將這種具體思考路徑作為固定思考模式直接運用，有了具體操作程序模式，則說明他此時獲得了數(shù)形結(jié)合的經(jīng)驗。

3.基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗與數(shù)學(xué)基本技能的辨析

數(shù)學(xué)基本技能是大腦作用外在客觀世界的操作程序或形式，熟練的技能具有無意識輸出的自動化特征?；镜臄?shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗是基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗中的特定內(nèi)容，不同于其他基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，其核心成分是有意識輸出的知識；相對數(shù)學(xué)基本技能而言，基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗對其操作程序的認(rèn)識較強，自動化成分相對弱。一個人獲得了技能，但他不一定獲得了核心經(jīng)驗，因為此時個體可能說不出這個技能活動具體的程序是什么，在什么情境運用為好；而有了核心經(jīng)驗，則會說出其程序的含義，能有意識地在不同情境去運用。一個人會熟練打字，則說明他有了打字技能；而該人能將打字操作規(guī)則程序說出，則說明他掌握了打字核心經(jīng)驗。即便有些核心經(jīng)驗有內(nèi)隱性，但這個內(nèi)隱性僅僅是表述清楚的程度不夠而已，絕不是技能中的自動化程序。技能可從訓(xùn)練中獲得，而基本活動經(jīng)驗主要是在活動中感悟獲得。endprint

三、“把握基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗”的意義分析

（1）《課標(biāo)》提出的“四基”之間既有聯(lián)系 ，又有其各自的特殊性。從宏觀看，“四基”中，基礎(chǔ)知識主含數(shù)學(xué)概念、公式、命題等；基本技能主含數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中作用于外在客觀世界的心智技能和動作技能；基本思想主含數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的認(rèn)知策略及觀念；基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗主含數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的直觀、感性認(rèn)識向理性認(rèn)識的飛躍、具體方法和思維模式。雖然眾家對基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的外延和內(nèi)涵的解釋有區(qū)分，但基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗匯總了眾家認(rèn)識的共同內(nèi)容，厘清了基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗核心內(nèi)容與其他“三基”間的邏輯關(guān)系，符合《課標(biāo)》提出基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的初衷。基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗和平時我們生活中常常說的“經(jīng)驗”吻合，且是中小學(xué)生基本的數(shù)學(xué)活動中獲得的經(jīng)驗中最主要部分；把握它有利于抓住基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗教學(xué)的本質(zhì)與核心。

（2）張奠宙教授指出，基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗主要指活動中從感性認(rèn)識向理性認(rèn)識飛躍時形成的認(rèn)識。史寧中教授指出，基本數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗主要指活動中感悟歸納推理和演繹推理過程中積淀的思維模式和直覺。本文提出的基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗，基本遵循并融合了兩位教授精辟論述中的核心內(nèi)容，也是和中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)聯(lián)系最多的內(nèi)容。

（3）基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗是基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗中容易捕捉和摸到的內(nèi)容，明確了基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗，有助于理解數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的維度和層面特征，以此找到培養(yǎng)基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的主要操作步驟。培養(yǎng)學(xué)生基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗，一般要首先思考讓學(xué)生經(jīng)歷直觀中的感性認(rèn)識；對經(jīng)驗已經(jīng)達(dá)到相應(yīng)直觀層面的學(xué)生，可思考對直觀中獲得的感性經(jīng)驗進(jìn)行感性概括；對已經(jīng)達(dá)到感性概括經(jīng)驗水平的學(xué)生，可考慮經(jīng)歷初步的理性認(rèn)識過程。通過直觀觀察、歸納猜想、初步驗證等，逐層獲得初步的理性經(jīng)驗，進(jìn)而獲得較高層面的理性知識?？傊鞔_了學(xué)生基本的數(shù)學(xué)活動核心經(jīng)驗的特征和通向深層知識學(xué)習(xí)的橋梁作用，我們就會找到“基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗”教學(xué)的主要目標(biāo)和突破口。

參考文獻(xiàn)：

[1]馮忠良.智育心理學(xué)[M].北京：教育科學(xué)出版社，1981.

[2]張奠宙，竺仕芬，林永偉.“基本數(shù)學(xué)經(jīng)驗”的界定與分類[J].數(shù)學(xué)通報，2008（6）.

[3]史寧中，郭玉峰.“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗” 研究：內(nèi)涵與維度劃分[J].教育學(xué)報，2012（10）.

[4]李光樹.小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論[M].北京：人民教育出版社，2014.

（黑龍江省七臺河市教育研究院 154600）endprint