杜學(xué)文

【摘 要】合情推理是小學(xué)生數(shù)學(xué)思考的重要能力，合情推理對(duì)于學(xué)生積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、培養(yǎng)基本數(shù)學(xué)思想有重要作用。以《鴿巢問題》的學(xué)歷案為例，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力可以通過恰當(dāng)?shù)膯栴}設(shè)計(jì)、活動(dòng)設(shè)計(jì)和學(xué)習(xí)方式設(shè)計(jì)展開研究，從而提出情境問題化、問題數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)符號(hào)化三條具體的策略。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)活動(dòng) 數(shù)學(xué)思想 合情推理 學(xué)歷案

一、問題提出的背景

作為重要數(shù)學(xué)思想方法的推理，既有用于猜想發(fā)現(xiàn)的合情推理，又有用于嚴(yán)格證明的演繹推理。美國(guó)著名數(shù)學(xué)家莫里斯·克萊因 （Morris Kline）說過，推理的方法是數(shù)學(xué)最顯著的特征1。另一位美籍?dāng)?shù)學(xué)家波利亞（George Polya）則十分強(qiáng)調(diào)合情推理的重要性，他認(rèn)為演繹推理可用于肯定數(shù)學(xué)知識(shí)，而合情推理可以為猜想提供依據(jù)，并倡導(dǎo)在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須有猜想的地位，因?yàn)閿?shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程應(yīng)該反映數(shù)學(xué)的發(fā)明過程2。

我國(guó)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課標(biāo)》）指出，“合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果……在解決問題的過程中……合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論?！?《課標(biāo)》相較2003版課標(biāo)，更加注重過程中的教育，鼓勵(lì)學(xué)生通過經(jīng)歷豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)，進(jìn)而感悟數(shù)學(xué)思想。4

“學(xué)歷案”即學(xué)習(xí)經(jīng)歷的方案，核心是學(xué)生學(xué)習(xí)“經(jīng)歷”的設(shè)計(jì)，包括核心問題設(shè)計(jì)、有效活動(dòng)設(shè)計(jì)和學(xué)習(xí)方式設(shè)計(jì)，強(qiáng)調(diào)“做”中學(xué)和“教”中學(xué)。學(xué)歷案旨在解決課堂教學(xué)中存在的“虛假學(xué)習(xí)”“游離學(xué)習(xí)”的問題，實(shí)現(xiàn)在課堂情境中最大化的“在學(xué)習(xí)”“真學(xué)習(xí)”。5學(xué)歷案的這種特點(diǎn)，非常契合《課標(biāo)》的“經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)感悟數(shù)學(xué)思想”的目標(biāo)。

二、 《鴿巢問題》的教材分析

《鴿巢問題》是人民教育出版社2013年版六年級(jí)下冊(cè)《數(shù)學(xué)廣角》的內(nèi)容，數(shù)學(xué)廣角是數(shù)學(xué)教育中滲透數(shù)學(xué)思想的重要陣地。但是，實(shí)際教學(xué)中，“數(shù)學(xué)廣角”存在一個(gè)突出問題，即過于關(guān)注解決問題的方法，而數(shù)學(xué)思想的滲透不夠。6

《鴿巢問題》中蘊(yùn)含的“抽屜原理”（也叫“鴿巢原理”）是組合數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要原理，它在幾何、近世代數(shù)、高等代數(shù)、初等數(shù)論、離散數(shù)學(xué)中有廣泛的應(yīng)用?！俺閷显怼背Ｒ娦问接械谝怀閷显砗偷诙閷显恚唤滩膬?nèi)容屬于第一抽屜原理，教材第一節(jié)內(nèi)容是第一抽屜原理的原理1，即“把多于n+1個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里的東西不少于兩件”；教材第二節(jié)內(nèi)容是第一抽屜原理的原理2，即“把多于mn（m×n）+1（n不為0）個(gè)的物體放到n個(gè)抽屜里，則至少有一個(gè)抽屜里有不少于（m+1）的物體”；教材第三節(jié)內(nèi)容是簡(jiǎn)單構(gòu)造抽屜的方法。

分析教材不難發(fā)現(xiàn)，《鴿巢問題》從小學(xué)生身邊的生活事實(shí)出發(fā)，憑借學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納、類比等方法推斷出“抽屜原理”，這種發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的數(shù)學(xué)思想正是《課標(biāo)》所講的合情推理。

三、 《鴿巢問題》學(xué)歷案介紹

基于《鴿巢問題》的教材分析和授課小學(xué)的學(xué)情調(diào)研，設(shè)計(jì)以下學(xué)歷案。

（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)

《鴿巢問題》中的抽屜原理是公務(wù)員考試、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的“熟面孔”，其重要性不言而喻。那么，小學(xué)課堂應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會(huì)什么內(nèi)容？讓學(xué)生達(dá)到什么程度的“終點(diǎn)”？

按照美國(guó)教育心理學(xué)家加涅學(xué)習(xí)結(jié)果類型劃分理論，1“抽屜原理”屬于“智慧技能”中的規(guī)則學(xué)習(xí)，規(guī)則學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)將陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)習(xí)者的辦事規(guī)則，即：將陳述性知識(shí)轉(zhuǎn)化為程序性知識(shí)，使學(xué)習(xí)者經(jīng)歷“怎么做”的活動(dòng)過程，進(jìn)而理解“是什么”。2基于此，《鴿巢問題》的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是經(jīng)歷“抽屜原理”的發(fā)現(xiàn)過程，理解抽屜原理的算理和本質(zhì)。通過學(xué)情調(diào)查，了解到授課班級(jí)有2～3人接觸過抽屜原因；結(jié)合教材分析，將教材第一、二兩節(jié)合并為一個(gè)課時(shí)，確定如下學(xué)習(xí)目標(biāo)。

知識(shí)與技能：理解枚舉法、平均分法的應(yīng)用過程；了解至少數(shù)的算理和計(jì)算方法；理解并能準(zhǔn)確說出抽屜原理的內(nèi)容；會(huì)用抽屜原理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

過程與方法：通過觀察、類比，發(fā)現(xiàn)、歸納，從現(xiàn)實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問題，運(yùn)用不同的解決方案解決問題，并總結(jié)出抽屜原理的內(nèi)容，提高合情推理的能力。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：通過“抽屜原理”的學(xué)習(xí)和應(yīng)用，培養(yǎng)“留心觀察、細(xì)心思考”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高解決數(shù)學(xué)問題的興趣和信心，感受數(shù)學(xué)的魅力。

（二）學(xué)習(xí)過程

布魯納認(rèn)知理論認(rèn)為，學(xué)科內(nèi)容按照“行為表征、圖像表征、符號(hào)表征”的發(fā)展順序進(jìn)行學(xué)習(xí)，是最優(yōu)的發(fā)展軌跡。為此，學(xué)習(xí)過程設(shè)計(jì)如下。

1.游戲?qū)?/p>

興趣是學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的內(nèi)生力量。如何既能激發(fā)學(xué)生興趣，又能突出學(xué)生主體，并照顧到全體學(xué)生？教材以5個(gè)學(xué)生抽撲克牌為例，這種方法突出趣味性，但要照顧全體學(xué)生，實(shí)施成本過高。有的老師以搶凳子游戲?qū)耄嬖谝欢ò踩[患。

為此，學(xué)歷案設(shè)計(jì)了“石頭、剪刀、布”的游戲，4人一組，老師宣布開始后，全班學(xué)生同時(shí)出手勢(shì)，之后老師說出并板書“不管哪一組，總有一種手勢(shì)至少有2個(gè)人出”。3隨后，學(xué)生再出3～4次，以驗(yàn)證老師的說法。學(xué)生在玩游戲時(shí)，好奇于老師的結(jié)論并有所質(zhì)疑，老師借機(jī)引出游戲背后蘊(yùn)含的“抽屜原理”。

本環(huán)節(jié)在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，創(chuàng)設(shè)了關(guān)于抽屜原理的“行為表征”的情境，提出了待解決的核心問題：為什么“不管……總有……至少……”？

2.合作探究

考慮到學(xué)習(xí)的效率、直觀性、趣味性，課堂學(xué)習(xí)中以磁扣和圓圈為工具進(jìn)行活動(dòng)設(shè)計(jì)。本環(huán)節(jié)的核心問題為“將4個(gè)磁扣放進(jìn)3個(gè)圓圈內(nèi)，一共有幾種擺放方法？”該問題本質(zhì)是“石頭、剪刀、布”游戲的變式，它將行為問題變式為數(shù)學(xué)語言形式的問題。

針對(duì)該問題，要求學(xué)生按小組合作學(xué)習(xí)，不限制學(xué)生解決問題的方法。預(yù)設(shè)的解決方法有枚舉法（包括畫圖法和算式法）、平均分法，另外考慮到有個(gè)別學(xué)生參加過課外輔導(dǎo)班，增加反證法和公式法。endprint

本環(huán)節(jié)通過小組合作學(xué)習(xí)和結(jié)果展示，將數(shù)學(xué)語言問題用“圖像表征”形式進(jìn)行解決，其中，畫圖枚舉法、平均分法、反證法都屬于“圖像表征”的方法，算式枚舉法和公式法屬于簡(jiǎn)單的“符號(hào)表征”方法。同時(shí)，不同的解決問題的方法開闊了學(xué)生的思路。

3.舉一反三：用“符號(hào)表征”總結(jié)規(guī)律

圍繞上一環(huán)節(jié)的問題模式，本環(huán)節(jié)通過舉一反三的方法設(shè)計(jì)問題和學(xué)習(xí)活動(dòng)。一是“磁扣數(shù)量和圓圈數(shù)量同時(shí)加1個(gè)”（這種情況是第一抽屜原理的原理1）；二是“增加磁扣數(shù)量，圓圈數(shù)量不變”；三是“增加圓圈數(shù)量，磁扣數(shù)量不變”（二和三是第一抽屜原理的原理2）。

設(shè)計(jì)和開展這種“變化”的活動(dòng)，目的是使學(xué)生不斷經(jīng)歷觀察、質(zhì)疑、猜想、驗(yàn)證、類比、歸納的過程，最終能夠用“符號(hào)表征”準(zhǔn)確表達(dá)抽屜原理的“至少數(shù)公式”。

（三）評(píng)價(jià)任務(wù)

本學(xué)歷案微課教學(xué)中，有老師提出“抽屜原理雖然很重要，但有什么實(shí)際價(jià)值”的問題，《課標(biāo)》提出“數(shù)學(xué)是日常生活中的數(shù)學(xué)”的理念，為此，設(shè)計(jì)如下課堂檢測(cè)性作業(yè)。

1.13個(gè)人中至少有2個(gè)人是同一個(gè)月生日，為什么？

2.現(xiàn)在非常流行用星座測(cè)性格，用星座測(cè)運(yùn)勢(shì)，你們信嗎？為什么？全國(guó)13億人中，至少有多少人是同一星座？

第一道題結(jié)合學(xué)生自身情況現(xiàn)身說法，很有親切感，其中的數(shù)字?jǐn)?shù)量級(jí)較小便于計(jì)算和驗(yàn)證。第二道題是小學(xué)生比較感興趣的話題，用抽屜原理解決該問題可以發(fā)現(xiàn)有很多人是同一星座，他們的“性格和運(yùn)勢(shì)是一樣的”顯然不合理。因此，星座測(cè)性格和運(yùn)勢(shì)是不科學(xué)的。

通過課堂的評(píng)價(jià)，不僅檢驗(yàn)了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，同時(shí)將“抽屜原理”回歸生活應(yīng)用，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

（四）反思

《鴿巢問題》學(xué)歷案經(jīng)過一次微課模擬授課和兩次小學(xué)實(shí)際授課。通過授課發(fā)現(xiàn)存在一些問題，出現(xiàn)于將教材的一、二小節(jié)合并為一個(gè)課時(shí)進(jìn)行授課時(shí)。本學(xué)歷案之所以這么設(shè)計(jì)，是因?yàn)樵谑谡n小學(xué)的學(xué)情調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，約10%的學(xué)生參加課外輔導(dǎo)班時(shí)接觸過相關(guān)知識(shí)；合并授課可以讓課堂學(xué)習(xí)更加緊湊，但不利于學(xué)生的認(rèn)知和接受，這種合并授課的學(xué)歷案設(shè)計(jì)并不通用。

四、發(fā)展合情推理的策略

通過《鴿巢問題》學(xué)歷案教學(xué)與反思，筆者認(rèn)為學(xué)歷案教學(xué)模式與發(fā)展學(xué)生合情推理的路徑不謀而合，同時(shí)，發(fā)展合情推理可遵循一定的策略。

第一步，情境問題化。即通過學(xué)歷案活動(dòng)設(shè)計(jì)創(chuàng)設(shè)一定的情境，這種情境應(yīng)遵循趣味性、與教學(xué)的相關(guān)性、操作的便利性原則；在真實(shí)的情境中，或預(yù)設(shè)生成學(xué)習(xí)的核心問題。

第二步，問題數(shù)學(xué)化。即將第一步的情境問題通過“關(guān)聯(lián)、遷移、類比”等方法，變式為真正的數(shù)學(xué)問題，將研究鎖定在數(shù)學(xué)內(nèi)部。

第三步，數(shù)學(xué)符號(hào)化。 即憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，將數(shù)學(xué)問題通過“行為表征→圖像表征→符號(hào)表征”的三次表征、兩次抽象，經(jīng)歷歸納和類比等過程，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)推斷出結(jié)果并解決問題。

發(fā)展學(xué)生的合情推理能力，不局限于上述固定的策略與步驟，由于實(shí)際教學(xué)的多樣性，我們應(yīng)因地制宜、靈活運(yùn)用。

（北京聯(lián)合大學(xué)師范學(xué)院 100011）endprint