姜文富

摘 要：計算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。理解算理和建構(gòu)算法是計算教學(xué)的核心。教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生借助“操作表征”“圖像表征”和“符號表征”，優(yōu)化算理教學(xué)，促進學(xué)生理解算理、掌握算法，讓學(xué)生抵達理法融通的計算之境。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；計算算理；計算教學(xué)

計算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重頭戲，是最基本的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技能。計算教學(xué)倡導(dǎo)算理的探索和算法的建構(gòu)已經(jīng)成為教學(xué)研究的共識。受制于學(xué)生的年齡特征和心理特征，在計算教學(xué)中，教師必須給學(xué)生提供算理理解的“腳手架”，讓學(xué)生通過直觀動作、直觀圖形、直觀符號等多樣化的“直觀表征”，優(yōu)化計算算理的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)算法。

一、借助“操作表征”，優(yōu)化算理教學(xué)

在計算教學(xué)中，算法是抽象的，而算理卻應(yīng)當直觀。對于學(xué)生的計算來說，算法解決的是“怎樣計算”的問題，算理解決的是“為什么這樣計算”的問題。算理是算法的道理、依據(jù)，而算法則是算理的抽象化提升、形式化發(fā)展。由于小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維處于從直觀動作思維向具體形象思維的過渡，因此在計算教學(xué)中，教師可以借助學(xué)生的“操作”，如各種實物、各種模擬物等，尤其像小棒、圓片、計數(shù)器等具有“齊性”的學(xué)具，引導(dǎo)學(xué)生展開算理的探究、算法的建構(gòu)。

例如教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第2冊的《十幾減9》，這是學(xué)生在一年級第一學(xué)期學(xué)習(xí)了“20以內(nèi)進位加法”之后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，由于學(xué)生已經(jīng)有了“9加幾”“8加幾”等的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗，因此在教學(xué)中，教師完全可以放手讓學(xué)生展開主動探究。教材出示的主題圖是：桌面上有一盒桃子（10個）和3個桃子，小猴要買9個桃子，還剩多少個桃子？通過主題圖，學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)，這是一個屬于“去一去”“拿一拿”的數(shù)學(xué)問題，他們很快列出算式“13-9”。接著，有學(xué)生借助數(shù)數(shù)經(jīng)驗，即從13個桃子里一個一個地去掉，找尋計算答案。顯然，這不是一個好的計算方法。由此，筆者首先和學(xué)生復(fù)習(xí)了“20以內(nèi)進位加法”中的“湊十法”，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)知識經(jīng)驗。然后讓學(xué)生展開小組交流、討論，有學(xué)生認為，由于零頭（3個）不夠減，所以可以先從一盒里減去9個桃；有學(xué)生認為，可以先將零頭去掉，也就是說先給小猴3個桃，再從盒子里面拿出6個桃就行了。在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，筆者讓學(xué)生運用小棒展開物質(zhì)化的活動操作。經(jīng)過學(xué)生的多次操作，他們在“湊十法”的基礎(chǔ)之上建構(gòu)了“平十法”“破十法”的計算模型。這種活動化的經(jīng)驗對學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將產(chǎn)生深遠的影響，能夠逐步讓學(xué)生形成簡便運算的意識。

通過操作化表征，學(xué)生的“算理理解”與“算法建構(gòu)”有機結(jié)合。直觀操作是學(xué)生表象操作的泉源，當學(xué)生在計算中遭遇障礙、困難時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在頭腦中進行表象操作，然后逐步抽象，將表象壓縮、內(nèi)隱，不斷提升學(xué)生形式化的思維水平。如此，學(xué)生既能理解算理，又能掌握算法、運用算法。

二、借助“圖像表征”，優(yōu)化算理教學(xué)

如上所述，計算的法則（算法）是抽象的、理性的，而學(xué)生的思維是感性的、具體的、直觀的。教學(xué)中，教師要將抽象的算法建構(gòu)與直觀、具體的算理理解結(jié)合起來，只有這樣，計算教學(xué)才能融入學(xué)生的血脈之中。教師要改變過去那種對算法的死記硬背、對計算技能機械訓(xùn)練的教學(xué)方式，充分借助學(xué)生的經(jīng)驗，以直觀操作、直觀圖形、具體表象等為支撐，優(yōu)化算理教學(xué)。

例如《乘法分配律》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第8冊）一課，教材運用的是主題圖，其圖意是：四年級有6個班，五年級有4個班，每個班領(lǐng)24根跳繩，四五年級一共需要多少根跳繩？在引導(dǎo)學(xué)生探究算法時，筆者發(fā)現(xiàn)，許多教師都能讓學(xué)生從主題圖中的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，從解決問題的思維方法出發(fā)，形成不同的解題思路，進而列出等式，形成乘法分配律的數(shù)學(xué)猜想。接著，通過舉例驗證，從特殊到一般，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)乘法分配律的運算模型。但在運用時，學(xué)生的錯誤卻屢見不鮮。顯然，盡管學(xué)生通過數(shù)量關(guān)系建構(gòu)了算法，但學(xué)生對算法本身并沒有理解和掌握。算法對學(xué)生來說，還是外在的形式化的東西。對此，許多教師都很納悶，因為學(xué)生確實是實實在在地經(jīng)歷了乘法分配律算法的建構(gòu)過程的。其實，從乘法分配律的模型建構(gòu)過程來說，教師借助學(xué)生的生活經(jīng)驗，能夠助推學(xué)生的理解，增進學(xué)生對分配律的體認。但學(xué)生對乘法分配律的形式掌握得不夠深刻，這是導(dǎo)致學(xué)生不會運用乘法分配律的根本原因所在。筆者教學(xué)這部分內(nèi)容時，在學(xué)生形成了乘法分配律的數(shù)學(xué)猜想后，用a和b分別表示兩個長方形的長，用c表示長方形的寬（如圖1），讓學(xué)生用圖形表征“乘法分配律”。

從圖中學(xué)生直觀地發(fā)現(xiàn)，左邊長方形的面積是a×c，右邊長方形的面積是b×c，整個大長方形的面積是a×c+b×c。有了直觀圖形作為學(xué)生理解算法的心理支撐，學(xué)生對乘法分配律的形式就能夠在心中建立圖形表象。當學(xué)生在計算中出現(xiàn)思維斷裂、短路時，他們可以借助頭腦中的圖形表象，自主解決問題。

從圖形表征到心理圖像的建立，從直觀的算理到抽象的算法，學(xué)生主動地展開數(shù)學(xué)反思。通過反思，學(xué)生能夠逐漸擺脫圖形表征、心理表象，讓圖形的支撐慢慢隱退，形成抽象化、形式化的算法模型，在不斷運用中實現(xiàn)算法與算理的深層溝通。

三、借助“符號表征”，優(yōu)化算理教學(xué)

美國著名教育家布魯納認為，兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般要經(jīng)歷三個階段：操作性表征、具體形象性表征和抽象符號性表征。在計算教學(xué)中，在通過學(xué)生的動手操作、生活經(jīng)驗、構(gòu)建圖形等一系列探索活動后，教師有必要讓學(xué)生創(chuàng)造符號，將算理和算法進行融通。只有當學(xué)生的思維不再依賴具體的模型、心理圖像，而是以符號作為思維活動的材料，形成了以符號作為普遍性的算法后，學(xué)生的計算思維才真正得到了提升和發(fā)展。

例如教學(xué)《加法交換律》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第8冊），當學(xué)生通過教材主題圖，根據(jù)數(shù)量之間的相等關(guān)系列出算式，提出猜想（注：蘇教版教材《運算律》都采用了“猜想——驗證”式的教學(xué)）并進行驗證后，筆者讓學(xué)生概括“加法交換律”，學(xué)生運用各種符號表征：如文字符號表征——甲+乙=乙+甲；圖形符號表征——△+☆=☆+△；數(shù)學(xué)符號表征——a+b=b+a……符號表征的多樣化，正說明學(xué)生對算法已經(jīng)擁有了自己的理解。當學(xué)生形成了加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律、分配律的符號表征后，筆者有意識地引導(dǎo)學(xué)生分類，借助符號進行比較、思考。有學(xué)生認為運算律可以分為兩類，加法的和乘法的；有學(xué)生認為運算律可以分為三類，交換律、結(jié)合律和分配律。接著，筆者讓學(xué)生結(jié)合運算律的運用實踐，觀察這些符號化的運算律，概括出各自的特質(zhì)。學(xué)生對符號化表征的運算律展開了深入觀察，他們發(fā)現(xiàn)，交換律的特質(zhì)是數(shù)字順序變化了，計算結(jié)果不變；結(jié)合律的特質(zhì)是計算順序變化了，計算結(jié)果不變；分配律的特質(zhì)是計算方法變化了，計算結(jié)果不變。在符號化算式的比較、思考中，學(xué)生認為簡便運算簡便但不簡單，在計算時計算結(jié)果保持不變這一特點可以用來判定簡便計算正確與否。借助符號化的運算律表征，學(xué)生對運算律的認識和實踐走向睿智和深刻。

符號語言是數(shù)學(xué)學(xué)科的基本語言，具有抽象性、形式性、簡潔性、通用性等特性。借助符號化的語言，可以引導(dǎo)學(xué)生對計算中的算法展開深度思考，明晰算法的運用特質(zhì)、運用規(guī)律、運用閾限等。符號化的表征、觀察與思考是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、符號思維，開發(fā)學(xué)生創(chuàng)造潛能的有效方法。

直觀的算理與抽象的算法之間存在一定的矛盾。教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生的年齡和心理特征，以及計算算法的特點，選用合適的表征方式，引導(dǎo)學(xué)生理解算理、掌握算法，讓學(xué)生循“理”入“法”，以“理”馭“法，促成學(xué)生算理、算法的融合、融通，同步提升學(xué)生的綜合能力。在這個過程中，教師對于學(xué)生多元化的算理表征，既要尊重又要善于引導(dǎo)，為學(xué)生的算法建構(gòu)和數(shù)學(xué)化思維發(fā)展提供有益支撐。endprint