李申華

【摘 要】數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)，不應(yīng)該忽視數(shù)量關(guān)系，而應(yīng)該更加重視數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)。具體而言，可以從“注重積累，建構(gòu)數(shù)量關(guān)系；注重策略，活用數(shù)量關(guān)系”兩個(gè)方面展開教學(xué)，從而有效促進(jìn)學(xué)生解決問題能力的提升。

【關(guān)鍵詞】數(shù)量關(guān)系；問題解決；能力培養(yǎng)；途徑策略

新課改實(shí)施以來，一線教師對(duì)于解決問題教學(xué)，存在最大的困惑就是能否提數(shù)量關(guān)系，怎樣提數(shù)量關(guān)系，提到什么程度。許多教師在教學(xué)中不敢提數(shù)量關(guān)系，只停留在具體的情境上，趨向以題論題，日積月累下來，學(xué)生對(duì)問題的結(jié)構(gòu)特征和數(shù)量關(guān)系模糊不清，解決問題能力薄弱。到了高段，學(xué)習(xí)復(fù)雜的解決問題以及列方程解應(yīng)用題，就會(huì)更加困難，也會(huì)致使兩極分化加劇。數(shù)量關(guān)系是解決問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵，是解決問題的引擎，是動(dòng)力所在。解決問題，學(xué)生首先要理解題意，明確題中的條件和問題，明確條件與條件之間存在什么樣關(guān)系，才能有效清晰地解決問題，這就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一的“數(shù)學(xué)建?！薄?shù)學(xué)從某種角度說，就是研究數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，數(shù)量關(guān)系不清楚，數(shù)學(xué)也很難學(xué)好。新課改倡導(dǎo)，不但不能削弱數(shù)量關(guān)系教學(xué)，而且應(yīng)該加強(qiáng)數(shù)量關(guān)系教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)建模”能力。當(dāng)然，不能從數(shù)量關(guān)系的模式出發(fā)，機(jī)械照搬使用，而應(yīng)該從實(shí)例出發(fā)，積累、感悟、歸納和運(yùn)用，使“數(shù)量關(guān)系”自然生成、靈活使用。下面筆者談?wù)勛约旱囊恍?shí)踐經(jīng)驗(yàn)。

一、注重積累，建構(gòu)數(shù)量關(guān)系

解決問題教學(xué)，要求學(xué)生能厘清情境中的信息與所求問題之間的數(shù)量關(guān)系，能用語(yǔ)言有條理地表述思維過程，明確解決問題的結(jié)構(gòu)，能在整合溝通中梳理數(shù)量關(guān)系。這些數(shù)量關(guān)系的得出，都必須經(jīng)過一個(gè)長(zhǎng)期不斷積累的過程。因此，對(duì)中低年級(jí)學(xué)生的解題思路進(jìn)行訓(xùn)練，在學(xué)生闡述的過程中不斷積累數(shù)量關(guān)系，鞏固數(shù)量關(guān)系，使這些基本的數(shù)量關(guān)系在學(xué)生的知識(shí)體系中網(wǎng)絡(luò)化，有利于學(xué)生形成數(shù)量關(guān)系體系。

（一）表述思維——建構(gòu)數(shù)量關(guān)系

引導(dǎo)學(xué)生對(duì)思考過程進(jìn)行闡述，學(xué)生表述的過程就是其在頭腦中抽象數(shù)量關(guān)系的過程。其實(shí)也就是讓學(xué)生說解題思路，這個(gè)語(yǔ)言化的過程可以是口頭的闡述，也可以是畫圖、列表，或者是文字表述，運(yùn)用這些數(shù)學(xué)化的手段，分析、梳理信息之間的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而達(dá)到真正建構(gòu)數(shù)量關(guān)系的目的。

1.畫解題思路。引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)畫直觀圖，直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。這種圖可以是線段圖或者是學(xué)生自己喜歡的圖形與文字等的結(jié)合。教師一定要經(jīng)常在幫助學(xué)生梳理、篩選信息的過程中，示范畫線段圖，教會(huì)學(xué)生看線段圖和梳理、挖掘已知條件，并體會(huì)線段圖對(duì)于解決問題的好處。經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練后，就要讓學(xué)生嘗試借助畫線段圖來整合條件，把解決問題中的本質(zhì)直觀形象地呈現(xiàn)出來。教師及時(shí)點(diǎn)撥學(xué)生理清根據(jù)哪兩個(gè)數(shù)量畫出來的，可以求出什么數(shù)量？這樣數(shù)形結(jié)合的過程，也是畫解題思路的過程，并且為明晰數(shù)量關(guān)系掃清了障礙。

如在教學(xué)三年級(jí)上冊(cè)“用乘除法解決問題”一課時(shí)，教師出示問題：媽媽買3個(gè)茶杯用去27元，買8個(gè)這樣的茶杯需要多少元？讓學(xué)生在獨(dú)立審題的基礎(chǔ)上要求學(xué)生采用畫圖或文字表述的方式來表示題目的意思。

學(xué)生通過自主表示題目的意思，多元表征，在合作討論交流中很好地梳理了題目的數(shù)量關(guān)系，逐步從具體實(shí)物圖過渡到線段圖以及文字表征等，豐富了表征的形式，發(fā)展了學(xué)生的概括能力，為理解數(shù)量關(guān)系、獨(dú)立列式解答奠定了良好的基礎(chǔ)。

2.寫解題思路。有了畫線段圖為基礎(chǔ)，接下來學(xué)生才有可能理清數(shù)量關(guān)系。讓學(xué)生在圖示基礎(chǔ)上，把數(shù)量關(guān)系式寫出來。開始階段，為了幫助部分有困難的學(xué)生準(zhǔn)確有效地找到數(shù)量關(guān)系，就要教會(huì)他們找到涉及基本數(shù)量關(guān)系的關(guān)系句。告訴學(xué)生這些關(guān)系句中通常都會(huì)提及兩個(gè)量，只要把這個(gè)關(guān)系句進(jìn)行劃分，搞清楚這兩個(gè)量之間的關(guān)系后，再寫成數(shù)量關(guān)系式，就可以為建構(gòu)數(shù)量關(guān)系打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。寫解題思路的方法在高段尤其是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)顯得尤為重要，通過學(xué)生寫解題思路，引發(fā)頭腦的聯(lián)想風(fēng)暴，將學(xué)過的知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通，為解決問題掃平思維的障礙。如低年級(jí)學(xué)習(xí)“男生比女生多4人”，要求學(xué)生在會(huì)畫圖的基礎(chǔ)上寫出“女+4=男，男-女=4”等關(guān)系式，再到六年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)出示“男生比女生多[14]”，就能根據(jù)圖示寫出關(guān)系式“女×（1+[14]）=男”，再針對(duì)這個(gè)信息進(jìn)行聯(lián)想，學(xué)生會(huì)由此想到：男生是女生的[54]，女生是男生的[45]，男生與女生的比是5∶4，女生與男生的比是4∶5，男生是女生的125%……根據(jù)這些信息也能寫出相對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系式和解題思路，學(xué)生解決問題時(shí)就能觸類旁通、游刃有余。

3.說解題思路。在教學(xué)中，教師可以先讓學(xué)生說一說已知的條件和問題，檢查學(xué)生是否已經(jīng)讀懂相關(guān)的條件和問題。這個(gè)過程也是辨別信息、梳理?xiàng)l件和問題之間匹配性的重要過程。接著，讓學(xué)生說一說，根據(jù)哪兩個(gè)量，可以求出什么量，再根據(jù)求出的結(jié)果和第3個(gè)量，又可以求出什么結(jié)果。學(xué)生說的解題思路，可以是從條件到問題，也可以是從問題到條件。學(xué)生一開始在教師的提問和自己的回答中說解題思路，經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練后，就能流暢地用分析法或者綜合法說解題思路。這就是學(xué)生能有效把握數(shù)量關(guān)系的證明。

如在教學(xué)歸總問題時(shí)，教師充分運(yùn)用學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了歸一問題的知識(shí)基礎(chǔ)，出示了幫助學(xué)生說理的思維“腳手架”，即根據(jù)（ ）和（ ）可以求出（ ），再根據(jù)（ ）和（ ）又可以求出（ ），利用這個(gè)思維的腳手架充分搭起了學(xué)生有序思考問題的橋梁，為學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，順利地解決問題打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

（二）明確結(jié)構(gòu)——積累數(shù)量關(guān)系

兩步計(jì)算解決問題是解決問題體系中的關(guān)鍵和轉(zhuǎn)折點(diǎn)。明確兩步計(jì)算解決問題的結(jié)構(gòu)，使學(xué)生在此過程中弄清和積累數(shù)量關(guān)系，為解決問題策略的多樣化以及解決更復(fù)雜的復(fù)合問題打好基礎(chǔ)。兩步計(jì)算雖然和一步計(jì)算僅僅一步之差，但是就是這一小步，卻是關(guān)鍵的一步。這對(duì)幫助學(xué)生在條件和問題之間找到中間的踏板，加強(qiáng)兩步問題的結(jié)構(gòu)訓(xùn)練就顯得尤其重要。使學(xué)生通過把握兩步計(jì)算問題的結(jié)構(gòu)，學(xué)會(huì)解決兩步問題，進(jìn)而解決更復(fù)雜的問題。endprint

1.“過渡”改編。讓學(xué)生進(jìn)行“過渡”改編，不直接出示兩步計(jì)算問題，而是出示兩道有聯(lián)系的一步問題，學(xué)生解題后要求他們合并成一道題。再讓學(xué)生觀察兩組題之間的聯(lián)系與區(qū)別。這樣的過渡訓(xùn)練既把隱藏的條件揭示出來，又使學(xué)生無形中了解到兩步計(jì)算問題的結(jié)構(gòu)，有了這個(gè)過程，學(xué)生說起解題思路來也就輕松了。在教學(xué)兩步計(jì)算問題時(shí)，教師化解難度，讓學(xué)生更好地理解題意，掌握方法，對(duì)問題進(jìn)行過渡，一分為二，尋找方法再解決問題。如：王叔叔帶領(lǐng)工程隊(duì)修一段路長(zhǎng)600米，已經(jīng)修了320米，余下的每天修70米，還要幾天才能完成？由于三年級(jí)學(xué)生初學(xué)兩步問題，教師采用出示兩題的方式：王叔叔修一段長(zhǎng)600米的路，已經(jīng)修了320米，還剩下多少米？再出示：一段路剩下280米，每天修70米，還需要多少天才能完成任務(wù)？將這個(gè)問題一分為二，降低難度，幫助學(xué)生掌握分析問題的方法。在此基礎(chǔ)上再重新出示原題讓學(xué)生體會(huì)解決問題的方法，同化新知，使學(xué)生順利掌握解題思路。

2.擴(kuò)展改編。在學(xué)生對(duì)兩步問題有了一定認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，訓(xùn)練學(xué)生把一步問題中的一個(gè)信息擴(kuò)展為兩個(gè)信息，引導(dǎo)學(xué)生把直接條件轉(zhuǎn)化為間接條件。這樣做不僅能使學(xué)生進(jìn)一步明確兩步問題是由一步問題的直接條件轉(zhuǎn)化成間接條件而來的，而且為分析以后更復(fù)雜的問題結(jié)構(gòu)打好了基礎(chǔ)。如 一、二年級(jí)學(xué)習(xí)的加法問題“男生20人，女生80人，一共多少人？”將題目中的“女生80人”這個(gè)直接條件改編成“女生是男生的4倍”，讓學(xué)生求總?cè)藬?shù)，通過改編實(shí)現(xiàn)一步問題向兩步問題的跨越，在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)設(shè)置問題，幫助學(xué)生理解，促使學(xué)生的思維能力得到發(fā)展。

3.縮題改編。讓學(xué)生進(jìn)行縮題改編，就是讓他們先找到中間問題，先算一算變成直接條件，然后把兩步問題轉(zhuǎn)化成一步問題。教師可以提出要求：條件不變，變問題，把兩步問題改為一步問題；條件變，問題不變，把兩步問題縮成一步問題。然后讓學(xué)生比較這組題有什么相同和不同之處。通過這樣的練習(xí)，學(xué)生會(huì)懂得：把間接條件轉(zhuǎn)化為直接條件，兩步計(jì)算的問題可變成一步計(jì)算的問題，這就為學(xué)生正確認(rèn)識(shí)中間問題作了鋪墊。

（三）整合溝通——網(wǎng)絡(luò)數(shù)量關(guān)系

學(xué)生在切實(shí)理清兩步問題結(jié)構(gòu)的同時(shí)，也間接落實(shí)并積累了常見的基本數(shù)量關(guān)系，以這個(gè)基本數(shù)量關(guān)系為基礎(chǔ)，發(fā)展到一組數(shù)量關(guān)系，再由此及彼，拓展那些結(jié)構(gòu)類似的基本數(shù)量關(guān)系，形成數(shù)量關(guān)系群，就是由點(diǎn)到線、由線到面、由面到體逐步發(fā)散的過程。這樣呈放射狀的數(shù)量關(guān)系群，必須進(jìn)行針對(duì)性訓(xùn)練和綜合性訓(xùn)練，然后引導(dǎo)學(xué)生通過比較、辨析、溝通、整合，逐步抽象出它們的數(shù)學(xué)模型。學(xué)生不僅了解到這群數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)，而且了解到它們的來龍去脈，知道了它們?cè)诰唧w生活情境中的變式，也意味著抓住了數(shù)量關(guān)系的靈魂。

如學(xué)習(xí)了“速度、時(shí)間和路程”后，可以拓展單價(jià)、數(shù)量、總價(jià)的數(shù)量關(guān)系和工作效率、工作時(shí)間與工作總量的數(shù)量關(guān)系。出示這兩組類型的問題，讓學(xué)生解決。因?yàn)橛辛嘶A(chǔ)，所以學(xué)生能比較順利地歸納出這兩組數(shù)量關(guān)系。最后，引導(dǎo)學(xué)生比較這三組數(shù)量關(guān)系，有何異同，在溝通和比較中概括出速度、單價(jià)、工作效率相當(dāng)于每份數(shù)，時(shí)間、數(shù)量、工作時(shí)間相當(dāng)于份數(shù)，路程、總價(jià)、工作總量相當(dāng)于總數(shù)，這三組數(shù)量關(guān)系就相當(dāng)于份總關(guān)系，在拓展和延伸中學(xué)生也建構(gòu)了數(shù)學(xué)模型。

學(xué)生在教師的帶領(lǐng)下，從一個(gè)數(shù)量關(guān)系到一組數(shù)量關(guān)系再到一群數(shù)量關(guān)系，其實(shí)就是把個(gè)別特殊的數(shù)量關(guān)系拓展為一群數(shù)量關(guān)系，再?gòu)闹姓页龊退鼈儽举|(zhì)相關(guān)的數(shù)量關(guān)系，在此過程中，學(xué)生也在比較、辨析中建構(gòu)了數(shù)量關(guān)系。

二、注重策略，活用數(shù)量關(guān)系

高年級(jí)的解決問題教學(xué)，要把重心放在引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用策略解決實(shí)際情境中的數(shù)學(xué)問題，激發(fā)他們主動(dòng)自覺運(yùn)用策略解決問題的意識(shí)，幫助學(xué)生更好地梳理數(shù)量關(guān)系，直觀地分析數(shù)量關(guān)系，從而進(jìn)一步概括出精練且內(nèi)化的數(shù)量關(guān)系，最終達(dá)到靈活運(yùn)用的目的。

（一）對(duì)比——體驗(yàn)活用

讓學(xué)生在對(duì)比中溝通解法的聯(lián)系，異中求同，防止學(xué)生在解決問題中形成思維定勢(shì)，幫助他們從根本上理解數(shù)量關(guān)系，學(xué)會(huì)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，發(fā)散多樣化的解決策略。

⑴甲書架有書60本，乙書架的書比甲書架的2倍少20本。乙書架有書多少本？

⑵甲書架有書60本，比乙書架的書的2倍少20本。乙書架有書多少本？

學(xué)生容易產(chǎn)生思維定勢(shì)，看到少就減，看到多就加，教師為了打破學(xué)生的思維定勢(shì)，使他們真正理解數(shù)量關(guān)系，就要求學(xué)生畫線段圖整理信息，再結(jié)合線段圖進(jìn)行解讀，對(duì)關(guān)鍵詞句進(jìn)行逐一分析，從文字表述和線段圖兩方面對(duì)比異同，在數(shù)形結(jié)合中洞察數(shù)量關(guān)系。最后，對(duì)兩題的結(jié)構(gòu)和解法進(jìn)行比較，學(xué)生體會(huì)到像這樣的1倍數(shù)未知的題目，還是用列方程來解更好一些。

教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生通過數(shù)形結(jié)合，抓比較，抓關(guān)鍵詞句分析，使學(xué)生意識(shí)到不能見少就減，見多就加。引領(lǐng)學(xué)生感受并自主選擇求1倍數(shù)的時(shí)候用列方程解決問題更恰當(dāng)。學(xué)生也從根本上理解和內(nèi)化了數(shù)量關(guān)系，形成了解決問題的策略。

（二）跟蹤——鞏固活用

學(xué)生在積累了一定的數(shù)量關(guān)系后，教師可以針對(duì)某個(gè)專題、某種策略進(jìn)行跟蹤研究，讓學(xué)生學(xué)會(huì)列方程解決問題的方法。在專題研究中，學(xué)生更能靈活選擇策略，運(yùn)用數(shù)量關(guān)系，解決問題。如在初步學(xué)習(xí)購(gòu)票問題的解決方案后，教師出示了旅行社推出“××風(fēng)景區(qū)一日游”兩種價(jià)格方案。

[方案一

成人每人150元，

兒童每人60元。] [方案二

團(tuán)體5人以上

（含5人）

每人100元。]

（1）成人6人，兒童4人，怎樣購(gòu)票最省錢？

（2）成人4人，兒童6人，怎樣購(gòu)票最省錢？

學(xué)生在思考問題時(shí)充分考慮人數(shù)的變化選擇相應(yīng)的方案，鞏固學(xué)習(xí)的方法。

（三）反思——自主活用

教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧與展望解題過程，加強(qiáng)反思訓(xùn)練，有利于舉一反三、觸類旁通，培養(yǎng)思維的深度和廣度。

如教學(xué)“梯形的面積”后，教師出示這樣的問題：有一堆鋼管，它的橫截面是梯形，最上層有3根，每層多一根，最下層有7根，這堆鋼管一共有幾根？讓學(xué)生思考解決這個(gè)問題可以運(yùn)用學(xué)過的什么數(shù)量關(guān)系。你還想到什么類似的問題也可以運(yùn)用這個(gè)數(shù)量關(guān)系來解決？有學(xué)生舉例排隊(duì)問題。教師繼續(xù)拓展：學(xué)校合唱隊(duì)表演，排成四排，第一排有8個(gè)人，每排多兩人，這個(gè)合唱隊(duì)一共有幾人？學(xué)生獨(dú)立解決后，思考、比較這個(gè)隊(duì)形和算式，有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生通過對(duì)梯形面積的及時(shí)反思，發(fā)現(xiàn)這些問題最終都能化歸到求梯形的面積計(jì)算公式上來，鞏固、深化了梯形面積計(jì)算公式的數(shù)量關(guān)系。

解決問題策略應(yīng)該是和數(shù)量分析密不可分的，不能切割開來，我們要多著力于策略的有機(jī)滲透。教師站在策略的高度俯視，再來引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)，才能教活數(shù)量關(guān)系。

總之，教師教學(xué)解決問題時(shí)首先應(yīng)該著重于鋪墊，活用主題圖，善用提問，巧用自編題，讓學(xué)生感悟數(shù)量關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生在表達(dá)思維、明確結(jié)構(gòu)和形成數(shù)量關(guān)系網(wǎng)絡(luò)的過程中逐步理解掌握數(shù)量關(guān)系。最后，要引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)量關(guān)系，教師通過對(duì)比策略、專題跟蹤策略、反思策略，引導(dǎo)學(xué)生瞻前顧后，提升思考力，形成解決問題策略。當(dāng)然，有效地落實(shí)數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)，不是落實(shí)套路和模式，而是教師在課堂教學(xué)中要重視學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的建構(gòu)過程，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力和數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

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[2]卞慶龍.新課標(biāo)背景下的數(shù)量關(guān)系分析教學(xué)[J].教學(xué)與管理，2015（08）：47～49.

（浙江省臨海市桃渚鎮(zhèn)連盤小學(xué) 317013）endprint