趙瑞生

摘 要：“抽象”是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。小學(xué)三年級(jí)的學(xué)生，思維正處在由具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展的階段。在教學(xué)中，解決數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)和學(xué)生思維之間的矛盾需要設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，積累基本經(jīng)驗(yàn)。因此，“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算”一課的教學(xué)，首先要安排對(duì)具體材料的操作與實(shí)驗(yàn)，獲取直接經(jīng)驗(yàn)；其次，直接經(jīng)驗(yàn)要內(nèi)化為數(shù)學(xué)思考；再次，要對(duì)數(shù)學(xué)思考進(jìn)行反思與抽象，概括出面積計(jì)算公式；最后，公式還需返回生活實(shí)際以解決具體問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；數(shù)學(xué)抽象；長(zhǎng)方形的面積計(jì)算

“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”，“抽象”是它的本質(zhì)特征。所謂抽象，是指在認(rèn)識(shí)過(guò)程中，舍棄事物個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，抽取出事物本質(zhì)屬性的過(guò)程和方法?！皵?shù)學(xué)抽象”是指通過(guò)觀(guān)察、比較和分析，從數(shù)量關(guān)系和空間形式方面揭示客觀(guān)事物本質(zhì)和規(guī)律的一種數(shù)學(xué)研究方法。小學(xué)三年級(jí)的學(xué)生，思維正處在由具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展的階段。數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)和學(xué)生的思維之間存在矛盾，解決這一矛盾的主要方法是設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)，積累基本經(jīng)驗(yàn)。如蘇教版三年級(jí)下冊(cè)“長(zhǎng)方形的面積計(jì)算”，教材安排學(xué)生通過(guò)“測(cè)量”長(zhǎng)方形面積的活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律，抽象概括出長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式。那么，如何基于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)來(lái)展開(kāi)數(shù)學(xué)抽象呢？

因?yàn)椤皵?shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)生通過(guò)自己所經(jīng)歷或從事的數(shù)學(xué)活動(dòng)而獲得的感性經(jīng)驗(yàn)與直接經(jīng)驗(yàn)”，所以，首先要安排對(duì)具體材料的操作與實(shí)驗(yàn)，獲取直接經(jīng)驗(yàn)；其次，直接經(jīng)驗(yàn)要內(nèi)化為數(shù)學(xué)思考；再次，要對(duì)數(shù)學(xué)思考進(jìn)行反思與抽象，概括出面積計(jì)算公式；最后，公式還需返回生活實(shí)際以解決具體問(wèn)題。

一、動(dòng)手操作，獲取直接經(jīng)驗(yàn)

動(dòng)手操作是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式。擺一擺、量一量、畫(huà)一畫(huà)等“做”的過(guò)程，一方面可以把學(xué)生的注意力集中到眼前的活動(dòng)，通過(guò)操作，獲得對(duì)相關(guān)概念、公式、規(guī)律的一些感性認(rèn)識(shí)；另一方面又為后續(xù)的觀(guān)察、比較、猜測(cè)等思維活動(dòng)提供了直觀(guān)材料。在本課中，教師可以設(shè)計(jì)用若干個(gè)1平方分米的正方形，擺出一個(gè)長(zhǎng)方形，然后讓學(xué)生說(shuō)出每排擺幾個(gè)、擺了幾排、一共有多少個(gè)面積單位、長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬以及面積分別是多少，并提出：你發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)生匯報(bào)后，形成了表1。

在匯報(bào)的同時(shí)安排質(zhì)疑。比如：為什么每排擺5個(gè)，長(zhǎng)就是5分米？擺3排，寬就是3分米？為什么長(zhǎng)方形面積是15平方分米？質(zhì)疑的目的是引導(dǎo)學(xué)生邊做邊想，如果只見(jiàn)操作而沒(méi)有想的過(guò)程，將“想”淹沒(méi)在“做”的過(guò)程中，就違背了設(shè)計(jì)操作的初衷。比如，為什么每排擺5個(gè)，長(zhǎng)就是5分米？因?yàn)槊總€(gè)正方形的邊長(zhǎng)是1分米，5個(gè)1分米相加就是5分米。進(jìn)一步觀(guān)察，會(huì)發(fā)現(xiàn)：每排擺幾個(gè)，長(zhǎng)就是幾分米。這樣就把動(dòng)手操作和數(shù)學(xué)思考結(jié)合起來(lái)了。

用小正方形拼擺長(zhǎng)方形，是學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，要把生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，需要數(shù)學(xué)問(wèn)題的適時(shí)介入。當(dāng)學(xué)生從活動(dòng)中抽身，借助“你發(fā)現(xiàn)了什么”對(duì)活動(dòng)“反省抽象”，會(huì)發(fā)現(xiàn)：用邊長(zhǎng)1分米的正方形來(lái)擺，每排擺幾個(gè)，長(zhǎng)就是幾分米；擺幾排，寬就是幾分米；一共有多少個(gè)面積單位，長(zhǎng)方形的面積就是多少平方分米。這里，學(xué)生通過(guò)親自“做”獲取了直接經(jīng)驗(yàn)，而獲得的直接經(jīng)驗(yàn)將是后續(xù)進(jìn)一步思考的依據(jù)。

形式化是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)之一。如果數(shù)學(xué)距離學(xué)生的生活越來(lái)越遠(yuǎn)，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)會(huì)產(chǎn)生“畏懼”。而對(duì)具體材料的實(shí)驗(yàn)與操作，手腦并用，產(chǎn)生“對(duì)某個(gè)對(duì)象的發(fā)生式定義——如何把它做出來(lái)”，新知的學(xué)習(xí)就成了令人難忘的探索之旅。在操作的同時(shí)，要明確提出需思考的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果缺少對(duì)問(wèn)題的關(guān)注與思考，學(xué)生就極容易陷入具體的情境，被外在的學(xué)具的顏色、形狀、質(zhì)地等吸引，這樣的操作活動(dòng)就流于形式，更談不上把生活經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二、過(guò)程內(nèi)化，轉(zhuǎn)為數(shù)學(xué)思考

人類(lèi)的學(xué)習(xí)，一般是沿著動(dòng)作、表象、符號(hào)的路徑，達(dá)到對(duì)事物的認(rèn)知。新知的學(xué)習(xí)，是在已有知識(shí)與經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上的深化和發(fā)展。要把直接經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)思考，往往需要經(jīng)歷多層次的活動(dòng)。數(shù)學(xué)概念具有“兩重性”，一個(gè)數(shù)學(xué)概念由過(guò)程向?qū)ο筠D(zhuǎn)化，內(nèi)在的心理機(jī)制是“過(guò)程的內(nèi)化、壓縮到對(duì)象的實(shí)體化或?qū)ο蠡薄！斑^(guò)程的內(nèi)化”是一個(gè)操作過(guò)程，在本環(huán)節(jié)可以安排如下的活動(dòng)。

活動(dòng)一：求出長(zhǎng)是4分米，寬是3分米的長(zhǎng)方形面積。要求學(xué)生先想一想，再擺一擺，驗(yàn)證自己的想法是否正確。交流環(huán)節(jié)，教師有意識(shí)地安排全部擺滿(mǎn)、不擺滿(mǎn)、只標(biāo)出記號(hào)（用1分米分別去量長(zhǎng)和寬，做出記號(hào)）的分別匯報(bào)。這里的反饋?lái)樦鴮W(xué)生的思維實(shí)際，既展示了不同學(xué)生數(shù)學(xué)思考的真實(shí)情況，又體現(xiàn)了逐步簡(jiǎn)化的過(guò)程。在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)優(yōu)化，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，不用測(cè)量，根據(jù)長(zhǎng)和寬是幾分米，“想”用1分米量的過(guò)程（如：因?yàn)?里面有4個(gè)1，所以一排擺4個(gè)；3里面有3個(gè)1，所以擺3排），同樣可以推算出長(zhǎng)方形的面積。這里，學(xué)生會(huì)悄悄地運(yùn)用操作獲取的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行思考。

活動(dòng)二：給出圖形，沒(méi)有告訴長(zhǎng)和寬各是多長(zhǎng)，要求學(xué)生求出它的面積。交流時(shí)，分別讓用面積單位去度量和直接測(cè)量長(zhǎng)和寬的同學(xué)匯報(bào)。引導(dǎo)比較兩種方法的異同，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：用面積單位去度量一排擺幾個(gè)、有幾排和直接測(cè)量長(zhǎng)和寬只是形式不同，實(shí)質(zhì)是一回事。因?yàn)槊娣e單位的邊長(zhǎng)是“1”，長(zhǎng)里面有幾個(gè)“1”，長(zhǎng)就是幾，也就是一排擺幾個(gè)；寬里面有幾個(gè)“1”，寬就是幾，即是有幾排。如果直接測(cè)量得出長(zhǎng)和寬的數(shù)據(jù)，推算出一排擺幾個(gè)，有幾排，這種方法反而方便。

活動(dòng)三：求長(zhǎng)是45米，寬是30米的長(zhǎng)方形面積。主要有兩種方法，一種是先畫(huà)示意圖再算，一種是直接列式計(jì)算。交流中，教師具體指導(dǎo)示意圖的畫(huà)法，并指出可以把示意圖“畫(huà)”在腦中，然后推算。“幾何直觀(guān)”是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）的核心詞，它不僅是種意識(shí)，也是種技能，更是種思維方式。在推算長(zhǎng)方形面積時(shí)，畫(huà)出圖形，把數(shù)據(jù)標(biāo)在圖上，對(duì)著圖形思考：因?yàn)殚L(zhǎng)度用“米”作單位，所以用邊長(zhǎng)1米的正方形來(lái)度量。長(zhǎng)45米，沿著長(zhǎng)一排可以擺45個(gè)正方形；寬30米，可以擺30行；長(zhǎng)方形里面1平方米的個(gè)數(shù)是30個(gè)45，所以面積是45×30=1350（平方米）。結(jié)合具體的內(nèi)容，有意識(shí)地滲透畫(huà)圖的策略，把畫(huà)圖、算式、推理有機(jī)結(jié)合，不僅有利于當(dāng)前知識(shí)的學(xué)習(xí)，還有助于“幾何直觀(guān)”教學(xué)目標(biāo)的達(dá)成。

從活動(dòng)一到活動(dòng)三，逐步提高要求，任由學(xué)生自由“操作”，增加了思維含量。通常的教學(xué)，經(jīng)歷活動(dòng)一，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形面積計(jì)算公式就已足夠，為什么還要安排后兩個(gè)活動(dòng)？因?yàn)閷?shí)踐操作獲取的直接經(jīng)驗(yàn)要轉(zhuǎn)化為心理操作，需要一定的數(shù)量。沒(méi)有一定的數(shù)量，“經(jīng)驗(yàn)”會(huì)沉湎在情境的細(xì)節(jié)之中，而不容易被發(fā)現(xiàn)。當(dāng)操作經(jīng)過(guò)重復(fù)實(shí)施而被學(xué)生熟悉，“經(jīng)驗(yàn)”就會(huì)和具體的情境分離，上升為“心理操作”，進(jìn)入到“過(guò)程的壓縮和對(duì)象化”。上面安排了三次求長(zhǎng)方形面積的活動(dòng)，每次求長(zhǎng)方形面積，都要想“長(zhǎng)、寬與每排擺的個(gè)數(shù)、擺的排數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”，多次反復(fù)，“長(zhǎng)方形面積與長(zhǎng)、寬之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系”就脫離了情境，上升為思考對(duì)象，思維活動(dòng)逐步替代操作理解。

三、反思抽象，概括面積公式

把三次活動(dòng)的圖形及面積計(jì)算整體呈現(xiàn)，引導(dǎo)學(xué)生思考如下的問(wèn)題：長(zhǎng)方形的面積和什么有關(guān)？長(zhǎng)方形的面積如何計(jì)算？

通過(guò)擺一擺、畫(huà)一畫(huà)、算一算，學(xué)生雖然解決了問(wèn)題，但這種解決問(wèn)題的方法是依據(jù)操作獲取的直接經(jīng)驗(yàn)。經(jīng)過(guò)多次計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，長(zhǎng)方形的面積與它所包含面積單位的數(shù)量的關(guān)系，面積單位的數(shù)量與每排擺的個(gè)數(shù)、擺的排數(shù)的關(guān)系，長(zhǎng)方形的面積與長(zhǎng)、寬之間的內(nèi)在聯(lián)系逐漸浮出水面而被學(xué)生理解，在此基礎(chǔ)上，要引導(dǎo)學(xué)生展開(kāi)數(shù)學(xué)思考以發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律。而要發(fā)現(xiàn)規(guī)律，關(guān)鍵是“反省抽象”，把親身經(jīng)歷的活動(dòng)作為思考的對(duì)象。如通過(guò)對(duì)“長(zhǎng)方形的面積和什么有關(guān)”的思考，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：長(zhǎng)方形的面積=面積單位的數(shù)量，面積單位的數(shù)量=每排擺的個(gè)數(shù)×擺的排數(shù)，每排擺的個(gè)數(shù)=長(zhǎng)，擺的排數(shù)=寬，所以“長(zhǎng)方形面積=長(zhǎng)×寬”。這里的推理過(guò)程相當(dāng)復(fù)雜，但依據(jù)直接經(jīng)驗(yàn)及表象，學(xué)生能發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)造數(shù)學(xué)規(guī)律，思維達(dá)到對(duì)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

四、回歸生活，運(yùn)用思想方法

解題既是抽象知識(shí)的具體化過(guò)程，又可從中學(xué)到新的知識(shí)、技能和方法，可以安排如下練習(xí)。

1. 如圖1，每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是1米，長(zhǎng)方形的面積是多少平方米？

2. 一幅長(zhǎng)方形十字繡，長(zhǎng)8米，寬5米。給這幅十字繡裱一個(gè)畫(huà)框，至少需要多長(zhǎng)的木條和多大的玻璃？

通常的教學(xué)，在歸納出長(zhǎng)方形面積公式后，就直接運(yùn)用公式解決問(wèn)題，而不太重視“視覺(jué)—空間”表征。“視覺(jué)—空間”表征是指對(duì)長(zhǎng)方形面積首先形成視覺(jué)圖式，接著對(duì)面積單位的個(gè)數(shù)和計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)應(yīng)，形成空間圖式。如練習(xí)1，可以想每排有幾個(gè)、有幾排，或者由每排有幾個(gè)、有幾排得出長(zhǎng)和寬各是多少，進(jìn)而算出面積，不是僅僅直接運(yùn)用公式。重視“視覺(jué)—空間”表征，有利于學(xué)生空間關(guān)系的形成。

在學(xué)完長(zhǎng)方形面積后，學(xué)生經(jīng)常犯的錯(cuò)誤是把面積和周長(zhǎng)弄混。題目明明求的是面積，學(xué)生算的確是周長(zhǎng)。如果重視“比較”，重視從意義、計(jì)算方法和單位名稱(chēng)等方面進(jìn)行區(qū)分，將有助于學(xué)生判斷題目究竟要求的是什么。如練習(xí)2，要求學(xué)生畫(huà)出圖形，標(biāo)出數(shù)據(jù)。問(wèn)題“至少需要多長(zhǎng)的木條”是求周長(zhǎng)，而“需要多大的玻璃”求的則是面積。雖然教材的編排把長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)和面積分別安排在三年級(jí)的上冊(cè)和下冊(cè)，但在教的時(shí)候，教師可以發(fā)揮自己的主觀(guān)能動(dòng)性，把周長(zhǎng)和面積作為一個(gè)整體，重視比較，在區(qū)別和聯(lián)系中把握概念的本質(zhì)內(nèi)涵。

基于數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)教學(xué)，經(jīng)歷對(duì)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的概括與提煉獲取數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅有助于學(xué)生真正學(xué)好知識(shí)，還將有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的全面提升。