董紅超

[摘 要] 數(shù)學建模思想是新課程理念中發(fā)展學生應用能力的重要體現(xiàn)，綜合現(xiàn)階段的研究成果我們可以從數(shù)學建模的定位、定義、過程、功能和現(xiàn)狀五個方面來考察高中階段的數(shù)學建模；透過對各個教材的掃描可以發(fā)現(xiàn)高中課標對數(shù)學建模的具體內(nèi)容要求；根據(jù)高中階段數(shù)學建模的難易程度可以將建模教學分為三個階段來進行.

[關鍵詞] 數(shù)學建模；基本認知；內(nèi)容要求；教學融入

高中數(shù)學課程標準中明確提出要提高學生數(shù)學應用能力，發(fā)展學生數(shù)學建模思想. 隨著課程理念的深入，數(shù)學建模在高中教學中的重要性逐步被人們關注. 一個典型的標志在各省的高考和調(diào)研卷中，數(shù)學建模的問題總是作為倒數(shù)第三道問題出現(xiàn)，并且越來越現(xiàn)實化，有逐步擺脫應用題的趨勢. 本文嘗試從現(xiàn)階段對高中數(shù)學建模的認知、內(nèi)容要求和教學融入三個層面來管窺高中階段數(shù)學建模思想.

[?] 高中階段對數(shù)學建模的基本認知

基于對現(xiàn)階段高中數(shù)學建模專題研究的成果，本文嘗試從定位、定義、過程、功能、現(xiàn)狀等五個方面來闡釋我國高中階段對數(shù)學數(shù)學建模思想的基本認知.

首先，從定位角度看我國對高中階段的數(shù)學建模普遍持一種應用性取向. 目前國際上對高中階段數(shù)學建模思想的定位有本身取向——數(shù)學建模是數(shù)學學習本身的內(nèi)容；應用性取向——數(shù)學建模是提高實際問題解決能力的重要工具；動力性取向——數(shù)學建模能夠提升學生數(shù)學學習的動力. 這幾種取向各有支持，但從我國課程標準的描寫來看，我國對高中數(shù)學建模定位應當是應用性取向，因為在高中數(shù)學課程標準的課程理念欄目下第五條明確指出要發(fā)展學生的應用意識，同時提出高中數(shù)學課程要開展數(shù)學建模的學習，在學習的過程中教材要能為基本的知識提供相應的現(xiàn)實背景，同時建模學習要能夠反映現(xiàn)實價值.

其次，從定義角度看持不同定位的專家對數(shù)學建模的定義并不相同. 但我國所持的應用取向的建模定位決定了我國對數(shù)學建模的定義必定帶有應用的味道. 我們認為“數(shù)學建模思想就是用數(shù)學的知識來處理實際問題的一種方法，它通過對實際問題的觀察與分析，抽象出實際問題的內(nèi)在聯(lián)系，并把這些內(nèi)在聯(lián)系轉(zhuǎn)化成相應的數(shù)學關系，利用數(shù)學關系建構(gòu)與實際問題相符的數(shù)學符號系統(tǒng)，從而使原有問題轉(zhuǎn)變成數(shù)學問題的一種數(shù)學方法與思想.”

第三，從過程的角度來看數(shù)學建模大致需要經(jīng)歷問題情境—現(xiàn)實模型—數(shù)學模型—數(shù)學結(jié)果—問題情境這樣一個循環(huán)過程. 也就是說數(shù)學建模是從實際出發(fā)將其理想化成現(xiàn)實的模型，經(jīng)過數(shù)學化的改造形成數(shù)學模型，再通過數(shù)學的思考過程得出一定的數(shù)學結(jié)果，并將結(jié)果帶回實際中進行驗證和闡釋現(xiàn)實問題的過程.

第四，從功能的角度來考察數(shù)學建模，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學建構(gòu)對于修正傳統(tǒng)教學、拓展學生的思維力和發(fā)展學生實踐能力有著重要的價值. 首先傳統(tǒng)數(shù)學教學關注的是學生的數(shù)理邏輯和演算能力，這種教學往往脫離實際，而數(shù)學建模用抽象思維來針對現(xiàn)實問題，能夠發(fā)展學生的形式邏輯對單一的傳統(tǒng)教學起到修正作用；其次，一般數(shù)學教學往往側(cè)重于聚合思維，而對發(fā)散思維則關注不夠，數(shù)學建模因其情境模糊性并沒有現(xiàn)成的解決方向，因而更能關注到學生的發(fā)散思維能力；第三，現(xiàn)實的數(shù)學教學中遇到的問題往往是高度數(shù)學化的問題，這樣的問題具有高度的數(shù)理性，它就像懸在空中的樓閣一樣不接地氣，對學生的實踐能力發(fā)展沒有太大裨益，而數(shù)學建模則起源于現(xiàn)實又歸復于現(xiàn)實，需要學生從實踐中來到實踐中去有助于發(fā)展學生實踐能力.

第五，從現(xiàn)狀的角度看我國高中階段數(shù)學建?？捎眉戎档眯老灿至钊藫鷳n來形容. 欣喜的是自新課程改革以來，由于新的教學理念在教師中不斷扎根，數(shù)學建模的思想在高中階段受到越來越多的關注，逐步走進了我們?nèi)粘＝虒W中. 但關于建模教學的現(xiàn)狀又是令人擔憂的. 這其中存在兩類突出的問題：其一，不少教師將數(shù)學建模的教學等同于傳統(tǒng)的應用題教學，嚴重地窄化了數(shù)學建模的內(nèi)涵；其二，數(shù)學建模因其生成的特性使得耗時較長，而當今的高中教學又處在一個十分注重教學進度的時代，這就造成雖然認知到其重要性但又不愿在建模上花時間的教學現(xiàn)狀.

[?] 高中階段中數(shù)學建模的內(nèi)容要求

掃描幾個不同版本的高中數(shù)學教材，可以發(fā)現(xiàn)與大學階段數(shù)學建模獨立成體系不同，高中階段的數(shù)學建模思想更多的是滲透在各個知識的運用之中，這一點也恰恰與我國課標對高中數(shù)學建模思想的定位相契合. 具體說來，高中階段滲透在各章節(jié)中的數(shù)學模型大致可歸納為函數(shù)模型、三角模型、概率模型、數(shù)列模型和不等式模型等幾個重要內(nèi)容. 按照教學的順序我們可以把這些建模教學分為三個階段：高一年級簡易建模；高二年級中等建模；高三年級綜合建模.

首先，在高一年級學生由于受知識范圍的限制，只能進行簡易的建模教學.在這一階段仍以較高程度數(shù)學化的應用題為中介，往往是純數(shù)學理論學習后呈現(xiàn)問題使學得的知識在問題中得以應用；同時這一階段仍是以教師對模型建構(gòu)的示范，學生跟隨教師學習的方式為主. 此階段中主要涉及的建模內(nèi)容有函數(shù)模型，概率模型.

例：某計算機集團公司生產(chǎn)某種型號計算機的固定成本為200萬元，生產(chǎn)每臺計算機的可變成本為3000元，每臺計算機的售價為5000元. 分別寫出總成本C（萬元）、單位成本P（萬元）、銷售收入R（萬元）以及利潤L（萬元）關于總產(chǎn)量x（臺）的函數(shù)關系式.

其次，在高二年級由于學生經(jīng)歷了一年的高中學習，無論知識面還是處理問題的能力都得到了一定發(fā)展，有了進行中等難度建模學習的基礎. 在這一階段建模學習的中介是經(jīng)過簡單數(shù)學處理后的應用題，主體由教師逐步轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生，以學生模仿為主，而教師的作用更主要的表現(xiàn)為引導和助推. 此階段中所涉及的建模內(nèi)容包含三角模型、數(shù)列模型和不等式模型.

例：一個摩天輪半徑為10 m，輪子的底部在地面上2 m處，如果此摩天輪按逆時針轉(zhuǎn)動，每30 s轉(zhuǎn)一圈，且當摩天輪上某人經(jīng)過點P處（點P與摩天輪中心高度相同）時開始計時.（1）求此人相對于地面的高度關于時間的關系式；（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，約有多長時間此人相對于地面的高度不小于17 m..endprint

第三，在高三階段學生已經(jīng)學完高中階段的所有內(nèi)容，知識和能力達到階段性飽和，有了進行綜合性建模的前提.這一階段建模的情境已經(jīng)變成徹底實際化的“原坯”問題，這一階段中學生能夠脫離教師進行獨立的數(shù)學模型建構(gòu). 此階段中所涉及的建模內(nèi)容不再拘泥于哪一種數(shù)學模型而更傾向于各種模型的綜合應用.

例：A，B是兩個垃圾中轉(zhuǎn)站，B在A的正東方向16 km處，AB的南面為居民生活區(qū).為了妥善處理生活垃圾，政府決定在AB的北面建一個垃圾發(fā)電廠P. P的選址擬滿足以下兩個要求：①發(fā)電廠到兩中轉(zhuǎn)站的距離與它們每天集中的生活垃圾量成等系數(shù)反比，②發(fā)電廠要遠離居民區(qū). 現(xiàn)估測A、B兩中轉(zhuǎn)站每天處理的垃圾量約為30和50噸，問發(fā)電廠應如何選址.

[?] 高中階段里數(shù)學建模的教學融入

根據(jù)數(shù)學建模在高中內(nèi)容要求中的不同難度，個人認為應當對數(shù)學建模進行整體規(guī)劃，具體的講：建模的教學融入也分初級、中級和高級三個階段來進行. 在分段進行教學融入的同時也要關注形式與方法的選擇.

高一是數(shù)學建模教學的初級階段. 這一階段主要任務是簡單介紹數(shù)學建模的相關內(nèi)容，以激發(fā)學生對數(shù)學建模思想的興趣為主. 這主要是因為高中以前的數(shù)學教學的絕對核心是數(shù)理知識的掌握，對于數(shù)學應用意識缺乏焦點的關注，同時學生知識范圍也相對窄小，所以學生對數(shù)學模型基本上是毫無意識的. 因而，這一階段的建模教學應當以教師的示范為主，在拓展學生知識范圍的同時提高學生的數(shù)學應用意識，從而逐步認識數(shù)學模型，介入數(shù)學建模. 這一階段的教學形式主要以插入式為主，即在傳授知識的過程中遇到與數(shù)學模型相關的情境時，可以進行問題分析、模型分析和模型建立的講解插入.

高二數(shù)學建模教學的中級階段. 這一階段主要任務是讓學生經(jīng)歷整個建模與解模的過程，以數(shù)學建模思想的扎根為主. 這主要是因為經(jīng)過一年時間教師不斷地穿插引導，在潛移默化中學生已經(jīng)初步認識了數(shù)學建模，同時一年學習使學生的知識面得到了一定范圍的拓展，從而有了一定建模能力. 但此時學生的意識仍然停留在用一定的數(shù)學知識解決應用題的階段，并未能認識到數(shù)學模型對于解決現(xiàn)實問題的作用. 為了使數(shù)學建模思想扎根學生意識中，教學中可以數(shù)學建模專題的形式，對數(shù)學建模進行討論，引導學生經(jīng)歷建模與解模的全部過程. 同時根據(jù)建模難度的差異選擇學生獨立或小組合作的形式進行.

高三是數(shù)學建模教學的高級階段. 這一階段的主要任務是發(fā)展學生解決實際問題的能力，以綜合性數(shù)學建?；顒訛橹? 這主要是因為高三已經(jīng)進入復習階段，學生的知識與能力達到了階段性的飽和狀態(tài)，同時經(jīng)過二階段的鍛煉建模意識已扎根學生心中，有了綜合性建模的基礎. 這一階段學生已經(jīng)能獨立進行分析問題—歸納模型—數(shù)學模型—數(shù)學結(jié)果—驗證問題這一完整的建模過程，而教師已經(jīng)基本成了一名觀察員. 因此這一階段的建模教學更應傾向于課外的輔導與活動.

透過上面的分析，個人認為高中數(shù)學建模的教學融入可用教師與學生角色發(fā)展來刻畫. 教師由初級階段的主導者發(fā)展到中級階段的引導者再到高級階段的觀察者；學生由初級階段的學習者發(fā)展到中級階段的參與者再到高級階段的主體.endprint