胡秀

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)常以抽象的形態(tài)出現(xiàn)在人們的面前，這反映了數(shù)學(xué)抽象的一面. 其實(shí)，抽象是數(shù)學(xué)的特質(zhì)之一，是數(shù)學(xué)知識構(gòu)建的必然過程. 作為數(shù)學(xué)教學(xué)，重要任務(wù)之一就是讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)抽象的過程，而這就需要教師建立對數(shù)學(xué)抽象的準(zhǔn)確理解，并設(shè)計(jì)教學(xué)讓學(xué)生進(jìn)入到數(shù)學(xué)抽象的情境中. 將數(shù)學(xué)抽象置于核心素養(yǎng)的視角下，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)抽象之于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義. 數(shù)學(xué)抽象能力的有效培養(yǎng)，需以教師對學(xué)生抽象過程的關(guān)注與把握為基礎(chǔ).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)抽象；能力培養(yǎng)；教學(xué)理解；教學(xué)實(shí)踐

當(dāng)我們討論數(shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)時(shí)，總會提及一個(gè)詞語，那就是“抽象”. 經(jīng)驗(yàn)意義下的抽象往往表示著這門學(xué)科生澀難懂. 筆者作為“數(shù)學(xué)人”中的一名普通高中數(shù)學(xué)教師，并不是這樣認(rèn)為的，因?yàn)樵诠P者看來，正是數(shù)學(xué)的抽象成就了其具有的天然的抽象美. 問題在于，如果這種美無法為學(xué)生感知，那么學(xué)生所能感受到的只能是數(shù)學(xué)的難學(xué)，因此高中數(shù)學(xué)教師一個(gè)切切實(shí)實(shí)的任務(wù)，就是要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象的能力.

[?] 數(shù)學(xué)抽象的基本理解

談及抽象，即覺“難”，這顯然是經(jīng)驗(yàn)之見. 抽象本是人認(rèn)識事物的一種重要能力與方法，其是指從眾多的事物中提取共同的、本質(zhì)的特征而舍棄非本質(zhì)特征的過程（據(jù)說“抽象”一詞本身就源自于拉丁語，有“拖拽”的意思，這倒是非常形象的）. 當(dāng)我們說數(shù)學(xué)是研究數(shù)與形的學(xué)科時(shí)，其實(shí)已經(jīng)進(jìn)入了抽象的境界.

數(shù)學(xué)抽象毫無疑問，其特點(diǎn)在于抽象的對象具有數(shù)學(xué)意義，抽象的結(jié)果具有數(shù)學(xué)特質(zhì). 高中階段的數(shù)學(xué)多是抽象的結(jié)果，很多數(shù)學(xué)知識的教學(xué)起點(diǎn)與實(shí)際事物存在較大的距離，因此讓學(xué)習(xí)者感覺到“抽象”（這是感覺層面的抽象，非指抽象本義）. 從這個(gè)角度講，高中數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)確有向生活回歸的必要，至少要照顧大多數(shù)學(xué)生的學(xué)習(xí)感受，以讓他們從形象事物出發(fā)，這樣才能更好地構(gòu)建數(shù)學(xué)知識.

以“圓錐曲線”為例，蘇教版高中數(shù)學(xué)教材給出了這樣的教學(xué)素材：開普勒發(fā)現(xiàn)的行星運(yùn)動(dòng)三定律所揭示的行星運(yùn)動(dòng)規(guī)律（橢圓曲線）、某些彗星運(yùn)動(dòng)的規(guī)律（拋物線、雙曲線和橢圓）、炮彈的飛行軌道（拋物線）；而到了具體的圓錐曲線這一節(jié)，給出的則是一個(gè)用平面截圓錐面的情境，以讓學(xué)生在對不同截法的分析中得到不同的圓錐曲線.

從數(shù)學(xué)知識形成的角度來看，這樣的設(shè)計(jì)是合理的；而從學(xué)生思維的角度來看，這樣的設(shè)計(jì)如果不進(jìn)行再加工，則對于很多學(xué)生來說就將面臨“抽象”的挑戰(zhàn). 因?yàn)楫?dāng)學(xué)生大腦中沒有可供抽象的形象對象時(shí)，抽象是無從談起的；而當(dāng)教學(xué)的起點(diǎn)就是抽象的對象時(shí)，即使是抽象能力已經(jīng)趨于成熟的高中學(xué)生，也會面臨較大的挑戰(zhàn). 從這個(gè)角度講，高中數(shù)學(xué)教師所建立起的教學(xué)視角下的數(shù)學(xué)抽象的理解，至少應(yīng)當(dāng)有一個(gè)內(nèi)涵，那就是為學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象提供形象的對象.

[?] 數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)

基于上一點(diǎn)理解，筆者在教學(xué)中努力培養(yǎng)學(xué)生抽象能力的時(shí)候，就認(rèn)準(zhǔn)必須讓學(xué)生的抽象有“物”可依，同時(shí)堅(jiān)信只要基于對形象對象的有效分析，抽象能力的形成就是自然而然的事.

在“圓錐曲線”這一教學(xué)內(nèi)容中，筆者對教材所提供的素材進(jìn)行了再加工：對于行星的運(yùn)動(dòng)，就提供了形象的動(dòng)畫與圖片，并且通過幾何畫板讓其中的圓錐曲線有效地凸顯出來，以讓學(xué)生認(rèn)識到圓錐曲線在實(shí)際生活中的存在. 為了加強(qiáng)學(xué)生對圓錐曲線的認(rèn)知，筆者還重新讓學(xué)生進(jìn)行了一個(gè)簡易的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，即在固定了兩個(gè)釘子的木板（也可以固定在黑板上），讓學(xué)生沿一根兩端系于釘子上的繃緊了的細(xì)線描出一個(gè)橢圓來. 這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)耗時(shí)不多，但卻可以有效地豐富學(xué)生對圓錐曲線的形象認(rèn)知，從而也就為其后的數(shù)學(xué)抽象奠定了基礎(chǔ).

其后的數(shù)學(xué)抽象過程基本是這樣的：首先，利用上述的形象對象進(jìn)行了抽象，這是面向“現(xiàn)實(shí)情境”的抽象，這個(gè)抽象過程是在教師利用課件輔助的情形下完成的，因此更多的是為了培養(yǎng)學(xué)生從生活到數(shù)學(xué)的認(rèn)識；其次，借助于課件完成一個(gè)平面截一個(gè)圓錐面的抽象過程，盡管這個(gè)過程中也借助于課件，但其抽象對象卻是不同的，其抽象對象是一個(gè)數(shù)學(xué)情境. 由于前面有了對實(shí)際事物的抽象，因此此處面向數(shù)學(xué)情境的抽象是可以順利進(jìn)行的，同時(shí)這一步抽象的目標(biāo)與前面也是不同的，其是為了下一步得出圓錐曲線的一般理解——“截線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離相等”奠定基礎(chǔ)的. 這是本節(jié)課抽象的核心！

當(dāng)前《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對數(shù)學(xué)抽象的要求其實(shí)是有層次性的：從現(xiàn)實(shí)情境中抽象出數(shù)學(xué)概念；從數(shù)學(xué)情境中抽象出數(shù)學(xué)規(guī)則與數(shù)學(xué)問題. 前一層次中學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)與生活直覺可以發(fā)揮作用，而后一層次中則完全要靠數(shù)學(xué)直覺和數(shù)學(xué)推理，高中數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)，往往在后一個(gè)層次中更能得到體現(xiàn). 事實(shí)上，在“圓錐曲線”這一章中，橢圓、拋物線、雙曲線三個(gè)典型的圓錐曲線的概念教學(xué)是非常重要的，因?yàn)楦拍畋旧砭褪浅橄蟮漠a(chǎn)物，因此概念教學(xué)就是抽象能力培養(yǎng)的重要契機(jī)，抓住數(shù)學(xué)概念形成過程中的演繹推理與合情推理并存的特征，可以讓學(xué)生在觀察、比較、分析、歸納、演繹中逐步形成以數(shù)學(xué)語言、數(shù)形為描述載體的概念，并在此過程中形成抽象能力.

[?] 作為素養(yǎng)的數(shù)學(xué)抽象

從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來看，數(shù)學(xué)抽象是一個(gè)過程，如果基于知識形成的線索來看，數(shù)學(xué)抽象是有一定脈絡(luò)的；而如果真正從學(xué)生思維的角度來看，數(shù)學(xué)抽象其實(shí)又不是完全可以精確描述的，因?yàn)樵趯W(xué)生的思維過程中還有許多不為外人甚至不為學(xué)生自己所知的默會知識的存在，因而教師所看到的學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象過程，實(shí)際上只是學(xué)生思維的一部分.

談到學(xué)生思維中的數(shù)學(xué)抽象過程，就不能不提及當(dāng)下重點(diǎn)倡導(dǎo)的核心素養(yǎng). 數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)是以必備品格和關(guān)鍵能力為核心的素養(yǎng)的下位概念，其強(qiáng)調(diào)的是包括數(shù)學(xué)抽象在內(nèi)的六個(gè)核心概念，盡管有研究者對這六個(gè)概念能否涵蓋數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的全部提出了異議，但可以肯定的是，數(shù)學(xué)抽象一定是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一！

當(dāng)將數(shù)學(xué)抽象提升到核心素養(yǎng)的層面時(shí)，可以看到的是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中思維能力與學(xué)習(xí)品質(zhì)的應(yīng)然提升. 有研究者（如施瓦茨等人）指出，學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象的過程中，其思維包括了從識別到整合再到建構(gòu)的完整過程. 其中，識別是感知能力的體現(xiàn)，融合是數(shù)學(xué)推理的體現(xiàn)，而建構(gòu)則是這個(gè)過程的核心. 所謂建構(gòu)，這里是指學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，將新知識納入到原有知識體系當(dāng)中，以讓自己的數(shù)學(xué)知識、能力體系更趨完善. 此過程中數(shù)學(xué)抽象所起的作用是將非數(shù)學(xué)因素排除，并尋找新的數(shù)學(xué)知識與原有數(shù)學(xué)知識體系的聯(lián)結(jié)點(diǎn)的作用.

數(shù)學(xué)抽象在發(fā)揮這個(gè)作用的時(shí)候，實(shí)際上也就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)揮作用的時(shí)候，同時(shí)也是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)一步形成的時(shí)候. 根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，此過程中學(xué)生對數(shù)學(xué)語言的運(yùn)用也是數(shù)學(xué)抽象能力培養(yǎng)的關(guān)鍵. 無論是數(shù)學(xué)概念還是規(guī)律，都是以數(shù)學(xué)語言的形式出現(xiàn)的，圓錐曲線中“平面內(nèi)”“定點(diǎn)”“直線”“距離”“常數(shù)”“點(diǎn)的軌跡”等，都是基本的數(shù)學(xué)概念，而不同的組合則可以得到不同圓錐曲線的定義. 學(xué)生在運(yùn)用這些語言的時(shí)候，往往大腦中會形成一些表象，表象作為形象思維的加工對象，在此起著輔助學(xué)生抽象思維的作用，客觀上促成了學(xué)生抽象思維能力的形成. 因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生錘煉數(shù)學(xué)語言是一項(xiàng)重要工作，而事實(shí)上面對考試等需要，很多時(shí)候教師對數(shù)學(xué)語言的教學(xué)是忽視的，這不利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的形成，也不利于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

[?] 關(guān)注學(xué)生的抽象過程

數(shù)學(xué)抽象能力的培養(yǎng)根本上是要依賴于教師對學(xué)生抽象過程的把握，因此關(guān)注學(xué)生的抽象過程，就成為教師教學(xué)研究的一個(gè)著力點(diǎn).

盡管學(xué)生在抽象過程中有著豐富的默會知識的運(yùn)用，但從顯性的過程來看還是可以看出學(xué)生抽象過程質(zhì)量的高低的. 比如說學(xué)生對一個(gè)平面截一個(gè)圓錐面的過程的加工，可以看學(xué)生在草稿紙上所涂的痕跡，如果學(xué)生能夠隨手畫出橢圓、拋物線、雙曲線等圖形，則說明學(xué)生的抽象過程是高效的；但是，不能認(rèn)為畫不出上述圓錐曲線就認(rèn)為學(xué)生的抽象能力不強(qiáng)，因?yàn)閷W(xué)生抽象思維未必是以手下的圖形呈現(xiàn)的，還有可能是語言表達(dá)，這就需要教師與學(xué)生交流——尤其是在小組合作過程中，教師下沉到小組與學(xué)生交流，是能夠把握學(xué)生的思維結(jié)果的. 這個(gè)時(shí)候如果遇到學(xué)生思維不成熟、表達(dá)不精確的情形，那教師就要珍惜這個(gè)機(jī)會，因?yàn)檫@樣的細(xì)節(jié)研究可以判斷出學(xué)生個(gè)體的思維特征，從而判斷其抽象思維能力的水平.

總之，高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象作為一項(xiàng)數(shù)學(xué)技能的培養(yǎng)，作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)重要組成部分的培養(yǎng)，需要教師重點(diǎn)關(guān)注，需要教師結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)踐，根據(jù)學(xué)生有限的表現(xiàn)去猜想、判斷，進(jìn)而較為準(zhǔn)確地把握學(xué)生的抽象思維過程，這對于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力是極有幫助的.endprint