岳曦夢(mèng)+劉雙雙

摘 要：在很多問(wèn)題中，巧妙地利用復(fù)數(shù)，會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)潔明快。不等式問(wèn)題，在數(shù)學(xué)當(dāng)中有著廣泛的應(yīng)用，在本文中，我們將復(fù)數(shù)模的基本性質(zhì)、復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)間形式的轉(zhuǎn)化，復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系等應(yīng)用到基本實(shí)數(shù)不證明的證明當(dāng)中。

關(guān)鍵詞：復(fù)數(shù)；不等式；復(fù)數(shù)模的性質(zhì)；復(fù)數(shù)的應(yīng)用；解析；幾何

一、 前言

十六世紀(jì)前半葉，在Cardan公式中用了復(fù)數(shù)開(kāi)放而引進(jìn)了復(fù)數(shù)。它在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi)困惑著廣大數(shù)學(xué)工作者，以至于被稱(chēng)為“詭辯量”、“實(shí)數(shù)的鬼魂”、“虛數(shù)”、“介于存在與不存在之間的兩棲物”等。復(fù)數(shù)與我們過(guò)去認(rèn)識(shí)的數(shù)有一個(gè)明顯的區(qū)別，復(fù)數(shù)沒(méi)有大小。對(duì)此，一度也曾使人費(fèi)解。直到上世紀(jì)初，數(shù)的大小與數(shù)的加法、乘法運(yùn)算有著密切關(guān)系，也就是說(shuō)，數(shù)的大小順序要與某種排列順序分開(kāi)，前者受運(yùn)算性質(zhì)的制約，后者可以與運(yùn)算性質(zhì)沒(méi)有關(guān)系。

雖然復(fù)數(shù)之間不存在大小關(guān)系，但是復(fù)數(shù)的模、實(shí)部、虛部作為實(shí)數(shù)，是可以比較的，因此復(fù)數(shù)的模、實(shí)部、虛部之間是存在不等關(guān)系的。利用復(fù)數(shù)的性質(zhì)、幾何意義等可以對(duì)不等式進(jìn)行巧妙地證明，我們將復(fù)數(shù)形象地理解為：復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）是一一對(duì)應(yīng)的，也可理解為：復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的向量OZ是一一對(duì)應(yīng)的。將復(fù)數(shù)具體話將幫助我們更深刻的理解復(fù)數(shù)，更加巧妙地運(yùn)用復(fù)數(shù)來(lái)解決實(shí)際遇到的問(wèn)題，探究復(fù)數(shù)在解決數(shù)學(xué)題中的重要意義，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的思維。

二、 在解析幾何中求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離的最值

在解析幾何中，求定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)距離，也可以考慮把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求復(fù)平面上這兩點(diǎn)為起始的向量的模的最值。

【例1】 求圓C：x2+y2=4上的點(diǎn)到定點(diǎn)P（3，33）的最大距離與最小距離。

解：圓C的復(fù)數(shù)形式是|Z|=2；設(shè)圓C上的任意點(diǎn)為Z，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是Z，

P點(diǎn)應(yīng)的復(fù)數(shù)是：3+33i；由復(fù)平面上兩點(diǎn)間距離公式得|PZ|=|Z-（3+33i）|，

據(jù)兩復(fù)數(shù)差的模的不等式，有 ||Z|-|3+33i||≤|Z-（3+33i）|≤|Z|+|3+3i|；即4≤|PZ|≤8，由Z的幅角的任意性，可知兩個(gè)等號(hào)可以到達(dá)，

圓C上的點(diǎn)到定點(diǎn)P的最大距離是8，最小距離是4。

三、 用復(fù)數(shù)證明正弦定理

正弦定理：asinA=bsinB=csinC。

證明：建立坐標(biāo)系，三角形在坐標(biāo)系中任意位置，

設(shè)A、B、C所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1、z2、z3。

顯然z3-z1z2-z1=bc（cosA+isinA），z1-z2z3-z2=ca（cosB+isinB）

故sinAa=cabIz3-z1z2-z1=cab|z3-z1|2I（z3-z1）（z3-z1）=1abcIz1z3-z2z3-z1z2

∵Iz3z2-z3z1=Iz1z3-z2z3

故asinA=bsinB，同理bsinB=csinC，所以有asinA=bsinB=csinC成立。

四、 利用復(fù)數(shù)的模導(dǎo)圓錐曲線方程

圓錐曲線是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離之比是常數(shù)λ的點(diǎn)的軌跡。利用復(fù)數(shù)的模同樣能實(shí)現(xiàn)推導(dǎo)圓錐曲線，下面是求解的具體步驟方法。

解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)z=x+yi，定點(diǎn)為z0，定直線為z=-p2i，

則有|z-z0|=λ|Iz-Ip|；即x+yi-p2=λy+p2，

當(dāng)λ=1時(shí)為x2=2py，若定點(diǎn)為z0=p2，定直線為z=-p2，則用同樣的方法可導(dǎo)出此圓錐曲線的方程：x-p22+y2=λ2x+p22，當(dāng)λ=1時(shí)，方程為y2=2px。

五、 求解含有復(fù)數(shù)的不等式

含有復(fù)數(shù)的不等式是我們中學(xué)曾經(jīng)接觸過(guò)的，在應(yīng)用復(fù)數(shù)理論的時(shí)候，更要注意巧妙、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)氖褂茫拍軐?fù)數(shù)思維的寬度以及廣度最大化，把虛無(wú)的世界變得條理清晰，具備說(shuō)服力和真實(shí)性。

【例2】 解不等式-1

解：已知z+1z∈R，于是可令z+1z=r（r∈R），不等式即可變形為：-1

所以不等式-1

倘若令不等式-1

則x=r2，y=±4-r22，x2=r22，y2=1-r24=1-x2

則x2+y2=1，并且y≠0，x≠±1；由此可知解集S是復(fù)平面上以原點(diǎn)O為圓心，

以1為半徑的圓心上去掉（1，0）和（-1，0）兩點(diǎn)的兩段連續(xù)圓弧。

參考文獻(xiàn)：

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作者簡(jiǎn)介：

岳曦夢(mèng)，吉林省長(zhǎng)春市，吉林師范大學(xué)；

劉雙雙，浙江省杭州市，杭州市星瀾小學(xué)。