金怡

[摘? 要] 數(shù)學(xué)概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，正確理解數(shù)學(xué)概念，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)知識的前提條件，也是提高教師教學(xué)質(zhì)量的重要環(huán)節(jié). 在組織數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，教師容易忽視以下幾個角度：一是概念的命名方式;二是概念的表征方式，三是概念之間的聯(lián)系. 如果在教學(xué)中兼顧到這三點，可以有效地提升概念教學(xué)的質(zhì)量.

[關(guān)鍵詞] 概念教學(xué);命名方式;表征方式;相互關(guān)系

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的邏輯起點，是教師教學(xué)、學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，是學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思維的核心. 概念教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，新課程標(biāo)準(zhǔn)指出“要使學(xué)生學(xué)好基本知識和掌握基本技能，首先要使學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)概念”，這就促使我們不得不去思考如何抓好概念教學(xué)，提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，我們不但要讓學(xué)生關(guān)注概念的內(nèi)涵和外延，還要從以下幾個角度著手，讓學(xué)生對數(shù)學(xué)概念形成更加深刻的認(rèn)識.

領(lǐng)會數(shù)學(xué)概念命名的特點

數(shù)學(xué)語言簡潔而精煉，這一點在數(shù)學(xué)概念的命名上顯得尤其明顯. 很多概念的命名都是為了方便人們的理解，同時也有助于人們實現(xiàn)對表象的簡約化處理，進(jìn)而實現(xiàn)思維由現(xiàn)實到虛擬的一種跨越.

為了避免在字面造成認(rèn)識上的混淆，同時還要將與概念相關(guān)的要素關(guān)系體現(xiàn)出來，讓人能比較直觀地看清楚概念間的關(guān)聯(lián)和區(qū)別，這就要求在命名數(shù)學(xué)概念時能夠講究方式方法. 結(jié)合一些文獻(xiàn)的研究和分析，筆者發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的命名方式比較多，常見的有以下六種.

1. 復(fù)合式

所謂“復(fù)合式”，指的是在命名過程中用外語本意和表示形象的詞語組合來進(jìn)行命名. 現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論主要源于西方，很多數(shù)學(xué)概念都隱含著外語的本意，比如“函數(shù)”這個概念就是如此，它是由清代數(shù)學(xué)家李善蘭結(jié)合“function”一詞翻譯并轉(zhuǎn)化而來，關(guān)于命名，李善蘭有這樣的表述：“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù). ”即一個量要隨著其他量的變化而發(fā)生變化，這也是“函數(shù)”概念變量說的理解.

2. 結(jié)構(gòu)式

所謂“結(jié)構(gòu)式”，就是結(jié)合數(shù)學(xué)對象的構(gòu)成元素以及元素之間的基本關(guān)系和特征來規(guī)定命名，比如“等差數(shù)列”，這一概念首先明確概括的對象是數(shù)列，而且還講清了數(shù)列之間的關(guān)系——“等差”，一般講到這一概念時，我們無須與學(xué)生做過多的強調(diào)，完全可以由學(xué)生自己對名稱的理解來進(jìn)行把握，類似的概念還有“等比數(shù)列”.

3. 假借式

所謂“假借式”，就是人們在定義數(shù)學(xué)概念時借用古語、詩詞、名言中所出現(xiàn)的詞匯來進(jìn)行定義. 中國有著悠久的文化歷史，我們的祖先創(chuàng)造出的很多詞匯都蘊含著豐富的內(nèi)涵，因此當(dāng)西方的數(shù)學(xué)理論傳入中國時，人們也經(jīng)常借用古語中出現(xiàn)的詞匯來對其進(jìn)行命名. 比如“幾何”，這就是借用了詩經(jīng)中的一句“為猶將多，爾居徒幾何”（這只是其中的一種說法），我們在教學(xué)中和學(xué)生分享這些概念的來源，能夠讓我們的數(shù)學(xué)課堂多一份文化的氣息.

4. 直觀式

所謂“直觀式”，就是人們根據(jù)數(shù)學(xué)對象直觀的特點來進(jìn)行命名，比如“拋物線”，這就是一個非常形象的概念，它與物理學(xué)中的拋體運動有著非常緊密的關(guān)聯(lián)，即在只考慮重力影響的環(huán)境下，將物體平拋或斜拋出去，其運動的軌跡即為拋物線. 此外，諸如“圓”“橢圓”“雙曲線”等，這些概念都有非常直觀的色彩，學(xué)生在理解時完全可以從概念上理解其數(shù)學(xué)含義.

5. 概括式

所謂“概括式”，主要是針對多個數(shù)學(xué)對象提供一個統(tǒng)稱. 比如對應(yīng)著有理數(shù)乘方，人們提出了“指數(shù)”這個概念，它實際上反映的是相同因數(shù)相乘的關(guān)聯(lián).

6. 哲學(xué)式

所謂“哲學(xué)式”，這是從哲學(xué)的角度來進(jìn)行概念的命名，比如有了“有理數(shù)”，那么從辯證地角度來講，就應(yīng)該有“無理數(shù)”，有了“實數(shù)”，那么也就有“虛數(shù)”的概念，這樣的命名方式從一定程度上反映出概念提出時研究者的一種心理狀態(tài)，同時也能夠反應(yīng)相關(guān)概念產(chǎn)生的過程.

不同的命名方式往往對應(yīng)概念不同的特點，我們在組織教學(xué)時，引導(dǎo)學(xué)生展開比較和分析，有助于學(xué)生以更加積極而靈活的思維來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，提升認(rèn)識.

結(jié)合表征方式來理解概念

數(shù)學(xué)語言的博大精深還體現(xiàn)在其表征方式的多元化方面，文字、符號、圖形等都可以用于數(shù)學(xué)概念的表征，我們引導(dǎo)學(xué)生從多個角度來更加全面地理解概念，就是要結(jié)合多種表征來進(jìn)行理解，相關(guān)做法還有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)語言形成自己的感悟，提升他們語言表達(dá)的嚴(yán)謹(jǐn)性和豐富性.

1. 文字表征

文字表征是最常見的數(shù)學(xué)概念表征方式，一般來講，當(dāng)我們以文字來表征數(shù)學(xué)概念時，文字都會體現(xiàn)出科學(xué)、自然、簡潔、完整等特點，而且能夠揭示出概念最為本質(zhì)的內(nèi)容. 當(dāng)然，我們也應(yīng)該明確，文字是理解的核心，但文字并不是數(shù)學(xué)體系的核心，深度地理解切不可止步于文字表面.

比如“橢圓”的概念，首先我們應(yīng)該讓學(xué)生領(lǐng)會文字表征的嚴(yán)謹(jǐn)性和精確性，橢圓是平面內(nèi)到定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的動點P的軌跡，F(xiàn)1，F(xiàn)2稱為橢圓的兩個焦點. 上述表達(dá)中“平面內(nèi)”“定點”“大于F1F2”“動點”等關(guān)鍵詞，貌似可有可無，但是正是這些詞匯讓橢圓的概念表達(dá)更加精確. 但是如果只是對文字進(jìn)行翻來覆去地記憶，這也無助于學(xué)生對橢圓形成深度的認(rèn)識和理解，所以學(xué)生的認(rèn)識必須要結(jié)合其他表征方式一起來進(jìn)行.

2. 符號表征

符號表征是對文字表征的一種重要彌補，符號的最大特點是簡潔性，一個簡單的例子：“=”和“等于”在作用上是等價的，顯然“=”更能讓人一目了然，尤其是在數(shù)學(xué)證明問題的處理中，涉及大量概念的引用，如果全部以文字的形式來表達(dá)，這顯然會讓整個證明過程拖沓不堪，學(xué)生看到這些，也會很快被弄暈了.

比如，上面“橢圓”的概念理解，符號語言：PF1+PF2=2a（a為常數(shù)）（2a>F1F2）. 再比如，余弦定理，文字語言：三角形的任意一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍;其符號語言：a2=b2+c2-2bccosA. 文字語言通俗、易懂，但描述起來是線性的，不易表露知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu);符號語言抽象、簡潔，每個符號都有明確的指代性，而且能夠?qū)?shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行較為集中的表示，描述起來給人以結(jié)構(gòu)感.

數(shù)學(xué)符號的引入不但起到了簡化表達(dá)的作用，筆者還認(rèn)為，這也促進(jìn)了數(shù)學(xué)文化的交流，有人將數(shù)學(xué)符號稱作“全世界通用的語言”，這是非常客觀而中肯的一段描述.

3. 圖形表征

在數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)域中，數(shù)和形是密切相連的兩個整體，在很多問題的處理過程中，人們要將數(shù)和形整合起來，一起完成對問題的表征，這就是“數(shù)形結(jié)合”的思想. 當(dāng)我們將圖形用于數(shù)學(xué)概念的表征時，是用最直觀而形象的手段來完成對概念的表示.

圖像，它最常見的一種應(yīng)用是用于函數(shù)的表征，比如，研究正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、周期性等，只要將圖像繪制出來，所有的問題都迎刃而解.?我們可以畫示意圖，并將其作為工具，引導(dǎo)學(xué)生搭建“方程的根”和“函數(shù)的交點”概念之間的關(guān)聯(lián)，以此來促成學(xué)生對概念的圖式結(jié)構(gòu). 此題如果學(xué)生不能熟練掌握或者不能靈活運用各種表征，就會產(chǎn)生思維受阻現(xiàn)象. 準(zhǔn)確理解、互化各種表征是準(zhǔn)確、迅速、合理地解決一道數(shù)學(xué)題的關(guān)鍵.

和符號相比，圖形能夠更好地將概念的空間特點刻畫出來，但是它也有著自身的局限性，比如圖像不能太簡潔、粗糙，否則就容易導(dǎo)致表征內(nèi)容的錯誤.

辨明概念之間的關(guān)系

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有明顯的體系性，組織學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時，指導(dǎo)他們區(qū)分概念之間的關(guān)聯(lián)就顯得非常重要了. 不同的概念組成了一個個集合，這些集合之間存在著相容或不相容的關(guān)系，教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生探析這些關(guān)系是我們教學(xué)的重點.

1. 相容關(guān)系

如果兩個概念之間屬于相容關(guān)系，它表明兩個概念外延所對應(yīng)集合的交集非空，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中它往往有三種體現(xiàn)：①如果兩個概念外延所對應(yīng)的集合完全一致，我們就將其稱為“同一關(guān)系”，比如函數(shù)的零點和方程的根，這兩個概念就屬于“同一關(guān)系”;②如果兩個概念外延所對應(yīng)的集合存在一部分的重疊，我們就將其稱為“交叉關(guān)系”，比如反比例函數(shù)和冪函數(shù)，這兩個概念就存在“交叉關(guān)系”;③如果某概念外延所對應(yīng)的集合正好是另外一個概念外延所對應(yīng)集合的子集，我們就認(rèn)為他們存在“從屬關(guān)系”，比如正弦函數(shù)和三角函數(shù)存在“從屬關(guān)系”.

2. 不相容關(guān)系

如果兩個概念同屬于一個概念體系，但是其外延集合的交集是一個空集，那么這兩個概念之間就屬于不相容的關(guān)系，這在數(shù)學(xué)體系中是比較常見的，而教學(xué)中我們必須要引導(dǎo)學(xué)生明確兩類不相容關(guān)系的作用：其一是反對關(guān)系，比如橢圓和雙曲線都屬于圓錐曲線的類型，但是二者之間卻沒有共同的內(nèi)容，因此屬于反對關(guān)系;其二是矛盾關(guān)系，即概念外延的并集組成了他們的屬概念，而兩者之間又是截然矛盾的，比如實數(shù)和虛數(shù)相對于復(fù)數(shù)就是矛盾關(guān)系.

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識概念時，要結(jié)合以上幾個角度來展開教學(xué)，暴露概念形成的全過程，如此能夠促進(jìn)學(xué)生對概念的認(rèn)識和理解，并抓住概念本質(zhì)，提高審題能力與解題的靈活性，有助于形成良好的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng).