劉敏

【摘要】線性代數(shù)雖然是基礎(chǔ)性課程，但因為其課程內(nèi)容、定義、定理及公式等等都過于抽象，就要求授課教師要多多采用不同的切實有效的教學(xué)方法進行課堂教學(xué).不同的思維方式的運用，在線性代數(shù)的教學(xué)中能收到不一樣的效果，尤其是逆向思維能力的運用，能使學(xué)生對線性代數(shù)知識的理解更加深刻.本文著重闡釋了逆向思維在線性代數(shù)教學(xué)中的重要性和培養(yǎng)方法.

【關(guān)鍵詞】逆向思維；線性代數(shù)；矩陣；行列式；線性方程組

思維區(qū)別于客觀物質(zhì)，形成于人腦中，可以具體反映事物的本質(zhì)和事物規(guī)律性.我們在日常的思維運用上，可以采用不同的思維技巧，其中有歸納思維、演繹思維、側(cè)向思維、求異思維（也叫發(fā)散思維）、求證思維、橫向思維、逆向思維、推理思維、交叉思維、跳躍思維、直覺思維等.而大多數(shù)的思維方式和技巧都可以運用到線性代數(shù)的學(xué)習(xí)和解題中.本文以逆向思維方式為例，談?wù)勀嫦蛩季S能力在線性代數(shù)的教學(xué)中如何應(yīng)用.

一、線性代數(shù)及逆向思維定義

線性代數(shù)主要研究行列式、矩陣、線性變換、線性方程組和二次型.線性代數(shù)作為理工科的一門基礎(chǔ)課程，日益受到重視.在當(dāng)前大學(xué)理工科類的課程中，一般大一就會開設(shè)線性代數(shù)課程，其教學(xué)中一般采用類比思維、發(fā)散性思維、任務(wù)驅(qū)動性思維、歸納性思維及逆向思維等思維方法進行教學(xué)，經(jīng)過實踐的檢驗，不同的思維方式能使學(xué)生提高不同方面的能力，同時在教學(xué)效果上也是有一定差異性的.[1]

逆向思維，簡單說，就是從事物的反面來思考問題，看看會得到什么樣的結(jié)果.經(jīng)過多年的教學(xué)實踐，證明逆向思維在線性代數(shù)的教學(xué)中的作用不可小看，其有一定的教學(xué)意義.第一，逆向思維簡單地理解，就是針對某一問題，逆向地對問題進行思考，這種獨特的思維方式是數(shù)學(xué)研究的一個重要內(nèi)容，其在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都有著不可忽視的地位和作用，是數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是高等數(shù)學(xué)教學(xué)不可缺少的教學(xué)內(nèi)容之一.第二，經(jīng)過多年的研究實踐證明，逆向思維在高等數(shù)學(xué)，尤其是線性代數(shù)的教育中，對于學(xué)生邏輯思維能力以及學(xué)生解題思路都有很大的要求，逆向思維的應(yīng)用能很好地滿足學(xué)生對于邏輯思維能力和解題思路的需求，是學(xué)生進行學(xué)習(xí)和研究不可缺少的必備能力.第三，逆向思維是要求學(xué)生在正向思維后，根據(jù)已知條件求解后，在通過得到的結(jié)論反過來，往回推演，以檢驗自己的結(jié)論是否正確.這種思維方式，在對知識的理解和掌握上更加準(zhǔn)確，基本概念更加簡練，基本理論更加系統(tǒng)，基本方法更加實用，解題的思路更加清晰.[2]

二、逆向思維在線性代數(shù)課堂教學(xué)實踐中的運用

（一）矩陣

矩陣是線性代數(shù)的重要知識點，其重要性表現(xiàn)在其貫穿整個線性代數(shù)的教學(xué)過程中，表明，矩陣是線性代數(shù)教學(xué)的重中之重.在矩陣知識點教學(xué)過程中，如果利用逆向思維教學(xué)思想，并以串珍珠項鏈的形式進行講？？.“黑白珍珠項鏈”即相關(guān)知識點：矩陣不可逆、矩陣奇異、行列式為零、矩陣不滿秩、矩陣的秩為矩陣的階數(shù)、矩陣的列向量組線性無關(guān)、矩陣的行向量組線性無關(guān)、矩陣可以表示為初等矩陣的乘積、矩陣與單位矩陣等價、齊次線性方程組只有零解、非齊次線性方程組有唯一解、矩陣的任一特征值不為零.通過珍珠項鏈的形式，把相關(guān)知識點進行串聯(lián)，把學(xué)過的知識點進行歸納，并通過舉例來論證其在矩陣教學(xué)中的位置和作用，通過這樣的教學(xué)方式，可以大大培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.

（二）向量組

向量是線性代數(shù)的一個重要內(nèi)容，向量是特殊的矩陣，既然是矩陣就有矩陣的共性，但其也有其獨特的性質(zhì)，特別是在向量組的線性相關(guān)性上，對初學(xué)者來說，是最難理解的一個知識點之一.這主要是因為其抽象概念很多，沒接觸過的初學(xué)者看這些概念如讀天書，而且，這些抽象概念間的互相關(guān)系復(fù)雜，定理也是很多，很難一下就記住理解.基于這個實際情況，在線性代數(shù)的教學(xué)中，大多數(shù)教師都通過借用逆向思維的教學(xué)方法，把向量組的相關(guān)性和無關(guān)性擺出來，對著講解，并結(jié)合前面矩陣的可逆與否知識串聯(lián)起來講，能有效提高學(xué)生對相關(guān)概念理解的精準(zhǔn)度.[3]

（三）線性方程組

線性方程組在線性代數(shù)的具體教學(xué)中，進行了相應(yīng)的系統(tǒng)化和理論化的處理，并給出了線性方程組的多種完善的理論解法，如，克萊姆法則、高斯消元法、基礎(chǔ)解系法等.在線性方程組的具體講解中借用逆向思維的數(shù)學(xué)思想，把齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系理解為系數(shù)矩陣屬于零特征值的特征向量問題，結(jié)合教學(xué)實際舉例講解，能達到方便求解的目的.

三、以實例闡釋在線性代數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力

（一）線性代數(shù)定義的可逆性，是線性代數(shù)知識的一個特點.對于初學(xué)者來說，難度都是非常的大.而在線性代數(shù)的解題中，定義法又是經(jīng)常用到的解題法之一，由于線性代數(shù)定義的抽象特點，使得很多學(xué)生不習(xí)慣、不知道，甚至不會把定義進行逆向的思考，從而造成這種有效的解題思維方法被忽視.實際上，數(shù)學(xué)中的定義很多都是可逆的，其正確的解也是唯一的，重要的是逆向運用定義，會使解題更加簡單明了.因此，在線性代數(shù)的教學(xué)中，教師要在授課過程中著重鍛煉學(xué)生的逆向思維能力，這種不僅可以使學(xué)生對概念深刻理解，還能增強學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣，從而擴展學(xué)生解題的方法，提高其解題的靈活性.例如，利用逆向伴隨矩陣的定義求代數(shù)余子式.

（二）利用定義、公理的可逆性，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.線性代數(shù)的定義非常抽象，但其可逆性也是可以運用的，而線性代數(shù)的定理、公式相對于定義，則通俗易懂、簡單明了，其可逆性也是經(jīng)常被運用，只是學(xué)生在解題習(xí)慣上習(xí)慣于正向運用定義、定理、公式.但一旦逆向運用會發(fā)現(xiàn)，解題變得輕松簡單，而且會獲得一種新的解題方式.

（三）線性代數(shù)是工程、理工科的基礎(chǔ)學(xué)科，其中有些問題本身就是反問題，在實際的課堂教學(xué)中，教師可以利用這些反問題來好好培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力.如，可逆矩陣的反問題、線性方程組的反問題、特征值特征向量的反問題等.

（四）通過反例來論證正向命題的正確性，也是培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的一個好方法.數(shù)學(xué)這門學(xué)科本身就是奧妙多多、內(nèi)涵深厚的學(xué)科，其中有的問題用不同的解法能得到意想不到的結(jié)果.而我們初高中學(xué)習(xí)的真命題、假命題的推論，就類似于逆向思維的解題方法.也就是說，把問題反過來進行思考推論，如果能推論出已知條件的存在，那么就證明解是正確的.如果要想證明這個命題是假的，只要反過來往回推論，而往回推的過程，只要能舉出一個反例就可以了，也就是說要證明一個命題是真的，需要一些證明，而如果要說明這個命題是假的，只要能舉出一個反例，就可以推翻這個命題的正確性.在線性代數(shù)的課堂教學(xué)中，教師可以通過引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造反例，來證明原命題的真?zhèn)?而這種構(gòu)造反例的論證方法就是逆向思維的運用，而且在構(gòu)造反例過程中，可以調(diào)動學(xué)生所有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗，充分利用數(shù)學(xué)思維的各種思維技巧，也能在最大限度上充分發(fā)揮逆向思維在線性代數(shù)解題上的作用.[4]endprint

（五）反證法在線性代數(shù)解題中經(jīng)常被使用，它是通過對已知條件進行某種假設(shè)，通過對這種假設(shè)的推論，得出與已知條件不符的結(jié)論，從而證明題設(shè)的對錯.而這種思維方式正是逆向思維方式的運用，通過這樣的解題過程，也能大大提高學(xué)生的逆向思維能力.數(shù)學(xué)中的反證法是逆向思維解題法中具有代表性的一種方法，通過對學(xué)生反證法論證題目的訓(xùn)練，讓學(xué)生對命題的解從未知到已知，不僅學(xué)習(xí)到了新的解題方法，而且在一定程度上學(xué)生的逆向思維能力得到了培養(yǎng)和提高.

四、在線性代數(shù)教學(xué)中逆向思維能力培養(yǎng)的意義

（一）重視和培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，可以有效幫助學(xué)生更加深刻地理解線性代數(shù)的知識，可以幫助線性代數(shù)的初學(xué)者完善相關(guān)的知識鏈接和儲備，最重要的是學(xué)生的解題靈活性和解題思路得到了拓寬.

（二）重視和培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，能在一定程度上簡化線性代數(shù)某些問題的解題難度，對線性代數(shù)的初學(xué)者來說，不至于打擊其對線性代數(shù)學(xué)習(xí)的積極性.同時，也可避免學(xué)生對線性代數(shù)學(xué)習(xí)的畏懼感，一切變得簡單了，學(xué)習(xí)興趣也上來了.

（三）重視和培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力，不僅僅能夠在學(xué)習(xí)方面幫助到學(xué)生，而且逆向思維能力對于學(xué)生的思考方式也有一定的改善，輻射到其他學(xué)科的學(xué)習(xí)上，逆向思維能力的提升和逆向思維方式的運用，也可以對其他學(xué)科的學(xué)習(xí)起到一定的提升作用.

五、結(jié)束語

線性代數(shù)是高等院校理工科的基礎(chǔ)課之一，它的重要性是不言而喻的，而學(xué)習(xí)線性代數(shù)的困難程度也是不容忽視的.線性代數(shù)課程內(nèi)容本身的抽象性，定理、公式相互關(guān)系的復(fù)雜性等都是初學(xué)者面臨的問題，如何突破這些內(nèi)容抽象難懂所帶來的困難，關(guān)鍵在于授課教師的授課方法.線性代數(shù)的教學(xué)，可以運用多種思維方式解決多種不同的問題，而逆向思維方式被認為是簡單的，并最容易接受的解題思維方式.因此，在線性代數(shù)的教學(xué)中，對學(xué)生進行逆向思維方式的培養(yǎng)，成了授課教師的一個重要教學(xué)內(nèi)容.現(xiàn)實生活中，學(xué)生在學(xué)習(xí)中，對于逆向思維的把握，對于學(xué)生的學(xué)習(xí)有很大的幫助，不僅提高了學(xué)生解題的速度，還擴展了學(xué)生的思路范圍，這種能力輻射到學(xué)生的各學(xué)科的相應(yīng)學(xué)習(xí)中，對學(xué)生的整體學(xué)習(xí)水平的提高都有一個極大的促進作用.

【參考文獻】

[1]陳平炎.線性代數(shù)課程教學(xué)改革的探索與實踐[J].高等教育，2012（5）：125-130.

[2]藍月歡.數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)思想方法的滲透[J].中山大學(xué)學(xué)報論叢，2013（8）：67-70.

[3]李永樂.線性代數(shù)輔導(dǎo)講義[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2015：166-170.

[4]任樟輝.數(shù)學(xué)思維理論[M].南寧：廣西教育出版社，2014：216-217.endprint