張本陸

【摘 要】作為一種常見的解題法，反證法在某些復(fù)雜數(shù)學(xué)問題解題中常?？梢云鸬疆孆堻c睛的作用，有利于簡化問題，提升解題的準(zhǔn)確度，尤其適用于某些證明題的求解。本文以反證法為研究對象，著重就其在初中數(shù)學(xué)問題求解中的應(yīng)用進(jìn)行了深入探討。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);解題;反證法

偉大的物理學(xué)家牛頓將反證法比作是一把精良的思維武器，充分凸顯了其重要性。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，反證法不僅可以應(yīng)用于各種證明題的求解，也有助于提升學(xué)生的邏輯思維能力。特別是在某些無法直接或根本無法正面證明某個命題的時候，可以應(yīng)用反證法來對待證命題的反面進(jìn)行證明，借此推導(dǎo)出該命題的準(zhǔn)確性與否。因此，如何引導(dǎo)學(xué)生熟練地應(yīng)用反證法來解決數(shù)學(xué)問題值得深入探討。

1.反證法在解題中應(yīng)用的基本流程

在解題中應(yīng)用反證法的時候，一般可以歸結(jié)為三個基本步驟：“反設(shè)”“歸謬”和“結(jié)論”，這三者相互聯(lián)系，共同構(gòu)成了反證法應(yīng)用的整個流程。首先，“反設(shè)”是應(yīng)用反證法解題的基礎(chǔ)，其正確性會直接影響后續(xù)解題結(jié)果準(zhǔn)確性和效率。在解題之前，需要對題設(shè)條件、結(jié)論等相關(guān)信息進(jìn)行仔細(xì)調(diào)查和了解，確保可以全面地找出與結(jié)論相反的假設(shè)，最后再肯定或否定結(jié)論，這個過程就是“反設(shè)”環(huán)節(jié)。其次，“歸謬”是應(yīng)用反證法解題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，也是最難的一個環(huán)節(jié)?！皻w謬”顧名思義就是借助反設(shè)來制造沖突或矛盾，是應(yīng)用反證法的一個核心要素，這個過程中需要明確反設(shè)后條件部分和結(jié)論方面的推導(dǎo)方向。最后，“結(jié)論”是得出反證法應(yīng)用結(jié)果的最終環(huán)節(jié)，其所得到的沖突或矛盾并非全新的理論，而是只有反設(shè)條件成立，相應(yīng)命題結(jié)論方可成立的結(jié)論。如此一來，就借助反證法完成了證明?？v觀反證法在解題中應(yīng)用的三個環(huán)節(jié)，可知導(dǎo)出假設(shè)和結(jié)論之間的矛盾才是應(yīng)用反證法的關(guān)鍵，常見的矛盾形式主要包括自相矛盾，或者與定理、定律、已知條件或假設(shè)條件矛盾等。此外，在解題中應(yīng)用反證法的時候，需要注意如下要點：其一，要正確否定結(jié)論，這是正確應(yīng)用反證法來解題的基礎(chǔ)和前提。比如，“最多有一個”代指“只有一個”或“沒有一個”，其反面的結(jié)論則是指“至少有兩個”，“大于”反面結(jié)論則是“不大于”等等。其二，要明確反證法推理的特征，具體就是對結(jié)論進(jìn)行否定后并推導(dǎo)出存在矛盾。雖然矛盾是否存在具有不確定性，但是卻可以結(jié)合相應(yīng)證明題類型來進(jìn)行預(yù)先判定推到方向。比如，對于平面幾何問題，一般考慮其是否滿足相應(yīng)的定理或公理等。

2.反證法在解題中應(yīng)用的案例分析

反證法在解題中的應(yīng)用，主要范圍為各類證明題的正面，常見的主要包括如下幾類：

（1）在證明初始命題或基本定理中的應(yīng)用。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，許多數(shù)學(xué)初始命題或基本定理都是借助反證法來進(jìn)行證明的。比如，平面平行的判定定理、“過平面外一點只有平面的一條垂線”等。

例1：已知某△ABC的∠C=90°，∠A、∠B和∠C三個角所對應(yīng)的邊長依次為a、b和c，試證明c■=a■+b■。

解析：該道題本質(zhì)上就是一道直角三角形勾股弦定理的證明題，這時候無法直接從正面進(jìn)行證明，所以可以轉(zhuǎn)換思路，從側(cè)面應(yīng)用反證法來進(jìn)行證明。

證明：假定c■≠a■+b■，那么由a■+b■>0，可以假定a■+b■=c'■，并且可得：c'>a>0，c'>b>0，且（a+b）■=a■+b■+2ab=c'■+2ab>c'■，從而可得：a+b>c'，這同假定的條件相互矛盾，所以可知假定的條件不成立，即：c■=a■+b■。

（2）在存在性問題證明中的應(yīng)用。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，“存在性”證明問題也比較常見，這類數(shù)學(xué)問題也非常適宜采用反證法來進(jìn)行解決。

例2：已知某三角形ABC的三邊滿足b=（a+b）/2，試證：該三角形中至少有兩個角不超過60°。

解析：該道題是一道典型的證明題，且由于沒有給出具體的三角形邊長數(shù)值，均以參數(shù)進(jìn)行表示，所以無法通過直接計算來證明，這時候可以采用反證法來進(jìn)行反證。

證明：假定該三角形ABC中至少有兩個角大于60°。由于根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，所以可知三角形中最多有兩個角超過60°，這時候結(jié)合假定條件，可知所假設(shè)條件等價于“三角形中有且僅有兩個角大于60°”這個命題，這時候假定∠A和∠C兩個角>60°。那么可知：cosA<■，cosC<■，之后由余弦定理公式可得：c■=a■+b■-2abcosC=a■+b■-ab，再聯(lián)合a■=b■+c■-abccosA>b■+c■-bc，可得：2b■<ba+bc，即：b<（a+c）/2，這同題目中所給定的已知條件矛盾，所以所提假設(shè)不成立，這樣就可以證明該三角形中至少有兩個角不超過60°。

（3）在無限性問題證明中的應(yīng)用。在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，“無限性”證明問題也比較常見，即涉及到“無限”或“無窮”等概念的數(shù)學(xué)題，這類數(shù)學(xué)問題無法直接從正面入手進(jìn)行解決，但是非常適宜采用反證法來進(jìn)行解決。

例3：求證：■是無理數(shù)。

解析：該道題干信息非常簡短，但是卻無法直接從正面來進(jìn)行證明，這時候就可以應(yīng)用反證法來進(jìn)行求解。先假定■不是無理數(shù)，也就是說■是有理數(shù)，這時候就可以將其表示成兩個整數(shù)之比，假定■=■，p≠0，且其中q和p互素，那么可得■p=q，即2p■=q■。如果為q■偶數(shù)，那么q也勢必會為偶數(shù)，這時候可以假定q=2k，將其代入上式后可得：2p■=4k■即p■=2k■，這時候再假定p也為偶數(shù)。由于p和q均為偶數(shù)，且公約數(shù)為2，這同前面假設(shè)中p和q互素相矛盾，所以假設(shè)不成立，即■不是有理數(shù)，而應(yīng)該是無理數(shù)。

總之，反證法是一種重要的解題法，其在某些初中數(shù)學(xué)證明題中有廣泛應(yīng)用空間，同時也可以發(fā)展學(xué)生的邏輯思維，提升學(xué)生解題能力。本文主要對常見的三類證明題中反證法的應(yīng)用進(jìn)行了論述，但是其在其他類證明題中也可以進(jìn)行應(yīng)用，具體需要結(jié)合實際的解題需求，靈活應(yīng)用反證法來進(jìn)行解題。