摘 要：主題教學(xué)設(shè)計(jì)是以主題為中軸，圍繞教學(xué)主題而展開的，其以教學(xué)主題為樞紐，在系統(tǒng)內(nèi)諸要素之間彼此聯(lián)系、相互作用與協(xié)調(diào)運(yùn)行中，驅(qū)動師生“雙適應(yīng)雙發(fā)展”。文章以《多變量最值問題》為例，分享了高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)主線教學(xué)設(shè)計(jì)的相關(guān)教學(xué)案例，探討高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)主線教學(xué)設(shè)計(jì)的相關(guān)策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念；數(shù)學(xué)思想；教學(xué)感悟

作者簡介：李剛，江蘇省木瀆高級中學(xué)教師。（江蘇 蘇州 215100）

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-0568（2018）31-0097-02

高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)不應(yīng)該只是對已掌握知識的再回顧，更應(yīng)該關(guān)注學(xué)生對知識系統(tǒng)的再建構(gòu)、再補(bǔ)充完善。而主題教學(xué)設(shè)計(jì)就是倡導(dǎo)將教學(xué)內(nèi)容置于整體中去把控，關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)以及蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想方法。

一、高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)主線教學(xué)設(shè)計(jì)的策略研究

專題復(fù)習(xí)主線教學(xué)設(shè)計(jì)是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容以及教師對于內(nèi)容之間的聯(lián)系進(jìn)行的創(chuàng)造性思考和整合，在復(fù)習(xí)過程中，尤其是在經(jīng)過一輪復(fù)習(xí)后的專題復(fù)習(xí)中，針對多個(gè)知識點(diǎn)或者跨章節(jié)中相關(guān)聯(lián)的一些問題，可以組織專題復(fù)習(xí)主線教學(xué)，即通過設(shè)計(jì)把相關(guān)的知識系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化，通過知識、技能、思想等層面對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行一次系統(tǒng)、全面的回顧與梳理，進(jìn)而讓學(xué)生完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)解題思想方法的形成，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)。

1. 以重要的數(shù)學(xué)概念或核心數(shù)學(xué)知識為主線設(shè)計(jì)教學(xué)。江蘇高考數(shù)學(xué)科目考試說明共有118個(gè)考點(diǎn)，這些知識點(diǎn)在教材中有些是在章節(jié)中呈現(xiàn)，有些是跨章節(jié)呈現(xiàn)，如函數(shù)的基本性質(zhì)、基本初等函數(shù)、數(shù)列、不等式、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用作為獨(dú)立的板塊單獨(dú)成章，但又緊密聯(lián)系，呈現(xiàn)出一種遞進(jìn)，螺旋上升的關(guān)系。因此，在高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)中，可以以重要的數(shù)學(xué)概念或核心數(shù)學(xué)知識為主線設(shè)計(jì)教學(xué)，形成專題。例如，以高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中的單調(diào)性為例，可以設(shè)計(jì)多元問題的最值問題、數(shù)列中的最值（范圍）問題，函數(shù)的零點(diǎn)問題等。

2. 以數(shù)學(xué)思想方法為主線設(shè)計(jì)教學(xué)。教材中有很多體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的內(nèi)容章節(jié)，如果可以以數(shù)形結(jié)合思想方法來組織設(shè)計(jì)主題教學(xué)，則可以將高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中的集合、基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)、解析幾何等內(nèi)容整合在一起構(gòu)成數(shù)形結(jié)合思想方法的主題，這樣不僅可以在高三復(fù)習(xí)中完善自己的認(rèn)知體系，也可以體驗(yàn)由形到數(shù)，再由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化過程，把握數(shù)形結(jié)合的雙向性，增強(qiáng)思維的轉(zhuǎn)化能力和數(shù)學(xué)問題的表征能力。

3. 以數(shù)學(xué)解題方法為主線設(shè)計(jì)教學(xué)。在教學(xué)中，教師能站在一個(gè)高度，以數(shù)學(xué)解題方法為主線引導(dǎo)學(xué)生對所學(xué)方法進(jìn)行歸類整理，學(xué)生應(yīng)該會對解題方法有更深刻的領(lǐng)悟，將解題方法熟練應(yīng)用到原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，進(jìn)而提升解題意識和能力。例如，換元法在高中數(shù)學(xué)知識中有著非常廣泛的運(yùn)用，尤其在處理復(fù)雜式子時(shí)優(yōu)點(diǎn)非常明顯，但是這一方法僅僅通過一道題或者一個(gè)知識點(diǎn)很難讓學(xué)生完全掌握。因此，教師可以結(jié)合換元法在不同情境中的運(yùn)用進(jìn)行整合，以此為主線設(shè)計(jì)教學(xué)，進(jìn)行螺旋式的訓(xùn)練。

二、高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)主線教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)案例

在高三數(shù)學(xué)測試題中，經(jīng)常會涉及多變量最值問題，此類問題涉及數(shù)學(xué)知識豐富，橫跨很多章節(jié)，解題方法多樣，因此，筆者以多變量最值問題為主線設(shè)計(jì)專題教學(xué)。

引例：已知x+y=1，求x2+y2的最小值。

對于高三學(xué)生來說，這是一道基本題，處理方法常涉及以下五種：

法1：將x+y=1變形為y=1-x，代入x2+y2可得2x2-2x+1，從而將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最小值。

法2：利用不等式（ ）2≤ 可直接求得最小值。

法3：注意到在平面直角坐標(biāo)系中x+y=1表示直線，x2+y2的幾何意義是直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，從而轉(zhuǎn)化為求原點(diǎn)到直線的距離。

法4：借助于法2的思想，設(shè)x2+y2= t（t>0），從而轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)，利用幾何法或代數(shù)法均可求得最小值。

法5：設(shè)x2+y2= t（t>0），則x= cos？茲，y= sin？茲，代入x+y=1，利用三角函數(shù)有界性可求得最小值。

上述引例從題目到解法都是相當(dāng)基礎(chǔ)的，但是在基礎(chǔ)之中又蘊(yùn)含了豐富的內(nèi)容，這個(gè)問題可以看成是一個(gè)純粹的代數(shù)問題，選擇代入消元或者不等式即可；或者選擇三角換元，利用三角函數(shù)知識解題。同時(shí)，這個(gè)問題也可以是解析幾何問題，轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題，考查到了代數(shù)式的幾何意義，應(yīng)該說建立了代數(shù)和幾何的有機(jī)聯(lián)系。因此，可以以此為拓展點(diǎn)，進(jìn)行后面的變式主題教學(xué)。

變式1 已知x2+y2=1，求x+y的最小值。

法1：設(shè)x=cos？茲，y=sin？茲，則x+y=cos？茲+sin？茲= sin（？茲+ ），利用三角函數(shù)有界性即可求得結(jié)果。

法2：令x+y= t，轉(zhuǎn)化為直線與圓有公共點(diǎn)，從而可以利用方程思想或者幾何法求得結(jié)果。

法3：利用不等式（ ）2≤ 可直接求得最小值。

變式2 已知x2+y2=1，求2x+y的最小值。

變式1的法1和法2可用，法3不可直接用，但可以通過構(gòu)造后用。

法3：（2x+y）2=4x2+y2+4xy=4x2+y2+2x（2y）≤4x2+y2+x2+4y2=5（x2+y2）=5，由此，可求得最小值。

變式3 已知4x2+y2+xy=1，求2x+y的最小值。

在條件中增加了xy后，法1、法2和法3都可以運(yùn)用，另外還可以增加法4。

法4：設(shè)2x+y= S，則S2=（2x+y）2=4x2+4xy+y2+？姿（4x2+4xy+y2-1）=（4+4？姿）x2+（4+？姿）xy+（1-？姿）y2-？姿. 由△=（4+？姿）2-4（4+4？姿）（1+？姿）= 0，解得？姿=- 或？姿=0（舍去）。

當(dāng)？姿=- 時(shí)，S2=- x2+ xy- y2+ =- （2x-y）2+ ≤ ，從而Smin= .

綜上所述，在處理多元最值問題時(shí)，我們通常會由消元法轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，利用方程的思想轉(zhuǎn)化為方程有解問題，配湊基本不等式，通過常值代換構(gòu)造齊次式以及高等數(shù)學(xué)中的拉格朗日乘數(shù)法求最值。通過對引例及其變式的分析與解法探究，學(xué)生對于多元最值問題的題型應(yīng)該會有更高的認(rèn)知，在解題的方法上應(yīng)該也會有深刻的感悟，相信今后能夠正確、優(yōu)選相關(guān)方法解決相關(guān)問題。

三、高三數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)主線教學(xué)設(shè)計(jì)的教學(xué)感悟

高三復(fù)習(xí)不僅要關(guān)注知識網(wǎng)絡(luò)的建構(gòu)，更要關(guān)注基本方法的建構(gòu)和數(shù)學(xué)思想的滲透。高三數(shù)學(xué)專題主線教學(xué)設(shè)計(jì)不是相關(guān)知識題目的隨意組合，而是貫穿了數(shù)學(xué)知識、解題技巧及思想方法，是一個(gè)完整的系統(tǒng)。通過主題教學(xué)，讓學(xué)生把握知識的本質(zhì)、掌握解題的方法、感悟數(shù)學(xué)思想。在上述案例中，通過引例及變式，圍繞知識、方法、思想等主線展開，題目選擇一方面凸顯其整體性和統(tǒng)領(lǐng)性，突出其對重點(diǎn)知識和能力的要求，另一方面通過變式呈現(xiàn)出一定的層次性，由易到難、由基礎(chǔ)到綜合，通過挖掘知識與方法間的內(nèi)在聯(lián)系，歸納、整理、升華，形成知識網(wǎng)絡(luò)，真正實(shí)現(xiàn)“解一題、通一類、會一片”。對于多元最值問題的解題，可以運(yùn)用函數(shù)與方程基本思想、化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，采用消元法（減法）、換元法（三角換元、整體換元）等基本方法，也可以采用配湊法（配湊基本不等式）、待定系數(shù)法、常值代換。

總之，在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中，教師要認(rèn)真研讀教材、研究考綱，從知識、技能、思想等方面設(shè)計(jì)教學(xué)，讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過程中深刻理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，掌握核心解題技能和數(shù)學(xué)思想方法，真正實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效，培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目的。

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責(zé)任編輯 黃 晶