王興凱

[摘 要] 通過函數(shù)圖像上點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)中一個(gè)變化而另一個(gè)不變化來實(shí)現(xiàn)圖像間的轉(zhuǎn)換；把與函數(shù)有關(guān)的問題在學(xué)生的認(rèn)知水平和“最近發(fā)展區(qū)”上進(jìn)行適度拓展，以滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)和成長(zhǎng)需求，不斷提升其思維品質(zhì)與數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 函數(shù)；圖像變換；數(shù)學(xué)思想；解法探索

試題呈現(xiàn)

（2016年南京市中考數(shù)學(xué)第27題）如圖1，把函數(shù)y=x的圖像上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，橫坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=2x的圖像；也可以把函數(shù)y=x的圖像上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=2x的圖像. 類似地，我們可以認(rèn)識(shí)其他函數(shù).

啟示與思考

回首整個(gè)探究過程，發(fā)現(xiàn)每一個(gè)同名函數(shù)之間看似并不相干，其實(shí)完全可以通過探究它們彼此之間的系數(shù)關(guān)系，運(yùn)用坐標(biāo)變化實(shí)現(xiàn)其圖像間的互相轉(zhuǎn)換. 看似一道普通的試題，通過不斷地思考，其內(nèi)涵竟是如此的豐富多彩，可挖掘、探究之處甚多，將初中階段所涉及的一次函數(shù)、反比例函數(shù)和二次函數(shù)等知識(shí)內(nèi)容串聯(lián)在了一起. 由此對(duì)我們的數(shù)學(xué)教學(xué)引出深層的思考和啟示.

1. 重視審題能力的訓(xùn)練與培養(yǎng)

本題屬于一道“即時(shí)學(xué)習(xí)”型試題，要求學(xué)生在考試中即學(xué)即用，旨在考查學(xué)生的審題能力和即時(shí)學(xué)習(xí)能力以及分析問題和解決問題的能力. 試題立足于初中數(shù)學(xué)的核心知識(shí)之一——函數(shù)及其圖像與性質(zhì)，通過一道題打通三年函數(shù)的學(xué)習(xí)，將一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)有機(jī)結(jié)合起來. 按照學(xué)生學(xué)習(xí)這幾種函數(shù)知識(shí)的先后順序并結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)，首先給出一個(gè)正比例函數(shù)圖像變化到另一個(gè)正比例函數(shù)圖像的具體方法，然后讓學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用. 其中第（1）問可以直接應(yīng)用到反比例函數(shù)圖像的變化上，讓學(xué)生通過理解新知解決問題；第（2）問則需結(jié)合曾經(jīng)學(xué)過的二次函數(shù)圖像的平移規(guī)律，而將新知進(jìn)一步升華，以讓學(xué)生初步感知：在研究和解決有關(guān)函數(shù)圖像的問題時(shí)，通過平移和圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)的變化來實(shí)現(xiàn)函數(shù)圖像的變換；第（3）問可謂畫龍點(diǎn)睛之筆，只有學(xué)生對(duì)新知理解透徹才能解決. 這就要求教師在平時(shí)教學(xué)中要加強(qiáng)學(xué)生審題能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)對(duì)函數(shù)變化中最本質(zhì)要素的理解與思考，關(guān)注每一類函數(shù)之間最為本質(zhì)和必然的聯(lián)系. 要引導(dǎo)學(xué)生在日常數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中不斷積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，注重探索每一種同名函數(shù)之間的轉(zhuǎn)換規(guī)律以及解決此類問題的基本思路，點(diǎn)坐標(biāo)的變化可以引起函數(shù)圖像開口大小、圖像位置以及其他要素的變化；學(xué)生在活動(dòng)中要多體會(huì)、感悟和總結(jié)，多用數(shù)學(xué)的眼光觀察，用數(shù)學(xué)的思維分析，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá). 教師還要注重解題過程的規(guī)范化訓(xùn)練和指導(dǎo)，幫助學(xué)生不斷學(xué)會(huì)有條理地思考和表達(dá).

審題是解決數(shù)學(xué)問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，要求學(xué)生字斟句酌，細(xì)讀精研，文圖結(jié)合. 這一點(diǎn)誠(chéng)然很重要，但筆者認(rèn)為這只是某種意義上局部的小審題，更多時(shí)候要求學(xué)生跳出局部的小題，縱觀全題，總攬全局，努力揣摩命題意圖，尋找解題思維上的相似性和延續(xù)性，體會(huì)整體把控與感知小題之間的聯(lián)系和拓展，往往就會(huì)有“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的感覺.

2. 重視思想方法的滲透與應(yīng)用

如果把具體的數(shù)學(xué)知識(shí)比作一座大廈，那么數(shù)學(xué)思想方法無疑就是大廈的基石、承重墻和框架. 一道試題猶如一篇美文，總會(huì)有一個(gè)升華的主題思想，只有對(duì)試題有足夠的理解和把握才能挖掘出這一思想和方法，這一點(diǎn)在平時(shí)的課堂訓(xùn)練中需要多加關(guān)注. 如本題和后續(xù)問題再探中多次運(yùn)用到數(shù)形結(jié)合的思想、類比和轉(zhuǎn)化的思想，這就需要在平時(shí)的教學(xué)中講解透徹. 本題多次運(yùn)用橫、縱坐標(biāo)中某一個(gè)量變化，另一個(gè)不變化來實(shí)現(xiàn)圖像位置和形狀的改變，從而達(dá)到圖像間的轉(zhuǎn)換，這是多題一解的求同思維；而題首材料再析、原題的3個(gè)問題、問題再探中問題1和問題3還可進(jìn)行一題多解的求異思維訓(xùn)練. 當(dāng)下，學(xué)生普遍擅長(zhǎng)求同思維而忽視求異思維，所以在教學(xué)中要加強(qiáng)求異思維的訓(xùn)練，同時(shí)我們更應(yīng)注重相關(guān)數(shù)學(xué)思想方法的滲透與培養(yǎng).

3. 重視數(shù)學(xué)知識(shí)的遷移與拓展

進(jìn)行函數(shù)問題的研究時(shí)，在具體數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的教學(xué)上，既要重視教材又不拘泥于教材，在教材現(xiàn)有知識(shí)呈現(xiàn)的基礎(chǔ)上，還要將函數(shù)問題中表達(dá)式、圖像與性質(zhì)以及圖形變換的相關(guān)規(guī)律相互滲透、有機(jī)整合和適度拓展. 要從學(xué)生的實(shí)際需要出發(fā)，使學(xué)習(xí)內(nèi)容在更為現(xiàn)實(shí)和廣闊的背景上獲得充實(shí)、深化和提升，要在深度和廣度上培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)、探究激情和思維品質(zhì)，更好地掌握和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)之間的本質(zhì)規(guī)律和內(nèi)在聯(lián)系以及解決問題的經(jīng)驗(yàn)和方法，以便極大地滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)需要和成長(zhǎng)需求.

此外，教師還應(yīng)有針對(duì)性地選擇典型問題，有效引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行變式探究與挖掘推廣，這樣不僅有助于學(xué)生系統(tǒng)靈活地掌握課本提供的函數(shù)知識(shí)，還有助于提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究動(dòng)力，也有助于培植學(xué)生思維的發(fā)散性、靈活性、敏捷性和廣闊性. 同時(shí)教師還要對(duì)典型習(xí)題進(jìn)行多方位、多角度的演變、拓展、延伸和遷移，幫助學(xué)生跳出題海，觸類旁通，使學(xué)生達(dá)到解一題、會(huì)一類、通一片、得一法，進(jìn)而真正提升學(xué)生的問題意識(shí)、思維品質(zhì)、解題技能和核心素養(yǎng).