李云萍 毛紅龍

[摘 要] 數(shù)學(xué)拓展課在滿足學(xué)生差異化和個性化發(fā)展方面能夠起到重要作用。教師要注重學(xué)生動手操作，發(fā)展學(xué)生興趣特長，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，幫助學(xué)生全面發(fā)展。通過課程內(nèi)容所承載的文化內(nèi)涵、生活底蘊(yùn)和意義空間來延伸、拓展和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；拓展課；立意分析

浙江省教育廳在《關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見》中指出：把義務(wù)教育課程分成基礎(chǔ)性課程和拓展性課程，要求學(xué)校改變育人模式，推進(jìn)因材施教，開發(fā)課程資源，幫助每一位學(xué)生全面而有個性的發(fā)展.初中數(shù)學(xué)拓展課程是指以初中課程知識為主要載體，通過課程內(nèi)容所承載的文化內(nèi)涵、生活底蘊(yùn)和意義空間來延伸、拓展和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng).至此，深化義務(wù)教育課程改革，全面開設(shè)數(shù)學(xué)拓展性課程在各地市相繼拉開序幕。

本課例是浙教版數(shù)學(xué)八上第二章特殊三角形2.4《等腰三角形的判定定理》一課中基于[探究活動]內(nèi)容的一個拓展課例，遵循從教材出發(fā)開設(shè)拓展課程的原則，設(shè)計(jì)學(xué)生動手實(shí)踐，通過畫一畫，量一量，歸納猜想，討論研究，探索發(fā)現(xiàn)分割條件、分割方法、分割依據(jù)以及其他分割知識的延伸.循序漸進(jìn)，由淺入深，探究將一個三角形分割成兩個等腰三角形所涉及的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.學(xué)生在“做中學(xué)”，在“學(xué)中悟”，鞏固新知，開闊思路，進(jìn)而達(dá)到提高學(xué)生邏輯分析能力、實(shí)踐活動能力及發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

一、《探索三角形被分割成兩個等腰三角形的條件》教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.培養(yǎng)學(xué)生動手實(shí)踐能力、積極主動的探究意識和創(chuàng)新發(fā)現(xiàn)能力；

2.學(xué)生在動手實(shí)踐中學(xué)會團(tuán)結(jié)協(xié)作，體驗(yàn)成功喜悅，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；

3.學(xué)生在活動中鞏固等腰三角形性質(zhì)和判定知識，掌握數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正達(dá)到“學(xué)會學(xué)習(xí)”的目的。

（二）教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：探索能被分割成兩個等腰三角形的三角形所具備的條件，并滲透分類討論、轉(zhuǎn)化、類比、方程、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想。

難點(diǎn)：總結(jié)歸納得出結(jié)論及其結(jié)論的附加條件。

（三）教學(xué)過程

環(huán)節(jié)一、嘗試分割，體驗(yàn)成功

問題1：如圖1所示，在ΔABC中，已知[∠]A=50°，

當(dāng)[∠]B=______°時，ΔABC是等腰三角形

由此，你可以概括等腰三角形成立的條件：____________；通過解題，你還得出討論等腰三角形問題運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想有：_______________。

設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)等腰三角形的判定定理，并滲透分類討論思想，為分割等腰三角形作知識儲備。

問題2：如圖1中，[∠]A=50°，[∠]B=70°，嘗試過三角形的一個頂點(diǎn)將△ABC分割出一個等腰三角形，試畫出分割線并標(biāo)注角度。

學(xué)生通過畫一畫，分一分，得出以下五種裁剪方案：

設(shè)計(jì)意圖：通過簡單的等腰三角形分割，讓學(xué)生初步體驗(yàn)只分割出一個等腰三角形的方法：只需滿足有兩個角相等的三角形便是等腰三角形并再次感受分類討論思想的運(yùn)用。

環(huán)節(jié)二、巧設(shè)梯度，適時提升

環(huán)節(jié)1中的兩個問題，學(xué)生輕松攻克，有助于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性，適時增加問題的難度，有利于激發(fā)學(xué)習(xí)斗志和啟迪學(xué)生思維，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和核心素養(yǎng)為此，教師引入浙教版八上教材第63頁中的探究活動。

問題3：如圖3，有甲，乙兩個三角形 甲三角形的內(nèi)角分別為10°，20°，150°；乙三角形的內(nèi)角分別為80°，25°，75°你能把每一個三角形分割成兩個等腰三角形嗎？量一量，畫一畫，并標(biāo)出各角的度數(shù)。

（1）故設(shè)疑點(diǎn)：

學(xué)生在經(jīng)歷了問題2的解決后，開始動手分割，主要呈現(xiàn)了以下幾種分割方法：

教師展示以上幾種分割圖，讓學(xué)生評判是否符合要求，有學(xué)生就發(fā)現(xiàn)這些分割方法只有一個等腰三角形，不符合要求。由此，教師提醒：“要有大局觀，不能只看局部，題意要求裁剪兩個等腰三角形噢！”有些同學(xué)恍然大悟，知道自己裁剪方法不對，重新再分。

（2）正確解答：見圖5。

（3）趁熱打鐵：

如圖6，能對每一個三角形分割成兩個等腰三角形嗎？試一試！

話音剛落，學(xué)生就躍躍欲試，小組交流討論。此時，教室里已經(jīng)沸騰了，有激勵的爭論聲，也有成功的笑聲。最后，由小組代表上臺展示如圖7的分割方法：

設(shè)計(jì)意圖：思維從動作開始，人的手腦有著千絲萬縷的關(guān)系，學(xué)生都富有好奇心，只要為他們提供合適的素材，他們一定會樂意去參與、去探索、去思考，如果只有看而沒有做，就沒有讓學(xué)生自主探索，發(fā)展思維了，這就不利于數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)實(shí)踐活動拓展課旨在讓學(xué)生自己動手操作，促使他們手腦并用，在“做中學(xué)、學(xué)中悟”。

環(huán)節(jié)三、深挖細(xì)究，追根溯源

教師提問：是否所有三角形都能分成兩個等腰三角形呢？如果不是，這樣的三角形需具備什么條件？

問題4：如圖8所示，設(shè)△ABC的兩個內(nèi)角的度數(shù)分別為x°、y°，當(dāng)△ABC能分割成兩個等腰三角形時，x、y之間需滿足什么條件？

一石激起千層浪，教師拋出這個問題，引起學(xué)生激烈爭論古人云：“不憤不啟，不悱不發(fā)”當(dāng)學(xué)生遇到困惑，或有強(qiáng)烈解決問題的意向時，作為教學(xué)的引導(dǎo)者，教師就應(yīng)適時給予提示、引導(dǎo)，幫助學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)。學(xué)生經(jīng)過操作，推理，作如圖9分割，若∠ABD=x°，則ΔABD為等腰三角形；要使ΔBCD為等腰三角形，則分三種情況討論：

（1）∠DBC=∠BDC，則y-x=2x，得y=3x即3倍角關(guān)系

（2）∠DBC=∠DCB，則180-x-y=y-x，得y=90即三角形是直角三角形

（3）∠BDC=∠DCB，則180-x-y=2x， ∠C=2∠A即2倍角關(guān)系

綜上所述，滿足分割條件的三角形需滿足的內(nèi)角關(guān)系及其對應(yīng)分割方法歸納如下：

①結(jié)論1：如圖10-1所示，三角形兩內(nèi)角度數(shù)成2倍關(guān)系，分法：分第三角為其中一角等于一倍角

②結(jié)論2：如圖10-2所示，三角形兩內(nèi)角度數(shù)成3倍關(guān)系，分法：分三倍角成一倍角和二倍角

③結(jié)論3：如圖10-3所示，三角形是直角三角形時，分法：分直角等于其中一個銳角（或沿斜邊中線所在直線分割）

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)是一門專門研究數(shù)學(xué)本身內(nèi)部規(guī)律的學(xué)科，所以，我們研究數(shù)學(xué)不能停留在認(rèn)知的表象上，更應(yīng)研究其本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)部規(guī)律同時，數(shù)學(xué)實(shí)踐拓展課不僅需要學(xué)生動手操作，更需要學(xué)生通過運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識，建立數(shù)學(xué)模型（方程、不等式、函數(shù)等），由數(shù)學(xué)運(yùn)算或邏輯推理得出相應(yīng)結(jié)論，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，獲得系統(tǒng)、完整的知識結(jié)構(gòu)。

環(huán)節(jié)四、大膽質(zhì)疑，小心求證

問題5：在△ABC中，若∠A=36°，∠B=96°，∠C=48°，過三角形頂點(diǎn)能分割成兩個等腰三角形嗎？

思路分析：發(fā)現(xiàn)三角形的∠B與∠C度數(shù)成2倍關(guān)系，根據(jù)前面總結(jié)的規(guī)律，分割線應(yīng)該經(jīng)過第三個角∠A的頂點(diǎn)，但實(shí)際上，該三角形卻又無法分割成兩個等腰三角形，原因何在呢？

根據(jù)圖11可知：△ABC中，若∠A=x，∠C=2x，∠ABC=180-3x，若要能分割出兩個等腰三角形，則必須滿足∠ABC>∠ABD，即180-3x>x，解得x<45°，180-3x>45°由此可知第三個角∠ABC必須大于45°才能完成分割，而問題5的∠A=36°卻小于45°，不滿足條件，故不能分割.為此，結(jié)論1要成立需添加條件：第三個角大于45°。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)是非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，知識嚴(yán)謹(jǐn)，解題嚴(yán)謹(jǐn)。環(huán)節(jié)三總結(jié)的規(guī)律是否天衣無縫，毫無紕漏呢？以一個具體的實(shí)例論證，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生感受“眼見不一定為實(shí)”，結(jié)論值得懷疑，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性，激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究思考的欲望和積極性。

環(huán)節(jié)五、總結(jié)歸納，提煉結(jié)論

通過上述幾個環(huán)節(jié)的討論探究得出能被分割成兩個等腰三角形的三角形應(yīng)具備的條件及分割方法如下：

設(shè)計(jì)意圖：從結(jié)論的探索到結(jié)論的提煉是數(shù)學(xué)思維的完善過程，也是知識結(jié)構(gòu)和知識系統(tǒng)的完善過程。讓學(xué)生深刻認(rèn)識到數(shù)學(xué)問題的解決，僅僅是解決了一半，更重要的是解題后的回顧與反思。

環(huán)節(jié)六、課堂小結(jié)，分享收獲

設(shè)計(jì)意圖：本課通過教材中的一個[探究活動]內(nèi)容，開設(shè)拓展性課程，源于教材，高于教材，又活于教材，學(xué)生容易接受，積極性高，拓寬了學(xué)生眼界，又深化了教材知識，既發(fā)展了學(xué)生思維，又培養(yǎng)了核心素養(yǎng)。

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

（一）立足教材，生發(fā)問題

教材是學(xué)生學(xué)習(xí)知識的重要載體，也是教學(xué)要求、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)理念的集中體現(xiàn)，是課程資源的重要組成部分，倘若拋開教材設(shè)計(jì)課程，那么課程將成為“無米之炊”。因此，立足教材，生發(fā)問題是拓展性課程的重要依據(jù)所在.教師要能從整體上認(rèn)識教材，研究教材，并用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析教材，通過反復(fù)閱讀教材并查閱有關(guān)資料，了解每個專題的編排意圖、主要特點(diǎn)以及其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識，從探究性、文化性、趣味性、應(yīng)用性等方面入手，基于教材又超越教材，從多元的角度及觀念中去思變，將教材重新激活、拓展、超越、再創(chuàng)造，以生成豐富、多元的課程內(nèi)容，為每個學(xué)生提供充分表達(dá)自己的感受與展示才能的機(jī)會。

（二）實(shí)踐操作，發(fā)展思維

蘇霍姆林斯基說過：“手和腦之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，手使腦得到發(fā)展，使它更加明智；腦使手得到發(fā)展，使它變成思維的工具和鏡子?！笔峙c腦的這種聯(lián)系，就告訴我們在學(xué)生拓展課中利用實(shí)踐操作這一特點(diǎn)，以“動”促“思”，以“思”引“動”，將操作與思維活動聯(lián)系起來，表面上是在玩操作，其實(shí)玩的是數(shù)學(xué)計(jì)算與嚴(yán)密推理等，通過實(shí)踐操作形式最終提升學(xué)生的思維。例如本課例通過學(xué)生動手實(shí)踐，想一想，畫一畫，分一分，算一算，從簡單到復(fù)雜，從淺顯到深入，從特殊到一般，從表象到實(shí)質(zhì)，逐步將學(xué)生的思維活動推向高潮。這樣，讓學(xué)生在操作中發(fā)現(xiàn)、思索、領(lǐng)悟、概括，促使學(xué)生參與學(xué)習(xí)，既提高學(xué)生的參與熱情，又促進(jìn)了思維的發(fā)展。

（三）思想方法，滲透無形

數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)也為概括和提煉數(shù)學(xué)思想方法提供了極好的機(jī)會，學(xué)會數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)教育的重要內(nèi)涵之一。數(shù)學(xué)思想方法也是數(shù)學(xué)課堂的靈魂，學(xué)生在活動中通過重復(fù)操作積累經(jīng)驗(yàn)，獲得方法。離開數(shù)學(xué)活動過程，思想方法教學(xué)就無從談起。只有組織學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動過程，通過對數(shù)學(xué)概念的抽象、概括，通過對解題思路的分析、歸納，才能使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)知識得以產(chǎn)生的基礎(chǔ)，以及獲得這一知識的程度與技巧，逐步領(lǐng)悟并最終形成數(shù)學(xué)思想方法。本課例旨在通過實(shí)踐操作，引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型，完善思維認(rèn)知，滲透分類、轉(zhuǎn)化、類比、方程、特殊到一般等數(shù)學(xué)思想。

（四）學(xué)生主體，唱響主角

數(shù)學(xué)拓展課教學(xué)，更關(guān)注轉(zhuǎn)變教師角色，突出學(xué)生的主體地位.學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是活動的主體，拓展課學(xué)習(xí)要求教師把學(xué)習(xí)的主動權(quán)和個性發(fā)展權(quán)還給學(xué)生，讓學(xué)生唱主角.教師要由知識的傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)榛顒拥慕M織者、指導(dǎo)者和參與者。教師要更多地關(guān)注活動目標(biāo)的導(dǎo)向、動機(jī)的激發(fā)、情景的創(chuàng)設(shè)、方法的指導(dǎo)、疑難的解答等。反之，如果教師限制得過多，將失去其拓展課價值。本課例教師始終將主動權(quán)讓位于學(xué)生，從始至終，學(xué)生沒有停止實(shí)踐操作、探索交流、歸納思考。

總之，數(shù)學(xué)拓展性課程作為基礎(chǔ)教育的補(bǔ)充，在發(fā)展和完善人的思維、形成人們認(rèn)識世界的態(tài)度和方法、滿足差異化和個性化的發(fā)展等方面起著重要的作用。同時《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿）也提出：“實(shí)踐活動是培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行主動探索與合作交流的重要途徑?！遍_設(shè)數(shù)學(xué)拓展課時，教師要注重學(xué)生動手操作，注重?cái)?shù)學(xué)邏輯推理，注重?cái)?shù)學(xué)方法的提煉概括，真正著眼于發(fā)展學(xué)生的興趣特長，調(diào)動每一位學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，滿足學(xué)生個性化需求，這也是我們開發(fā)數(shù)學(xué)拓展性課程的終極目標(biāo)。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]許芬英.浙江省中小學(xué)學(xué)科教學(xué)建議案例解讀[M].杭州：浙江教育出版社，2015.

[2]張國定.數(shù)學(xué)文化從幕后到前臺[J].中國數(shù)學(xué)教育，2016（1）.

（責(zé)任編輯：張華偉）