吳一枝

【摘要】 APOS理論是美國的杜賓斯基等人創(chuàng)建的，在杜賓斯基等人的研究中，APOS理論已經(jīng)被運用于多個數(shù)學領域.其中包括函數(shù)、抽象代數(shù)、離散數(shù)學、微積分、統(tǒng)計及初等數(shù)論等，其運用領域絕大多數(shù)都是高等數(shù)學內(nèi)容.在小學教育階段也涉及概念教學，筆者結合“平行四邊形的初步認識”的教學片段，以APOS的視角分析本課，嘗試將APOS理論與小學階段概念課相結合，探索適合小學教育階段概念課的模式.

【關鍵詞】 APOS理論;概念教學;概念課模式

杜賓斯基等人認為學生數(shù)學概念是要進行心理建構的，此建構過程要經(jīng)歷四個階段.以“平行四邊形的初步認識”一課為例，Action（操作或活動階段）——認識平行四邊首先需要讓學生從現(xiàn)實中找尋平行四邊形的實物，再讓學生進行親身操作;Process（過程階段）——運用分析、比較、綜合等方法幫助學生抽象出“平行四邊形”;Object（對象階段）——將平行四邊形的概念細致化，進行更高層次的操作;Scheme（概型階段）——此時“平行四邊形”的概念已經(jīng)存在于學生的腦海中.按照杜賓斯基的理論為概念教學提供了理論支持，以下就結合該理論具體分析“平行四邊形的初步認識”的教學過程.

一、操作階段是指學生通過一步一步地指令去變換一個客觀的數(shù)學對象.學生需要親自投入，通過實際經(jīng)驗來獲得知識，這里也包括學生的思維活動.大部分數(shù)學概念的形成都會經(jīng)歷反省抽象，而反省的基礎就是操作活動.

拼三角板，拼出平行四邊形.

師：現(xiàn)在你能用兩塊完全一樣的三角尺拼出這樣的四邊形嗎？拿出三角板，拼一拼.（指名學生到黑板上拼一拼）

師：還有不同的拼法嗎？（鼓勵不同拼法，指名在黑板上拼一拼）

師：大家都拼出了剛才生活里見到的那種四邊形，像這樣的四邊形是平行四邊形.（板書：平行四邊形）

學生齊讀：平行四邊形.

學生在用三角板拼一拼的過程中，仿造生活中尋找的平行四邊形的樣子拼出自己的平行四邊形，進一步加深平行四邊形在學生頭腦中的具體形象.

二、過程階段是對操作過程的思考，對操作過程進行思維的內(nèi)化和壓縮，抽象出概念所有的特質.教師在之前的環(huán)節(jié)中已經(jīng)幫助學生多次、重復地感知平行四邊形的表象，接著教師設計了畫一畫，幫助學生抽象出平行四邊形的概念.

師：現(xiàn)在，老師想畫出一個平行四邊形.你覺得平行四邊形這四條邊要怎樣畫才對？（學生交流想法）

生1：畫的時候要有兩條邊是斜的

生2：斜的方向要一樣，另兩條邊的方向也要一樣.

師：同學想法真不錯！看老師畫一個平行四邊形，上下兩條邊方向要完全一樣（畫一組對邊），左右兩條邊方向 也完全一樣（畫另一組對邊）.這個圖形就是——平行四邊形.

師：找一找，剛才分類好的四邊形里哪個是平行四邊形？

師：從這里可以看出，平行四邊形屬于四邊形，是一種特殊的四邊形.

畫一畫之前，教師引導學生說一說如何畫出平行四邊形，在學生討論的過程中，學生已經(jīng)在頭腦中回憶之前的操作過程，抽象出“平行四邊形兩條邊是斜斜的”“斜的方向要一樣”的概念特質，教師用這一環(huán)節(jié)將學生在操作中形成的感性感知抽象了出來.

三、當學生意識到可以將過程看成一個整體，并且進行變形和操作時，過程中的一切就轉化為更精致的“對象”，這個階段就是對象階段.在學生初步抽象出平行四邊形后，教師引導學生辨一辨、圍一圍、描一描等活動，進一步深化、細致平行四邊形這一概念.

為了讓學生進一步將平行四邊形的概念內(nèi)化，教師設計了豐富練習，引導學生進行更高層次的操作，使“平行四邊形”的概念轉化成“靜態(tài)結構”，幫助學生更全面、更整體地把握概念.

四、圖式階段是指學生對活動、過程、對象以及原有的相關方面的圖式進行相應的整合，產(chǎn)生新的圖式結構.這時課程已過大半，平行四邊形的概念經(jīng)過細致后在學生腦中逐漸穩(wěn)定下來，從而可以運用于解決相應的實際問題.

擺一擺，用小棒擺出平行四邊形：

師：你能用6根同樣長的小棒擺出平行四邊形嗎？你是怎么擺的？用8根同樣長的小棒能擺出平行四邊形嗎？試一試.（展示學生不同的擺法）

師：想想上下兩條邊、左右兩條邊用的小棒根數(shù)有什么要求？

生：相對兩條邊的小棒根數(shù)要同樣多.

師：是不是這樣呢？如果去掉一根小棒，重新圍一圍，它還是平行四邊形嗎？

師：看來同學們說得很有道理，上下，左右兩條邊的小棒確實需要同樣多.

2.拉一拉，拉出一個平行四邊形

師：同學們請看，這是一個？（長方形）拿出長方形框，拉一拉，你有什么發(fā)現(xiàn)？

師：眼睛不要眨啊，老師要變了，仔細看.一拉，還是長方形嗎？那是什么呢？再拉，現(xiàn)在呢？再拉，現(xiàn)在呢？

師：接著來，換個方向，往這邊拉.是什么？再拉，現(xiàn)在呢？再拉，現(xiàn)在呢？

師：一個長方形，不管怎樣拉，雖然形狀、大小會發(fā)生變化，但它始絡都是平行四邊形.

師：剛才在顧老師拉的過程中，只要輕輕一拉就會出現(xiàn)一個新的平行四邊形.說明，平行四邊形容易變形.

通過擺一擺，學生將形成平行四邊形的概念運用于本題，題目比較之前的練習明顯更加高一層次，學生能夠靈活運用所學概念解決實際問題，說明圖式階段形成.最后教師不忘向學生滲透長方形和平行四邊形的關系，又為以后新概念的學習做好鋪墊.

從“平行四邊形的初步認識”的分析來看，APOS理論對小學階段的概念教學具有一定的借鑒和指導作用，以后在概念教學中，筆者將結合該理論不斷探索和反思，以促進概念教學結構的完善與優(yōu)化.