劉兵

【摘要】 本文主要采用分類討論的思想方法探索正方形ABCD向右水平移動(dòng)的過程中，與右邊一固定的正方形EFGH重合部分的面積S，如何用時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式表達(dá)的問題.

【關(guān)鍵詞】 分類討論;函數(shù)思想;臨界狀態(tài)

幾何圖形的運(yùn)動(dòng)變化一直以來都是中考命題專家青睞的熱點(diǎn)，這一類題目在編寫時(shí)都在不同程度上體現(xiàn)出基本圖形、基本概念來源于現(xiàn)實(shí)生活，將現(xiàn)實(shí)生活中的一些問題抽象化得到.這類題型注重培養(yǎng)學(xué)生良好的觀察、操作、想象、討論、交流等學(xué)習(xí)習(xí)慣，在“數(shù)學(xué)模型——繪出圖形——文字描述——符號(hào)表達(dá)”抽象化的一系列過程中，提高學(xué)生順向、逆向相互轉(zhuǎn)化的思維能力，讓學(xué)生立足于基礎(chǔ)知識(shí)，加強(qiáng)知識(shí)間橫向與縱向、內(nèi)在與外在、具象與抽象之間的聯(lián)系.

學(xué)生在吸收知識(shí)的同時(shí)更應(yīng)該領(lǐng)悟其中蘊(yùn)含的基本數(shù)學(xué)思想，并能進(jìn)行適度的提煉和總結(jié)，使之能對(duì)認(rèn)識(shí)能力、理解能力和應(yīng)用能力發(fā)揮指導(dǎo)作用，更好地理解數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，初步具有數(shù)學(xué)思維能力.

筆者在給學(xué)生講解四邊形的知識(shí)時(shí)，碰到了一道邊長不相等的兩個(gè)正方形組合的問題.其中大的正方形A′B′C′D′的一個(gè)頂點(diǎn)A′與小正方形的中心O重合，并圍繞小正方形ABCD的中心O旋轉(zhuǎn)，無論如何旋轉(zhuǎn)，它們重合部分的面積都不變的有趣問題（如圖1所示）.

如圖2（1）所示，將三角板DEF固定不動(dòng)，現(xiàn)三角板ABC沿射線DB方向平行向下移動(dòng).當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)D重合時(shí)停止，BC與EF相交于點(diǎn)M（如圖2（2）所示）.先觀察重合部分四邊形ACMF的形狀，再求出此時(shí)重合部分四邊形ACMF的面積.

如圖2（3）所示，將三角板ABC繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)F重合時(shí)立即停下來.設(shè)DA=x cm，重合部分的面積為y cm2.求在此運(yùn)動(dòng)過程中y cm2和x cm的關(guān)系式，并求出對(duì)應(yīng)的x的取值范圍.

（1）

（2）

（3）

受此啟發(fā)，我們將圖1中不相同的兩個(gè)正方形都變?yōu)檫呴L相同的正方形，并作如下規(guī)定：

設(shè)邊長為a的相同正方形，按如圖所示的方式放置，右邊正方形EFGH是水平放置，其中∠BCF=45°，C是EF的中點(diǎn)（左邊正方形的右邊頂點(diǎn)與右邊正方形的邊所在的中點(diǎn)重合），同時(shí)令左邊正方形水平向右按每秒一個(gè)單位長度的速度平移，右邊正方形EFGH固定不動(dòng).請(qǐng)你計(jì)算從左邊正方形ABCD開始進(jìn)入直至完全穿過并離開右邊正方形EFGH時(shí)兩正方形重合部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（初始狀態(tài)時(shí)t=0秒）之間的函數(shù)關(guān)系，并求出對(duì)應(yīng)的t的取值范圍.

下面我們就按照剛剛敘述的方法分為八種不同的情況進(jìn)行梳理解答.首先呈現(xiàn)移動(dòng)變化過程中關(guān)鍵位置的三種狀態(tài)圖，再根據(jù)此種情況下“行進(jìn)中狀態(tài)圖”來計(jì)算重疊部分的面積與時(shí)間t（初始狀態(tài)時(shí)t=0秒）的函數(shù)關(guān)系.

第一種情況：0≤t≤ 1 2 a，s=t2;

第二種情況： 1 2 a<t≤? 2 - 1 2? a，s=- 1 4 a2+ta.

從第一種情形到第二種情形的解答全部過程，明確地反映出了從正方形ABCD開始進(jìn)入直至完全穿過并離開正方形EFGH時(shí)兩正方形重合部分的面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（初始狀態(tài)時(shí)t=0秒）之間的函數(shù)關(guān)系.

本體可以賦予特殊化的表現(xiàn)形式，現(xiàn)列舉如下：

特殊情形1 ?題目要求、圖形同上.當(dāng)邊長a=6時(shí)，請(qǐng)你計(jì)算從左邊正方形ABCD開始進(jìn)入直至完全穿過并離開右邊正方形EFGH時(shí)兩正方形重合部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（初始狀態(tài)時(shí)t=0秒）之間的函數(shù)關(guān)系，并求出對(duì)應(yīng)的t的取值范圍;并計(jì)算t為何值時(shí)，重合部分的面積S最大，最大值是多少.

特殊情形2 ?題目要求、圖形同特殊情形1，邊長a=6.正方形ABCD的運(yùn)動(dòng)速度按每秒一個(gè)單位長度的速度平移，右邊正方形EFGH按每秒0.5個(gè)單位長度的速度向右水平移動(dòng).請(qǐng)你計(jì)算從左邊正方形ABCD開始進(jìn)入直至完全穿過并離開右邊正方形EFGH時(shí)兩正方形重合部分的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（初始狀態(tài)時(shí)t=0秒）之間的函數(shù)關(guān)系，并求出對(duì)應(yīng)的t的取值范圍.

本題特殊情形都屬于操作類試題，題目的情境設(shè)置很平常，僅僅運(yùn)用了學(xué)生熟悉的素材、熟悉的知識(shí)、熟悉的解 題方式命制出一道綜合多個(gè)知識(shí)點(diǎn)且充滿挑戰(zhàn)的問題，化平常為神奇，考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基 本技能和基本數(shù)學(xué)方法.

【參考文獻(xiàn)】

[1]鄧凱.廣東卷第25題：用一副三角板創(chuàng)編的好題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2013（8）：55-57.