柳苗

摘 要：基于章建躍先生“邏輯連貫，自然生長”的理念。設(shè)計(jì)一以“圓心角和同弧所對(duì)圓周角的位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系”為生長點(diǎn)，構(gòu)建了邏輯連貫的學(xué)習(xí)路徑；設(shè)計(jì)二退到知識(shí)的本源。以圓周角→圓上三個(gè)點(diǎn)→圓心到三點(diǎn)距離相等→三個(gè)等腰三角形（三圖歸一）→定性解決，考慮定量這一邏輯鏈證明圓周角定理，并認(rèn)識(shí)到圓的問題都可退到等腰三角形，促進(jìn)新知自然生長。

關(guān)鍵詞：圓周角；邏輯連貫；教學(xué)設(shè)計(jì).

本節(jié)課是浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)“圓周角”第一課時(shí)的內(nèi)容?；谶壿嬤B貫、自然生長的理念，設(shè)計(jì)一以圓心角學(xué)習(xí)路徑的類比遷移為主線；設(shè)計(jì)二以知識(shí)本源出發(fā)形成知識(shí)系統(tǒng)為落點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)自然生長。

一、教材關(guān)于圓周角位置分類的設(shè)計(jì)及教學(xué)反思

學(xué)生通過作圖、測量，得到猜想：“同弧所對(duì)的圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角度數(shù)的一半。”在證明過程中，分類討論是難點(diǎn)。因此，如何使學(xué)生認(rèn)識(shí)到分類的必要性，并能自然地想到分類標(biāo)準(zhǔn)，是教學(xué)設(shè)計(jì)需解決的問題。

1.人教版教材：將直線AO與圓周角的位置關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn)。

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2.浙教版教材：將圓心與圓周角的位置關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn)。

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3.對(duì)上述兩種分類標(biāo)準(zhǔn)的反思：學(xué)生不明白“為什么要這樣分類？”

筆者在教學(xué)實(shí)踐中，發(fā)現(xiàn)這兩種分類標(biāo)準(zhǔn)學(xué)生都很難考慮到。雖然人教版中的折痕AO在證明過程中起到了輔助線的作用，但如何想到要沿AO折疊？學(xué)生感覺很突兀。因此，這一想法不是學(xué)生自然的思維過程。浙教版中將圓心與圓周角的位置關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn)同樣存在上述疑惑：雖然在之前的合作學(xué)習(xí)中已有了“當(dāng)點(diǎn)A在弧BEC上運(yùn)動(dòng)的過程中，∠BAC與圓心O有幾種不同的位置關(guān)系？”這樣的鋪墊，但學(xué)生還是想不到為什么要選圓心與圓周角的位置作為分類標(biāo)準(zhǔn)。因此，本課的教學(xué)難點(diǎn)沒有很好地突破。

二、同弧所對(duì)圓心角和圓周角位置、數(shù)量關(guān)系為生長點(diǎn)的定理證明設(shè)計(jì)

1.將同弧所對(duì)圓周角與圓心角位置關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn)

問題1：（1）研究同弧所對(duì)圓心角與圓周角的數(shù)量關(guān)系，先確定什么？

（2）它們之間的位置有幾種情況，請(qǐng)你畫一畫，說一說？

意圖：要證明“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧上的圓心角的度數(shù)的一半”這一定理，首先要確定它們的位置。因此，問題1通過讓學(xué)生畫一畫，然后交流討論，自然地得到圖6、圖7、圖8三種情況。筆者認(rèn)為，將同弧所對(duì)圓周角與圓心角的位置關(guān)系作為分類標(biāo)準(zhǔn)相比較以上教材中的兩種方法，學(xué)生更易想到。

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2.利用基本圖式“紅旗型”，從特殊到一般引導(dǎo)學(xué)生證明

問題2：在圖6、7、8中，哪種情況較特殊，能證明∠BAC=■∠BOC嗎？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過比較，尋找到特殊情況，即圓周角與圓心角的一邊在同一直線上。學(xué)生容易利用等腰三角形與三角形外角的知識(shí)證明∠BAC=■∠BOC。師生可及時(shí)提煉出這一圓中的基本圖式，形象地稱為“紅旗型”，為證明圖6、圖8中∠BAC與∠BOC的數(shù)量關(guān)系作好鋪墊。

問題3：能否將圖6中的圓周角與圓心角轉(zhuǎn)化為含有“紅旗型”的圖式？如何添加輔助線？如何證明∠BAC=■∠BOC？

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意圖：充分利用“紅旗型”基本圖式及其結(jié)論，引導(dǎo)學(xué)生將一般轉(zhuǎn)化為特殊，通過連接AO并延長交圓O于點(diǎn)D，使學(xué)生意識(shí)到圖6就是兩個(gè)“紅旗型”的組合，如圖9所示，自然地利用問題1中的結(jié)論來證明問題2。

問題4：能否利用上述添輔助線的方法將圖8轉(zhuǎn)化為“紅旗型”？與圖9之間有何聯(lián)系與區(qū)別？如何證明∠BAC=■∠BOC？

意圖：首先引導(dǎo)學(xué)生通過方法的遷移，即連接AO并延長交圓O于點(diǎn)E，發(fā)現(xiàn)圖8也能轉(zhuǎn)化為“紅旗型”，如圖10所示。然后順勢引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖9、10進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)都由兩個(gè)“紅旗型”組成，只是位置分別在直徑AD的同側(cè)、異側(cè)。學(xué)生易想到仍利用問題1中的結(jié)論來證明問題3。

三、“以退為進(jìn)”，從本源上理解圓周角定理的教學(xué)設(shè)計(jì)

問題5：如圖9（1），圓周角∠BAC中，點(diǎn)B、A、C三點(diǎn)有何共同特征？

意圖：通過問題1，引導(dǎo)學(xué)生觀察弧所對(duì)的圓周角，三個(gè)點(diǎn)在圓上，所以到圓心的距離相等，即OA、OB、OC三條線段相等，自然過渡到了問題2。

問題6：連接OA、OB、OC、BC，能得到什么？你能證明∠BAC=■∠BOC嗎？

意圖：如圖9（2）、（3），通過連接OA、OB、OC、BC，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)形成了三個(gè)等腰三角形，問題就轉(zhuǎn)化成了證明等腰三角形底角與頂角的關(guān)系。因?yàn)楸举|(zhì)上圓所起的作用就是控制了點(diǎn)到圓心距離，所以就不需要考慮圓了，只有三個(gè)等腰三角形。

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問題7：將點(diǎn)A在圓弧上運(yùn)動(dòng)（除弧BC外），三個(gè)等腰三角形的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，此時(shí)∠BAC=■∠BOC還成立嗎？

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意圖：如圖10，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)頂點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)的過程中，三個(gè)共頂點(diǎn)的等腰三角形位置在發(fā)生變化（當(dāng)B、O、A三點(diǎn)共線時(shí)，△BOA不存在），所以要進(jìn)行分類討論，再證明∠BAC=■∠BOC。學(xué)生完整的經(jīng)歷了“圓周角—圓上三個(gè)點(diǎn)—圓心到三個(gè)點(diǎn)的距離相等—三個(gè)等腰三角形（三圖歸一）—定性解決，考慮定量”的探索過程，體驗(yàn)“以退為進(jìn)”的學(xué)習(xí)策略。

問題8：想一想，我們還學(xué)習(xí)了哪些關(guān)于圓的定理？能否利用等腰三角形的性質(zhì)證明呢？

意圖：引導(dǎo)學(xué)生回顧垂徑定理、圓心角定理，并利用等腰三角形性質(zhì)證明。使學(xué)生感悟到以上定理都能退到等腰三角形加以證明。接下來學(xué)習(xí)圓周角定理推論、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，都可引導(dǎo)學(xué)生回到本源“等腰三角形的性質(zhì)”，使得學(xué)生能透過圓中紛繁復(fù)雜的定理看清本質(zhì)，置知識(shí)于系統(tǒng)中。

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如圖11（1），垂徑定理：可利用等腰三角形三線合一證明；如圖11（2），圓心角定理：可以從兩個(gè)共頂點(diǎn)的全等的等腰三角形去考慮；如圖11（3），圓周角定理：如問題5、6所述，可以從三個(gè)共頂點(diǎn)的等腰三角形去考慮。其中“90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑”可從A、O、B三點(diǎn)共線時(shí)的角度去證明；如圖11（4），圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)：除利用圓周角定理外，也可退回本源，從四個(gè)共頂點(diǎn)的等腰三角形的角度來證明。

章建躍先生曾說：“在課堂教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程和理解數(shù)學(xué)知識(shí)的心理過程為基本線索，為學(xué)生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使他們?cè)谡莆諗?shù)學(xué)知識(shí)的過程中學(xué)會(huì)思考。”因此，既要注意進(jìn)，更要注意退，抓住知識(shí)本源，構(gòu)建學(xué)習(xí)路徑，才能呈現(xiàn)知識(shí)的自然生長。

參考文獻(xiàn)：

1.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫額學(xué)習(xí)過程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2013（6）：5-8.

2.杭毅.注重教材整合凸顯思想方法—以“圓周角（第一課時(shí)）”教學(xué)為例[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2015（12）：35—38.

（作者單位：浙江省杭州市余杭區(qū)徑山鎮(zhèn)中學(xué)）