劉懷成

解答數(shù)學(xué)問(wèn)題離不開轉(zhuǎn)化與化歸，它既是一種數(shù)學(xué)思想，又是一種數(shù)學(xué)能力，是高考重點(diǎn)考查的數(shù)學(xué)思想方法之一.當(dāng)解題思維受阻時(shí)，考慮尋求簡(jiǎn)單方法或從一種情形轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問(wèn)題容易得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的有效策略.轉(zhuǎn)化有等價(jià)轉(zhuǎn)化和非等價(jià)轉(zhuǎn)化，等價(jià)轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價(jià)性.通過(guò)不斷地轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范、簡(jiǎn)單的問(wèn)題.在不得已的情況下，進(jìn)行不等價(jià)轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價(jià)性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗(yàn)證.

熱點(diǎn)考向一 具體與抽象、特殊與一般的轉(zhuǎn)化

例1 若橢圓C的方程為x25+y2m=1，焦點(diǎn)在x軸上，與直線y=kx+1總有公共點(diǎn)，那么m的取值范圍為 .

解析：由橢圓C的方程及焦點(diǎn)在x軸上，知0

又直線與橢圓總有公共點(diǎn)，直線恒過(guò)點(diǎn)（0，1），

則定點(diǎn)（0，1）必在橢圓內(nèi)部或邊界上.

則025+12m≤1，即m≥1.

故m的取值范圍為[1，5）.答案：[1，5）.

點(diǎn)評(píng)：特殊與一般轉(zhuǎn)化法是在解決問(wèn)題過(guò)程中，將某些一般問(wèn)題進(jìn)行特殊化處理或?qū)⒛承┨厥鈫?wèn)題進(jìn)行一般化處理的方法.

熱點(diǎn)考向二 正難則反的轉(zhuǎn)化

例2 已知m∈R，設(shè)命題P：|m-5|≤3；命題Q：函數(shù)f（x）=3x2+2mx+m+43有兩個(gè)不同的零點(diǎn).求使命題“P或Q”為真命題的實(shí)數(shù)的取值范圍.

解：對(duì)P：|m-5|≤3，即2≤m≤8，

對(duì)Q：由已知得f（x）=3x2+2mx+m+43=0的判別式Δ=4m2-12（m+43）=4m2-12m-16>0，

得m<-1或m>4.

所以，要使“P或Q”為真命題，只需求其反面，P假且Q假，

即m>8或m<2

-1≤m≤4，∴-1≤m<2，

∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1）∪[2，+∞）.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合命題的真假應(yīng)用，利用正難則反的原則，將P，Q至少有一個(gè)為真命題，轉(zhuǎn)化為求P，Q同時(shí)為假命題時(shí)滿足的條件是解決本題的關(guān)鍵.

熱點(diǎn)考向三 命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸

例3 已知函數(shù)f（x）=13ax2-bx-lnx，其中a，b∈R.

（1）當(dāng)a=3，b=-1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；

（2）當(dāng)a>0，且a為常數(shù)時(shí)，若函數(shù)h（x）=x[f（x）+lnx]對(duì)任意的x1>x2≥4，總有h（x1）-h（x2）x1-x2>-1成立，試用a表示出b的取值范圍.

解析：（1）當(dāng)a=3，b=-1時(shí)，f（x）=x2+x-lnx，x∈（0，+∞），

∴f′（x）=2x+1-1x=（2x-1）（x+1）x，

∵x>0，∴012時(shí)，f′（x）>0，

即f（x）在（0，12）上單調(diào)遞減，在（12，+∞）上單調(diào)遞增，

∴f（x）在x=12處取得最小值，

即[f（x）]min=f（12）=34+ln2.

（2）由題意，對(duì)任意的x1>x2≥4，

總有[h（x1）+x1]-[h（x2）+x2]x1-x2>0成立，

令p（x）=h（x）+x=13ax3-bx2+x，x∈[4，+∞），則函數(shù)p（x）在x∈[4，+∞）上單調(diào)遞增，

∴p′（x）=ax2-2bx+1≥0在x∈[4，+∞）上恒成立.

∴2b≤ax2+1x=ax+1x在x∈[4，+∞）上恒成立，

構(gòu)造函數(shù)F（x）=ax+1x（a>0），x（0，+∞），則F′（x）=a-1x2=ax2-1x2，

∴F（x）在（0，aa）上單調(diào)遞減，在（aa，+∞）上單調(diào)遞增.

（i）當(dāng)aa>4，即0

∴[F（x）]min=F（aa）=2a，∴2b≤[F（x）]min，從而b∈（-∞，a].

（ii）當(dāng)aa≤4，即a≥116時(shí)，F(xiàn)（x）在（4，+∞）上單調(diào)遞增，

2b≤F（4）=4a+14，從而b∈（-∞，2a+18]，

綜上，當(dāng)0

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化命題，使原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)，易于解決的新問(wèn)題，是我們解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用思路.本題將條件不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，運(yùn)用了分離常數(shù)法與構(gòu)造函數(shù)法解決恒成立問(wèn)題.

熱點(diǎn)考向四 函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化

例4 定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f（x）+f′（x）>1，f（0）=4，則不等式exf（x）>ex+3（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為 .

解：由題意可知不等式為exf（x）-ex-3>0，

設(shè)g（x）=exf（x）-ex-3，∴g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=ex[f（x）+f′（x）-1]>0，

所以函數(shù)g（x）在定義域上單調(diào)遞增，又因?yàn)間（0）=0，所以g（x）>0的解集為{x|x>0}.

點(diǎn)評(píng)：把不等式轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可求出解集.函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式的問(wèn)題需要函數(shù)幫助，解決函數(shù)的問(wèn)題需要方程、不等式的幫助，因此借助于函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問(wèn)題化繁為簡(jiǎn).