吳雅琴

一、填空題（本大題共14小題，每題5分，共70分）

1.設(shè)集合A={1，2}，集合B={1，a-1}，若A∪B={1，2，3}，則實(shí)數(shù)a= .

2.若純虛數(shù)z滿足（2+i）z=1+b（1+i）2（其中i是虛數(shù)單位，b是實(shí)數(shù)），則b= .

3.某校數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)三個(gè)興趣小組分別有成員60人、40人、20人.現(xiàn)用分層抽樣的方法從這三個(gè)興趣小組中抽取24人來調(diào)查活動(dòng)開展情況，則在物理興趣小組中應(yīng)抽取 人.

4.已知實(shí)數(shù)x，y滿足：y≤x，

x+y≤1，

y≥-1.則z=2x+y+1的最大值是 .

5.雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一條漸近線傾斜角為α，且cosα=13，則雙曲線的離心率為 .

6.執(zhí)行如圖所示的偽代碼，最后輸出的S值為 .

S←0

For I From 1 To 19 step 2

S←S+I

End For

Print S

End

7.將一枚正方體骰子（6個(gè)面分別刻有1，2，3，4，5，6的玩具）先后拋擲2次，記第一次拋擲的點(diǎn)數(shù)為x，第二次拋擲的點(diǎn)數(shù)為y，則使yx為整數(shù)的概率為 .

8.設(shè)a，b，c是任意的非零向量，且相互不共線，有下列命題：

①（a+b）·c=c·（a+b）；

②（a·b）2=a2·b2；

③若a·b=b·c=c·a，則a=b=c；

④|a+b+c|<|a|+|b|+|c|.

其中的真命題是 .

9.已知A，B，C為△ABC的三個(gè)內(nèi)角，且滿足sinA-3cosA=2，tanB=12，則cosC= .

10.在棱長(zhǎng)為1正方體ABCDA1B1C1D1中，E分別是棱A1A上任意一點(diǎn)，則三棱錐BECC1的體積為 .

11.已知數(shù)列{an}，{bn}滿足a1=1，a2=2，b1=2，對(duì)于任意正整數(shù)r，s，k，l，當(dāng)r+s=k+l時(shí)，都有arbs=akbl，則13∑2018i=1（ai+bi）= .

12.設(shè)方程x+2+2x=0和方程x+2+log2x=0的根分別記為p、q，已知函數(shù)f（x）=（x+p）（x+q）+2，則f（0），f（1），f（2）大小關(guān)系是 .

13.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B為圓C：（x+2）2+y2=4上不同的兩點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為圓心），過點(diǎn)A，B分別作圓C的切線l1，l2，若l1與l2相交于點(diǎn)Q，圓C上另有一點(diǎn)P，滿足∠APB=60°，且P，Q，C三點(diǎn)在同一條直線上，則OP·OQ的取值范圍是 .

14.實(shí)數(shù)a，b，c滿足a>b>0，且b2-4ac≤0，則a（a-b+4c）b（a-b）的最小值為 .

二、解答題（本大題共6小題，共90分）

15.（本題滿分14分）

已知向量a=（cosx，sinx），向量b=（-cosx，sinx-1）（x∈R），將a·b表示為x的函數(shù)，記為f（x）.

（1）求函數(shù)f（x）的最大值，并指出相應(yīng)的x的值；

（2）若函數(shù)f（x）取最小值時(shí)x的值記為x0，求cos（2x0-π3）的值.

16.（本題滿分14分）

如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四邊形ABCD是菱形，

E是棱CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)是對(duì)角線B1D上的點(diǎn)，且BF⊥B1D.

（1）求證：A1C1∥平面B1DE；

（2）求證：BF⊥平面B1DE.

17.（本題滿分14分）

如圖，已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為32，A（a，0），B（0，b）是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，且△AOB的面積為1.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知P，Q是橢圓上的兩個(gè)不同點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸的左側(cè)，

①若BP=BQ，試問P，Q是否關(guān)于y軸對(duì)稱？說明理由；

②若P，Q關(guān)于y軸對(duì)稱，求△BPQ的面積最大值，并指出面積取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

18.（本題滿分16分）

如圖，在一直道邊有三個(gè)小村莊B，D，C（將村莊視為點(diǎn)），在村莊D正北方向上有一電視塔A，村莊C在塔A的南偏東45°的方向上，DC=1（km），村莊B在塔A的南偏西30°的方向上，為了探求塔A與直道的距離，作AM⊥DC，垂足為M，M在線段DC上.

（1）①設(shè)∠DAM=α，試用α表示AM的長(zhǎng)度；

②求線段AM長(zhǎng)度的取值范圍；

（2）若BD=1（km），求AM的長(zhǎng)度.

19.（本題滿分16分）

已知{an}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且{Sn-n}也成等差數(shù)列.

（1）若S3+S5=S6，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）已知數(shù)列{an}的公差d為正數(shù)，是否存在正整數(shù)n，使Sn，S2n，Sn2成等比數(shù)列？若存在，求出所有正整數(shù)n的值；若不存在，說明理由.

20.（本題滿分16分）

已知函數(shù)f（x）=ax3+bx2+3x-2（a≠0，x∈R）.

（1）若a<0，b=0，且函數(shù)f（x）有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）過曲線y=f（x）上任意一點(diǎn)P（x1，f（x1））的切線l交曲線于另一點(diǎn)Q（x2，f（x2）），設(shè)曲線在P，Q處的切線斜率分別為k1，k2，若存在常數(shù)λ使k1=λk2恒成立，求實(shí)數(shù)a，b的關(guān)系.

參考答案

一、填空題

1.4

2.-1

3.8

4.4

5.3

6.190

7.718

8.①④

9.5+21510

10.16

11.22018-1

12.f（1）

13.[-8，0]

14.3

二、解答題

15.（1）由已知得f（x）=a·b

=cosx·（-cosx）+sinx·（sinx-1）

=2sin2x-sinx-1，

因?yàn)閒（x）=2（sinx-14）2-98，sinx∈[-1，1]，

所以f（x）max=2，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=-1，

即x=-π2+2kπ，k∈Z時(shí)取得.

（2）因?yàn)閒（x）=2（sinx-14）2-98，

由題意知sinx0=14，所以cosx0=±1-sin2x=±154，cos2x0=1-2sin2x0=78，

當(dāng)cosx0=154時(shí)，sin2x0=2sinx0cosx0=158，

所以cos（2x0-π3）=cos2x0cosπ3+sin2x0sinπ3=78×12+158×32=7+3516.

當(dāng)cosx0=-154時(shí)，sin2x0=-2sinx0cosx0=-158，

所以cos（2x0-π3）=cos2x0cosπ3+sin2x0sinπ3=78×12-158×32=7-3516.

16.（1）在棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1B1∥AB，A1B1=AB，

又已知底面四邊形ABCD是菱形，所以AB∥DC，AB=CD，

所以A1B1∥DC，A1B1=CD，四邊形A1B1CD為平行四邊形；

連接A1C交B1D于O，連OE，則O為A1C的中點(diǎn)，又因E為C1C的中點(diǎn)，

所以O(shè)E∥A1C1，而OE面B1DE，A1C1面B1DE，所以A1C1∥面B1DE.

（2）連B1D1，BD，因?yàn)槔庵鵄BCDA1B1C1D1是直棱柱，

所以B1B⊥面A1B1C1D1，

又A1C1面A1B1C1D1，所以B1B⊥A1C1；

在棱柱ABCDA1B1C1D1中，A1A∥B1B，A1A∥D1D，所以B1B∥D1D，

從而，四邊形B1BDD1為平面四邊形；

又已知四邊形A1B1C1D1是菱形，所以B1D1⊥A1C1，

又B1D∩B1B=B1，B1D1，B1B面B1BDD1；

所以A1C1⊥面B1BDD1，

而BF面B1BDD1，所以A1C1⊥BF，由（1）知OE∥A1C1，所以BF⊥OE，

又已知BF⊥B1D，OE∩B1D=O，OE，B1D面B1DE，

所以BF⊥面B1DE.

17.解：（1）由已知得ca=32

S△AOB=12ab=1

a2=b2+c2，解得a=2

b=1

c=3；

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1.

（2）設(shè)P（x0，y0）（x0<0），Q（x1，y1），又已知B（0，1），

①因BP=BQ，

則有x20+（y0-1）2=x21+（y1-1）2

x204+y20=1

x214+y21=1，

化簡(jiǎn)得：（y1-y0）[3（y1+y0）+2]=0，所以y1=y0或y1+y0=-23，

取y0=-12，y1=-16，滿足y0+y1=-23，在橢圓上取點(diǎn)P（-3，-12），Q（-353，-16），

顯然，這兩點(diǎn)不關(guān)于y軸對(duì)稱；

當(dāng)y0=y1，P，Q關(guān)于y軸對(duì)稱.

綜上所述，P，Q不一定關(guān)于y軸對(duì)稱.

②因P，Q關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè)P（x0，y0）（x0<0），則Q（-x0，y0），且x204+y20=1，

所以S△BPQ=12（-2x0）·（1-y0）

=-x0（1-y0），

所以S2△BPQ=x20（1-y0）2=4（1-y20）（1-y0）2，

記f（y0）=4（1-y20）（1-y0）2，y0∈（-1，1），

又f′（y0）=-8（1-y0）2（2y0+1），y0∈（-1，1），

當(dāng)y0∈（-1，-12）時(shí)，f′（y0）>0，則f（y0）遞增；

當(dāng)y0∈（-12，1）時(shí)，f′（y0）<0，則f（y0）遞減；

所以，當(dāng)y0=-12時(shí)，f（y0）取極大值，也是最大值f（y0）=f（-12）=274；

即S2△BPQ取最大值，因此，（S△BPQ）max=332，此時(shí)P（-3，-12）.

18.解：（1）①在直角△AMD中，DM=AMtanα；在直角△AMC中，CM=AMtan（45°-α）；

又DC=DM+MC=1，即AMtanα+AMtan（45°-α）=1，

所以AM=1tanα+tan（45°-α）=1+tanα1+tan2α，0°≤α≤45°.

②令tanα=t∈[0，1]，則AM=1+tanα1+tan2α=1+t1+t2=f（t），

因?yàn)閒′（t）=-t2-2t+1（1+t2）2

=-（t+2+1）（t-2+1）（1+t2）2，t∈[0，1]，

當(dāng)t∈（0，2-1）時(shí)，f′（t）>0，則f（t）遞增；

當(dāng)y0∈（2-1，1）時(shí)，f′（t）<0，則f（t）遞減；

所以，當(dāng)t=2-1時(shí)，f（t）取極大值，也是最大值f（2-1）=2+12，

f（t）min=min{f（0），f（1）}=f（0）=f（1）=1，

因此，AM的取值范圍為[1，2+12].

（2）由（1）知，∠ABD=60°-α，AD=AMcosα，

在△ABD中，由正弦定理得，

BDsin∠BAD=ADsin∠ABD，即1sin30°=ADsin（60°-α），

所以AD=2sin（60°-α），

AM=ADcosα=2cosα·sin（60°-α）=3cos2α-sinαcosα；

進(jìn)一步，AM=3cos2α-sinαcosαsin2α+cos2α=3-tanα1+tan2α，

又由（1），AM=1+tanα1+tan2α，α∈[0°，45°]，

所以，3-tanα1+tan2α=1+tanα1+tan2α，解得tanα=3-12，

所以，AM=7+5313.

答：（1）AM=1+tanα1+tan2α，α∈[0°，45°]，長(zhǎng)度取值范圍為[1，2+12]（千米）；

（2）AM=7+5313.

19.解：設(shè){an}的公差為d，

（1）因?yàn)閧Sn-n}為等差數(shù)列，則有2S2-2=S1-1+S3-3，

聯(lián)立S3+S5=S6

2S2-2=S1-1+S3-3，

即3a1+3×22d+5a1+5×42d=6a1+6×52d

22a1+d-2=a1-1+3a1+3d-3，

由第一式化簡(jiǎn)得a1=d，然后代入第二式得：

23d-2=d-1+6d-2，

解得：d=2，所以a1=d=2，Sn=n2+n，an=2n.

檢驗(yàn)：當(dāng)Sn=n2+n時(shí)，Sn-n=（n2+n）-n=n，

Sn-n-Sn-1-（n-1）=n-（n-1）=1（常數(shù)），數(shù)列{Sn-n}為等差數(shù)列，符合題意.

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n.

（2）因?yàn)閧Sn-n}為等差數(shù)列，設(shè)Sn-n=An+B，兩邊同時(shí)平方：

Sn-n=（An+B）2，即d2n2+（a1-d2-1）n=A2n2+2ABn+B2；

所以B2=0且（a1-d2-1）=2AB，

從而得：a1=d2+1.

所以，Sn=na1+n（n-1）2d=12n2d+n；

則S2n=2n2d+2n，Sn2=12n4d+n2.

假設(shè)存在符合條件的正整數(shù)n，使Sn，S2n，Sn2成等比數(shù)列，所以S22n=Sn·Sn2，

即（2n2d+2n）2=（12n2d+n）·（12n4d+n2），

化簡(jiǎn)得到：（n4-16n2）d2+（2n3+2n2-32n）d+4n-16=0，d∈（0，+∞） （*）

原命題等價(jià)于：關(guān)于d的方程是否有正數(shù)解.

①若n=4，則（*）式等價(jià)于，32d=0，即d=0，不符題意，舍去；

②若n≠4，由根與系數(shù)的關(guān)系有

d1+d2=-2（n2+n-16）n（n2-16）<0

d1·d2=4n2（n+4）>0，

所以，要么（*）式無實(shí)根，要么有兩負(fù)根，都不符合題意；

綜上所述，由不存在符合題意的正整數(shù)n，使Sn，S2n，Sn2成等比數(shù)列.

20.解：（1）當(dāng)a<0，b=0時(shí)，f′（x）=3ax2+3=3a（x--1a）（x+-1a），

當(dāng)x∈（-∞，--1a）時(shí)，f′（x）<0，則f（x）遞減；

當(dāng)x∈（--1a，-1a）時(shí)，f′（x）>0，則f（x）遞增；

當(dāng)x∈（-1a，+∞）時(shí)，f′（x）<0，則f（x）遞減；

所以，x=--1a時(shí)，f（x）取極小值；x=-1a時(shí)，f（x）取極大值；

由題意知，f（x）極小值=f（--1a）=0或者f（x）極大值=f（-1a）=0.

即f（--1a）=a（--1a）3+3（--1a）-2=0，即-2-1a-2=0，無解；

或者f（-1a）=a（-1a）3+3（-1a）-2=0，即2-1a-2=0，解得a=-1，

當(dāng)a=-1，b=0時(shí)，f（x）=-x3+3x-2=-（x-1）2（x+2），函數(shù)f（x）恰有兩個(gè)零點(diǎn).

所以a=-1.

（2）由已知得f′（x）=3ax2+2bx+3，

則切線l的方程為：y=f′（x）（x-x1）+f（x1），即y=（3ax21+2bx1+3）（x-x1）+f（x1），

聯(lián)立

y=（3ax21+2bx1+3）（x-x1）+（ax31+bx21+3x1-2），

y=ax3+bx2+3x-2，

得：（x-x1）2（ax+2ax1+b）=0，

所以x2=-2x1-ba.

假設(shè)存在常數(shù)λ使k1=λk2，即f′（x1）=λf′（x2），

亦即3ax21+2bx1+3=λ[3a（-2x1-ba）2+2b（-2x1-ba）+3]，

整理得：（3a-12λa）x21+（2b-8λb）x1+（3-b2λa-3λ）=0，x1∈R成立.

當(dāng)且僅當(dāng)3a-12λa=0，

2b-8λb=0，

3-b2λa-3λ=0，，即λ=14，a=b29.