摘 要:《梯形的面積》是對(duì)前面所學(xué)的長方形、正方形、平行四邊形和三角形面積知識(shí)的發(fā)展、鞏固和應(yīng)用,梯形的面積是小學(xué)階段的幾何知識(shí)的重要內(nèi)容,為后面組合圖形的求積知識(shí)以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)立體幾何知識(shí)做好鋪墊。學(xué)習(xí)梯形的面積能夠較好地培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)一步運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決實(shí)際問題的能力。
關(guān)鍵詞:梯形的面積;教學(xué)案例;數(shù)學(xué)素養(yǎng)
作者簡介:艾紅英,湖北省武漢市吳家山第一小學(xué)教師,武漢市黃鶴英才名師工作室成員。(湖北 武漢 430041)
中圖分類號(hào):G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1671-0568(2018)13-0012-04
筆者執(zhí)教班級(jí)的學(xué)生特別善于獨(dú)立思考,樂于合作交流,語言表達(dá)能力較強(qiáng),十分愿意發(fā)表獨(dú)立見解,有較好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力,他們已經(jīng)掌握了梯形的特征和長方形、三角形以及平行四邊形面積的計(jì)算方法,也學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)平移的方法。這些都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。本節(jié)課的重點(diǎn)在以下三個(gè)方面:
第一,把數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程變成數(shù)學(xué)活動(dòng)過程,讓學(xué)生去主動(dòng)探索發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程,改變傳統(tǒng)的以傳授法為主的教學(xué)方法,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
第二,體現(xiàn)以教師為主導(dǎo),學(xué)生為主體。讓學(xué)生在解決問題的需求下親自擺一擺、剪一剪、比一比、想一想,通過動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)耳,調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性,在整個(gè)教學(xué)過程中注重學(xué)生數(shù)學(xué)心理素質(zhì)的培養(yǎng),加深數(shù)學(xué)知識(shí)的印象,提高學(xué)習(xí)效率。
第三,運(yùn)用遷移、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法和思考策略,對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行抽象概括、分析綜合、比較推理,提高學(xué)生的初步邏輯思維能力和空間觀念。
平行四邊形和三角形的面積公式知識(shí)是學(xué)習(xí)本課的知識(shí)基礎(chǔ),教學(xué)中充分利用這兩個(gè)基礎(chǔ)知識(shí)以及學(xué)習(xí)三角形面積公式的推導(dǎo)方法,培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)一步運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決實(shí)際問題的能力,有效地實(shí)現(xiàn)知識(shí)的正遷移。
一、鋪墊孕伏,以舊引新
師:前面我們研究了平行四邊形、三角形的面積計(jì)算公式,今天我們把前面的公式復(fù)習(xí)一下。那么平行四邊形、三角形面積的公式是怎樣推導(dǎo)的?
生:把平行四邊形、三角形轉(zhuǎn)化成我們會(huì)求面積的圖形。
師:“轉(zhuǎn)化”是一種很好的數(shù)學(xué)思想方法。
提出問題(課件出示教材第95頁的主題圖)
師:車窗玻璃的形狀是梯形。怎樣求出它的面積呢?這節(jié)課我們研究——
出示課題:梯形的面積
【通過這一設(shè)計(jì)來激發(fā)學(xué)生探索新知的欲望,并使學(xué)生明確了探究的目標(biāo)與方向】
二、提供材料,自主探究
1. 探究前的猜想
師: 你準(zhǔn)備怎樣推導(dǎo)出梯形的面積計(jì)算公式?
生1:把梯形的面積轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)三角形的面積。
生2:用兩個(gè)完全相同的梯形拼成平行四邊形。
師:這兩名同學(xué)很能干,都是把梯形“轉(zhuǎn)化”成學(xué)過了的圖形。下面就把你們的猜測(cè)驗(yàn)證一下,拿出你的梯形學(xué)具,根據(jù)大屏幕的提示試著推導(dǎo)出梯形的面積計(jì)算方法。
2. 學(xué)生進(jìn)行探究活動(dòng),教師指導(dǎo),發(fā)現(xiàn)方法。
3. 學(xué)生活動(dòng)結(jié)束后從下面三個(gè)方面(大屏幕出示)先在小組內(nèi)交流:
(1)把梯形轉(zhuǎn)化成了什么圖形?
(2)轉(zhuǎn)化后的圖形面積怎么算?
(3)原來的梯形的面積又該怎么算?
【“轉(zhuǎn)化”思想滲透到學(xué)生對(duì)梯形面積探究的始終,這個(gè)環(huán)節(jié)是讓學(xué)生明確“轉(zhuǎn)化”的要求,為后續(xù)有效地研究面積公式做儲(chǔ)備】
三、匯報(bào)展示,歸納公式
1. 推導(dǎo)得出公式
(1)請(qǐng)學(xué)生展臺(tái)展示匯報(bào)梯形面積公式的推導(dǎo),感受轉(zhuǎn)化思想對(duì)面積公式推導(dǎo)的重要作用。
交流一:“倍拼”(兩個(gè)完全相同的梯形)成平行四邊形的方法
生1:把兩個(gè)完全相同的梯形拼成一個(gè)平行四邊形,平行四邊形的底是梯形上底加下底,高與梯形的高相等,平行四邊形的面積是底乘高,梯形面積是平行四邊形面積的一半,因此梯形面積公式是(上底+下底)×高÷2
師:誰和她的想法一樣?
請(qǐng)點(diǎn)生2演示公式的推導(dǎo)過程,教師相機(jī)貼出板書的大圖形。
教師再點(diǎn)生3說公式的推導(dǎo)過程,教師板書文字公式。
全班認(rèn)同梯形面積公式
師:(師生對(duì)照黑板上的圖形)大家都會(huì)這種方法嗎?想到用兩個(gè)完全相同的梯形拼成一個(gè)平行四邊形,梯形的面積是拼成的平行四邊形面積的一半。平行四邊形的面積是底乘高,梯形面積公式是(上底+下底)×高÷2
【這種方法可以“轉(zhuǎn)化”直接得到面積計(jì)算公式的方法,相對(duì)來說比較容易,要求重點(diǎn)掌握,因此不吝時(shí)間來研究、認(rèn)同】
交流二:兩個(gè)完全相同的直角梯形拼成特殊的平行四邊形(長方形)的方法
再次確認(rèn)面積公式,學(xué)生說推導(dǎo)過程
師:兩個(gè)完全相同的直角梯形可以拼成一個(gè)特殊的平行四邊形,也可以像剛才那樣拼成一般的平行四邊形嗎?
生:能。
師:你能想象得到嗎?(學(xué)生對(duì)照著黑板上的直角梯形稍作比劃)都可以得到梯形的面積公式也是(上底+下底)×高÷2
師:如果梯形的高與上下底的和相等時(shí)呢?
生:會(huì)“轉(zhuǎn)化”成求一個(gè)特殊的平行四邊形(正方形)來研究。
【以上是“轉(zhuǎn)化”成特殊平行四邊形的例子,學(xué)生體會(huì)不僅可以如前一樣用“倍拼”成一般的平行四邊形的方法,也可以轉(zhuǎn)化成特殊的“平行四邊形”來研究?!稗D(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想方法靈動(dòng)地在課堂上得以展現(xiàn)】
交流三:分成兩個(gè)三角形的方法
生:我把梯形分成兩個(gè)三角形來研究,不過只得到梯形面積是:上底×高÷2+下底×高÷2。
師:我們一起來看看這個(gè)梯形面積的計(jì)算:上底×高÷2+下底×高÷2,與大家剛才研究出的梯形面積公式不一樣?你們有什么想法?
生:其實(shí)這個(gè)式子經(jīng)過整理也可以得到(上底+下底)×高÷2
全班思考認(rèn)同。
師:這樣的轉(zhuǎn)化還需要對(duì)式子做整理,得到梯形的面積公式是:(上底+下底)×高÷2
【這種方法需要對(duì)式子進(jìn)行整理,教師在此處適當(dāng)點(diǎn)撥,讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)公式整理后的簡潔美,感受到“轉(zhuǎn)化”思想方法的優(yōu)勢(shì)】
交流四:長方形減去一個(gè)三角形求直角梯形的方法
生:我是在準(zhǔn)備學(xué)具的過程中發(fā)現(xiàn)這種方法的,我準(zhǔn)備剪一個(gè)直角梯形來研究梯形面積,是從一張長方形紙上剪一個(gè)直角三角形,因此發(fā)現(xiàn)可以用長方形面積減去一個(gè)直角三角形的方法。我的梯形面積就可以這樣算:下底×高-(下底-上底)×高÷2
師:你真是一個(gè)善于動(dòng)腦筋的孩子,還能從學(xué)具準(zhǔn)備中發(fā)現(xiàn)求梯形面積的方法。對(duì)這個(gè)公式你有什么想法?
生:應(yīng)該也可以整理統(tǒng)一的面積計(jì)算公式。
師生共同整理成統(tǒng)一的計(jì)算公式(上底+下底)×高÷2
師:你的這個(gè)梯形也能用剛才其他的研究方法得到相同的面積公式嗎?
生:可以。
師:都使用了轉(zhuǎn)化方法,有時(shí)可以直接得到公式,有時(shí)候要經(jīng)過整理能得到這個(gè)公式。
【這種是不同于前幾種的減法“轉(zhuǎn)化”的方法展示,教師給予充分肯定,學(xué)生再次體會(huì)到“轉(zhuǎn)化”思想方法的魅力】
(2)數(shù)學(xué)文化:轉(zhuǎn)化研究面積公式的欣賞。
師:古人也對(duì)此有研究,課后同學(xué)們可以繼續(xù)研究整理。
(3)教師小結(jié):同學(xué)們很厲害,用“轉(zhuǎn)化”的方法可以直接或者整理后都能得出梯形的面積公式。
我們以這種(指板書的“倍拼”的方法)轉(zhuǎn)化為例再來回顧一遍面積的推導(dǎo)過程。
(3)師生共同回顧:兩個(gè)完全一樣的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形。(多媒體輔助演示)
一個(gè)梯形的面積=所拼成的平行四邊形面積÷2
平行四邊形的面積=底×高
平行四邊形的底=梯形的(上底+下底)
梯形的面積=(上底+下底)底×高÷2
(4)師:如果用a、b、h分別表示梯形的上底、下底和高,s表示體形的面積,那么梯形面積的字母公式是怎樣的?
師生書寫一遍(師生共同完成黑板板書:(a+b)×h÷2)
(5)師:把我們推導(dǎo)出的公式讀一遍。(黑板上出示文字公式)
為什么公式里有“÷2”?
生:梯形面積是轉(zhuǎn)化成的平行四邊形面積的一半,因此還要“÷2”。
學(xué)生說理由,再次回顧公式的推導(dǎo)
師:知道梯形的上底、下底和高能求什么?
生:梯形的面積。
師:要求梯形的面積要知道什么?(梯形的上底、下底和高)
2. 例題3教學(xué)出示教材第96頁例3
師:這是舉世聞明的長江三峽大壩(欣賞圖片),通過圖片你感受到了什么?
生:大壩雄壯,雄偉。
師:它具有防洪;發(fā)電;蓄水北調(diào);促進(jìn)航運(yùn)的好處。
我國三峽水電站大壩的橫截面的一部分是梯形(如下圖),求它的面積。
師:什么是橫截面?
師:面包輔助理解“橫截面”,學(xué)生比劃面包的橫截面。
請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立解決,一生板演,全班核對(duì)答案。
師:10530平方米!這個(gè)橫截面積真大,我們從這個(gè)梯形面積的數(shù)據(jù)再次感受到了大壩的雄偉。大壩了不起!你們不覺得敢想、敢做、能做成大壩的人更了不起嗎?(生:是的)給他們掌聲吧!老師覺得同學(xué)們也很了不起,在今天的學(xué)習(xí)中就具有這種敢想、敢做的精神。自己猜測(cè)、探究,發(fā)現(xiàn)了梯形的面積公式,給自己一點(diǎn)掌聲。
四、延伸拓展
1.“做一做”計(jì)算車窗玻璃
師:現(xiàn)在你能幫忙算出梯形車窗玻璃的面積了嗎?你需要知道什么條件?只要知道這個(gè)梯形車窗玻璃的上底、下底和高就可以了。
一輛汽車側(cè)面的兩塊玻璃的形狀是梯形(如下圖),它們的面積分別是多少?
師:(課件出示數(shù)據(jù))給你這些數(shù)據(jù),出示練習(xí)題的圖,讓學(xué)生讀題。
學(xué)生認(rèn)真讀題。
師:你還有什么要提醒大家注意的?
生1:“分別”這個(gè)詞要注意,問的是“它們的面積分別是多少”,所以問的是“左邊梯形的面積是多少”和“右邊梯形的面積是多少”,千萬不要把“分別”看成“共”,變成求整個(gè)大梯形的面積。
生2:高是兩個(gè)梯形公共的,既是腰也是高。
學(xué)生分別計(jì)算兩塊玻璃的面積。(一二組計(jì)算左邊梯形面積,三四組算右邊梯形面積)
師:在交流結(jié)果之前,我們不知道彼此算的玻璃面積有多大,現(xiàn)在老師讓你猜猜,你覺得哪一塊玻璃面積大呢?
學(xué)生猜測(cè),說理由。
【學(xué)生猜測(cè)體會(huì)到:高相等時(shí),比較上下底之和,上下底之和較大的梯形面積也較大】
生:乘40除以2,可以直接乘20(40除以2的商)計(jì)算起來更簡單。
師:2220平方厘米和2200平方厘米的結(jié)果也證明了我們的猜測(cè)。
【匯報(bào)呈現(xiàn)過程,力求體現(xiàn)簡算方法】
2. 全課小結(jié)
師:說說你這節(jié)課的收獲?
學(xué)生分別總結(jié)。
師:這節(jié)課看出同學(xué)們能大膽猜測(cè)、小心求證,也看出你們追求更好的一股子勁兒,這正是武漢精神“敢為人先,追求卓越”的體現(xiàn)啊,小小市民了不起!
【分析研究】
第一,相信學(xué)生,充分展示其才能。新課程理念強(qiáng)調(diào)要讓學(xué)生通過自主探究,主動(dòng)獲取知識(shí)。本節(jié)課筆者讓學(xué)生從生活實(shí)際問題出發(fā),一開始就讓學(xué)生感受到生活中很多時(shí)候要計(jì)算梯形的面積,從而引發(fā)學(xué)生探究梯形面積的學(xué)習(xí)欲望。在這種內(nèi)驅(qū)動(dòng)力之下,學(xué)生調(diào)動(dòng)自己已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn),探究出了很多轉(zhuǎn)化的方法并試著推導(dǎo)梯形面積的公式,培養(yǎng)了創(chuàng)新思維能力和自主學(xué)習(xí)的能力。如果低估學(xué)生的思維能力和創(chuàng)造力,那么公式的推導(dǎo)對(duì)他們而言可能是很難或是只有教科書上的那一種情形。這節(jié)課的設(shè)計(jì)正是本著相信學(xué)生的原則,教師提供了豐富的探究材料。因此在寬松的探究氛圍中,學(xué)生的思維十分活躍,轉(zhuǎn)化方法多樣,探究的效果明顯。在多次的試教中學(xué)生的思維也呈現(xiàn)出多樣性,就如這節(jié)課課堂上學(xué)生的表現(xiàn)各不一樣。如果充分地相信學(xué)生,學(xué)生就會(huì)給你意想不到的驚喜。
第二,“轉(zhuǎn)化”思想對(duì)創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。這節(jié)課學(xué)生的表現(xiàn)讓我深感學(xué)生的創(chuàng)新能力絕不是一節(jié)課就能培養(yǎng)起來的,學(xué)生能夠想出那么多種方法要以前幾節(jié)課的探究平行四邊形和三角形的面積為充分的基礎(chǔ)。給學(xué)生的探究活動(dòng)提供充足的時(shí)間和空間,以及必要的指導(dǎo)。學(xué)生的自主探究能力要經(jīng)過一定量的積累,不可能一蹴而就。作為教師,我們要在自己的每一節(jié)課上扎扎實(shí)實(shí)給學(xué)生打好知識(shí)的基礎(chǔ),更要到好能力培養(yǎng)的基礎(chǔ),長期進(jìn)行思維訓(xùn)練,學(xué)生探究的效率會(huì)越來越高,創(chuàng)新能力也會(huì)越來越強(qiáng)。
第三,創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)探究欲望。創(chuàng)設(shè)了幫助計(jì)算車窗玻璃的面積的問題情境,學(xué)生確實(shí)被這一情景吸引,對(duì)探究新知充滿了熱情和期待,也為后續(xù)的猜測(cè)將梯形轉(zhuǎn)化成什么圖形求面積以及自主探究活動(dòng)推導(dǎo)梯形的面積公式起到了重要的作用。使學(xué)生在計(jì)算的過程中體會(huì)了上下底及高的大小對(duì)梯形面積大小的影響。
不僅如此,教師做了一個(gè)首尾呼應(yīng),在公式推導(dǎo)出來以后,現(xiàn)在你能幫忙算出梯形車窗玻璃的面積了吧?條件也不是直接出示,而是問學(xué)生:你需要什么條件求面積?學(xué)生根據(jù)剛才對(duì)梯形面積公式的推導(dǎo)研究回答:知道這個(gè)梯形車窗玻璃的上底、下底和高我就會(huì)求梯形的面積了。