楊虎

[摘 要] 數(shù)學(xué)習(xí)題課變式教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要課型，它注重學(xué)生縱橫聯(lián)系與一個“點”及“技能”相關(guān)的知識的培養(yǎng)，強調(diào)合作與探究，提倡同伴間交流、師生間互動. 數(shù)學(xué)習(xí)題課變式教學(xué)常常以一道或幾道題為線索，引導(dǎo)學(xué)生進行習(xí)題變式，將某一點或一部分知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的技能與技巧，從而培養(yǎng)學(xué)生的探索意識，發(fā)現(xiàn)問題，多角度思考問題的意識，優(yōu)化解題方法，強化發(fā)散與聚合思維的提升，促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

[關(guān)鍵詞] 多解多變；習(xí)題變式；提升素養(yǎng)

習(xí)題變式課是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一種重要課型，它既不同于新授課，也不同于復(fù)習(xí)課.新授課教學(xué)目標(biāo)更集中，只是解決知識上的一個或幾個“點”；復(fù)習(xí)課是根據(jù)學(xué)生的基本情況而定，通過學(xué)生的再認識、再實踐，進一步提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和運用知識解決問題的能力. 而利用變式進行習(xí)題課則更應(yīng)注重學(xué)生縱橫聯(lián)系與一個“點”及“技能”相關(guān)的知識的培養(yǎng)，強調(diào)合作與探究，提倡同伴間交流、師生間互動，以一道或幾道題為線索，將某一點或一部分知識轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的技能與技巧，從而強化發(fā)散與聚合思維的提升. 如果數(shù)學(xué)變式習(xí)題課教學(xué)拿捏到位、引導(dǎo)有方，那么對學(xué)生的學(xué)習(xí)往往能夠起到良好的效果. 經(jīng)驗表明，讓學(xué)生自主表達對變式習(xí)題課的理解，教師積極啟發(fā)，給予學(xué)生必要的幫助，是一種行之有效的教學(xué)策略. 本文將一節(jié)以代數(shù)式的最值問題為線索展開的變式習(xí)題課教學(xué)的主要片段做一展示，并對數(shù)學(xué)變式教學(xué)進行思考，也是對筆者承擔(dān)的2017年度甘肅省“十三五”教育科學(xué)規(guī)劃立項課題“中學(xué)數(shù)學(xué)變式教學(xué)策略研究”在實踐中的一次應(yīng)用探索.

教學(xué)變式課題引入——一道競賽最值題

師：同學(xué)們，今天我們將從一道代數(shù)最值問題開始這堂課的探究之旅，請同學(xué)們看下面的這道例題（板書）：

題目：（2016年甘肅省高中數(shù)學(xué)競賽第1題）若實數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值為__________.

眾生：觀察題目，進行思考.

師：有一類題目常會出現(xiàn)“最大”“最小”“最多”“最少”“至多”“至少”這樣的字眼，這類問題被稱為最值問題. 最值問題在歷年的高考試題中也都有所涉及，數(shù)學(xué)競賽中最值問題更是受到命題者的青睞，這道題目就是甘肅省2016年的高中數(shù)學(xué)競賽題.作為最值問題它經(jīng)常與函數(shù)、方程、不等式、向量、幾何等知識交匯，以一些基礎(chǔ)題或小綜合的中檔題出現(xiàn). 由于其解法比較靈活，對綜合知識及能力要求也較高，所以對最值問題的解決，需要掌握數(shù)學(xué)各分支知識，綜合運用各種數(shù)學(xué)基本技能，選擇適當(dāng)合理的解題方法. 同學(xué)們覺得這道題目該從哪里入手比較好呢？

眾生：應(yīng)該利用基本不等式來解決……換元應(yīng)該會更好……如何換元呢？

大家開始竊竊私語，有的學(xué)生躍躍欲試. 全國各地的中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中，預(yù)賽的試題難度基本與高考試題難度相仿，特別是高考中的一些壓軸題常常是競賽一試試題改編或者由某一問演變而來，所以探索競賽題對高考也是一種很好的指導(dǎo)，可以居高臨下，占據(jù)制高點進行探究學(xué)習(xí).

教學(xué)片段展示及感悟

1. 教學(xué)片段1：同合作共交流，探多解優(yōu)解法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中我們常常有這樣一種理念，與二輪復(fù)習(xí)要把書“讀薄”不同的是在一輪復(fù)習(xí)中更需要我們把書“讀厚”，從一個點延伸到一條線，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生探索，從一條線再到一個面，縱橫聯(lián)系使孤立的數(shù)學(xué)知識有機結(jié)合，探索不同的解題思路與解題方法，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想的博大精深.

師：請同學(xué)們自己先盡量用多種方法探索求解，然后按照我們以前上課時的分組在小組內(nèi)交流，比較哪種方法好，比較自然.

眾生：探索求解，小組交流，討論.（教師巡視，指導(dǎo)）

師：下面請各小組選一名代表展示解法.

眾生：積極思考.

生7的發(fā)言顯然是受到生6的啟發(fā)，在相互交流與討論中，學(xué)生們的思想在碰撞，創(chuàng)新的火花也在不斷顯現(xiàn)，生8在與同學(xué)的討論中得到了一種新穎的解法——和差代換法，得到了學(xué)生們熱烈的掌聲.

師：同學(xué)們展示的解法都很好，再想想有沒有別的解法？

眾生：搖頭.

看著有些學(xué)生搖頭，也有的學(xué)生又陷入沉思，欲言又止，筆者突然想起孔子提出的最佳教學(xué)時機：“不憤不啟，不悱不發(fā).” “憤”是學(xué)生對問題積極思考，急于解決而未能弄懂時的矛盾心理狀態(tài)；“悱”是學(xué)生對問題已有所思考，想說又難以表達的另一種矛盾心理狀態(tài). 二者都蘊含著學(xué)生解決矛盾時的需要和強烈的求知欲，于是筆者借機引導(dǎo)，啟發(fā)學(xué)生思考探索.

師：同學(xué)們可以從構(gòu)造法這方面思考，看看有什么新的發(fā)現(xiàn)沒有.

眾生：構(gòu)造？（沉思，交流想法）

師：是的，比如構(gòu)造我們以往解決一些代數(shù)式問題時的方法——構(gòu)造齊次式，或者從既可以像數(shù)一樣滿足“運算性質(zhì)”進行代數(shù)形式的坐標(biāo)運算，又可以利用其幾何意義進行幾何形式的恒等變換的“向量”入手呢？

眾生：表情豐富，臉上寫滿了喜悅. （掌聲）

師：同學(xué)們表現(xiàn)很棒！下面請大家對以上解法進行評價，看哪一種解法較好、較自然.

在學(xué)習(xí)過程中滲透進評價，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓評價來促進學(xué)生的主動學(xué)習(xí)，同時通過解法的比較，培養(yǎng)學(xué)生的理性批判思維及養(yǎng)成解后反思的良好習(xí)慣.

生10（五組）：我認為一組和二組的解法較好，這是解決最值問題的常用方法，由均值不等式便可以消去項“xy”，化成關(guān)于“（x+y）2”的不等式，達到了化繁為簡、化難為易的目的.

生11（二組）：我覺得三組的解法最簡單，柯西不等式可以說是求解最值問題的一把“利劍”，只要配湊合理，運用得當(dāng)，常常是“一招制敵”.

生12（六組）：我認為四組的解法較自然，這種解法雖然從代數(shù)換元入手，但是其實質(zhì)是方程思想的體現(xiàn)，通過構(gòu)造了一元二次方程，利用判別式使得求解思維常規(guī)化.

生13（一組）：我認為五組的解法中的和差代換法較新穎，同樣是代數(shù)換元這里由于利用了和差代換，所以x+y還是可以用含一個變量a的式子表示，視角不同，換的“元”不同，效果亦然不同.

生14（三組）：我認為三角換元更好，通過對已知等式配方，創(chuàng)造了三角換元的條件，顯然運算要比代數(shù)換元簡捷一些，不失為本題的最佳解法.

生15（一組）：我們一組的構(gòu)造齊次式求解更好，通過對“1”的代換，構(gòu)造條件和問題的齊次式，轉(zhuǎn)化為含有一個變量的問題，從而順利求解. 當(dāng)然在構(gòu)造齊次式后也可以利用方程思想，由判別式求解.

師：同學(xué)們分析得很好，對每種解法分析理解得很透徹！通過比較、分析，其實每種解法各有千秋，他們分別是從不同的角度進行思考的，這也給了我們很好的啟示：在解題時首先要認真審題，觀察題目的特征，其次要結(jié)合自己的知識儲備，靈活選取合適的解題方法，恰當(dāng)運用數(shù)學(xué)思想來指導(dǎo)解題.特別是在復(fù)習(xí)階段，知識高度交會，一道題目能夠融入多個知識點，利用多種方法解決.可以說沒有某道題的最好解法，只有每個人的自然解法，最優(yōu)解法.

感悟：變式教學(xué)離不開師生的合作與探究，在合作與探究中一方面強調(diào)通過問題來進行學(xué)習(xí)，把問題看做是學(xué)習(xí)的動力、起點和貫穿學(xué)習(xí)過程的主線；另一方面通過學(xué)習(xí)來生成問題，把學(xué)習(xí)過程看成是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程，比如在本例中對這道代數(shù)式最值題解法的探究就是這節(jié)課的主線，由此引出了學(xué)生的探究之旅. 而在探究的過程中，教師要善于為學(xué)生提供盡可能多的機會引導(dǎo)學(xué)生探究，學(xué)生在獨立思考的基礎(chǔ)上，再通過與同伴的交流，共同討論，相互啟發(fā)，從而達到提升的目的；同時教師要給學(xué)生創(chuàng)造一個寬松、和諧、民主的心理氛圍，給學(xué)生心理安全感，而心理安全、心理自由正是學(xué)生主動探索、合作交流的搖籃. 在變式教學(xué)中通過多解探索、變式探索灌輸給學(xué)生必要的數(shù)學(xué)思想方法，因為數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈魂，是對數(shù)學(xué)知識高層次的概括和抽象，利用數(shù)學(xué)思想方法來指導(dǎo)數(shù)學(xué)變式學(xué)習(xí)，可以提高數(shù)學(xué)教與學(xué)的效率，達到事半功倍的效果.但是數(shù)學(xué)思想不是游離于數(shù)學(xué)知識之外，而是滲透在數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展和運用的過程中的，這就要求教師在變式教學(xué)中要有目的地引導(dǎo)學(xué)生，師生合作、生生交流，讓學(xué)生通過探思路、尋解法，展示思維的形成過程，對數(shù)學(xué)認知達到一個新的層次高度.

2. 教學(xué)片段2：順勢導(dǎo)試改編，尋變式促提升

師：剛才我們對這道題目的解法進行了探索、討論、求解，下面我們來試著進行變式訓(xùn)練，看哪位同學(xué)編的問題新穎、獨特.

眾生：積極思考，探究. （教師巡視，時而回答學(xué)生提出的問題，時而參與學(xué)生的討論、交流）

生16：改變題目的條件得到變式1：若實數(shù)x，y滿足x2+y2+4x=-1，則x+y的最值為__________.

師：很棒，其他同學(xué)呢，請將改編的題目展示一下.

通過探索討論，歸納整理，邀請變式題目編寫比較有代表性的生17到黑板前展示：

生17：改變題目的問題得到變式2：若實數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=1，則x2+y2的最值為__________.

師：可以看出以上兩位同學(xué)是從改變題目的條件與問題入手的，能不能將題目的條件與問題都進行改編呢？

生18：對題目的條件與問題都變化得到變式3：若實數(shù)x，y滿足4x2+y2-xy=25，則3x2+y2的最值為__________.

師：很好，這幾個變式都很有特點，請大家談?wù)勛约簩@幾個變式題解法的理解.

生19：通過初步試探變式1利用換元、判別式、柯西不等式、數(shù)形結(jié)合皆可解.

生20：變式2的解決方法更多，但是變式3除了利用換元與判別式外，其他方法不太好操作.

師：大家分析得很細致，再看看這幾個變式題目解法的共性.

生3：以上3個變式題都可以利用換元法解決，所以通過換元思想，利用三角換元是解決以上問題較為“簡單”的方法，也是通法之一.

眾生：贊同生3的說法.

師：那幾位同學(xué)利用三角換元對這3個變式題進行解答，展示一下.

師：很棒！在以上的變式探索中，同學(xué)們思維活躍，表現(xiàn)積極，充分發(fā)揮了你們的聰明才智，改編的變式題目都很獨特，由于時間關(guān)系個別同學(xué)的成果還沒有得到展示，課后我們再交流討論.

感悟：“變式”在心理學(xué)認為，其含義是變換材料的出現(xiàn)形式.在教學(xué)中是指教師在引導(dǎo)學(xué)生認知事物屬性的過程中，不斷變更所提供的直觀材料或者事例的呈現(xiàn)形式，使事物的非本質(zhì)屬性時隱時現(xiàn)，而本質(zhì)屬性保持恒定. 在本例中，通過改變題目的條件、改變題目的問題或者把題目的條件與結(jié)論同時改變，讓學(xué)生由對一道題目的探索求解達到“會一片通一類”的目的，整個過程應(yīng)遵循“目標(biāo)導(dǎo)向、啟迪思維、暴露過程、主體參與、探索創(chuàng)新”的教學(xué)原則，以提升學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力.

教學(xué)反思

1. 變式教學(xué)有利于師生優(yōu)化解法增強解題能力

一題多解與一題多變是數(shù)學(xué)變式教學(xué)的有效模式，數(shù)學(xué)教學(xué)如果少了解題，就顯得索然無味；數(shù)學(xué)教師如果不善于解題，課堂也會蒼白無力，所以解題是數(shù)學(xué)教學(xué)少不了的元素.而于教師而言，進行解法探索、一題多解是教師優(yōu)化解題、善于解題，提升教學(xué)基本功的有效手段；于學(xué)生而言，對解題進行全方位思考，對解法進行多角度探索、比較，有利于學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng).在本題解法探索中，作為教師還可從復(fù)數(shù)的角度，甚至其他高等數(shù)學(xué)知識層次再思考；從學(xué)生出發(fā)我們則更應(yīng)該關(guān)注哪一種方法是相對簡單的，哪一種方法是學(xué)生最容易想到的、最自然的、最優(yōu)的. 簡單可以以運算過程的繁簡、思維含量的大小來衡量，自然解法則就因人而異了，與解題者的知識儲備、經(jīng)驗等諸多因素有關(guān)，所以只有在一題多解、進行解法探索的過程中，我們才能體會、比較哪種解法較簡單，哪種思路最能引起學(xué)生思維的碰撞共鳴而成為最優(yōu)解法.

解法探索是尋求一題多解，變式探索是追求多題歸一. 一題多解、一題多變也是很多教師平時解題教學(xué)較多采用的方法之一，特別是一題多變、多解歸一，從一道題到一類題，從特殊到一般，在解一類題的實踐與探索中尋求解決問題的一般思路，歸納一般規(guī)律，形成一般思想與方法，讓教師更好地理解數(shù)學(xué)教學(xué)，更好地引導(dǎo)學(xué)生進行學(xué)習(xí)與思考；讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，提升運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力.？搖

2. 變式教學(xué)有利于突出學(xué)生的主體地位，提升思維能力

首先，變式教學(xué)較好地體現(xiàn)了新課程的教學(xué)理念. 變式教學(xué)注重以現(xiàn)代教育理論為指導(dǎo)，從精心設(shè)計問題到引導(dǎo)探索發(fā)現(xiàn)、展現(xiàn)問題形成過程，注重知識建構(gòu)、摒棄題海戰(zhàn)術(shù)、提高應(yīng)變能力、優(yōu)化思維品質(zhì)、培養(yǎng)創(chuàng)新精神為基本要求，以知識變式、題目變式、思維變式、方法變式為基本途徑. 遵循目標(biāo)導(dǎo)向、啟迪思維、暴露過程、主體參與、探索創(chuàng)新的教學(xué)原則，以培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力的人才為目標(biāo). 它強調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師要調(diào)動學(xué)生的自覺性、主動性實現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用與學(xué)生的主體作用有機結(jié)合，可以充分挖掘?qū)W生的潛能，有效地培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力、探究能力和良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣. 所以變式教學(xué)較好地體現(xiàn)了新課程的教學(xué)理念，具有鮮明的時代性，在課堂教學(xué)中合理地利用變式教學(xué)有利于培養(yǎng)學(xué)生研究、探索問題的能力，促進學(xué)生思維能力的提升，是增強“三基”教學(xué)與提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要途徑.

其次，變式教學(xué)能有效地促進學(xué)生的發(fā)展，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人. 變式教學(xué)就是以學(xué)生的發(fā)展為中心，把知識從不同的角度、以不同的形式展示給學(xué)生，讓學(xué)生深入挖掘、思考，注重一題多解、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性. 它打破了學(xué)生的定向思維，讓學(xué)生在變式教學(xué)中體會知識點的千變?nèi)f化，以更加靈活的方式去學(xué)習(xí)、理解數(shù)學(xué)知識，掌握運用數(shù)學(xué)知識. 同時在變式教學(xué)中師生的關(guān)系也在悄悄發(fā)生轉(zhuǎn)變，教師在教學(xué)實踐過程中學(xué)會了反思，重新認識學(xué)生，更加尊重學(xué)生人格，關(guān)注學(xué)生個體差異，以滿足不同學(xué)生發(fā)展的需要；重新審視自己，努力實現(xiàn)自身角色轉(zhuǎn)換.通過變式教學(xué)，教師不僅僅是知識的傳授者，更是要做學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者. 在引導(dǎo)與合作中拉近了與學(xué)生的關(guān)系，建立起積極參與共同發(fā)展的、平等的師生關(guān)系，讓學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位不斷地增強，使得讓每個學(xué)生在課堂中都能夠獲得成功的體驗成為可能.