葉延亮

摘 要：初中數(shù)學(xué)方案設(shè)計是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一項重要內(nèi)容，重視考查現(xiàn)實情況轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)情境方案的設(shè)計與決策，能更好地促進學(xué)生的能力提升.初中數(shù)學(xué)方案設(shè)計常見的數(shù)學(xué)模型有：方程（組），一元一次不等式（組），一次、二次函數(shù)或反比例函數(shù)，概率統(tǒng)計，幾何知識等等.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；方案設(shè)計；常見類型

數(shù)學(xué)建模是一種運用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的數(shù)學(xué)的思考方法，也是一種強有力的數(shù)學(xué)手段[ 1 ].用數(shù)學(xué)模型去分析、解決方案設(shè)計類型，能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，增強學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維.以下就初中數(shù)學(xué)方案設(shè)計常見類型等進行一些淺析.

1 運用方程（組）方案設(shè)計

【例題1】王麗同學(xué)帶20元錢到商店購買水筆和筆記本，已知每支水筆的單價為2元，每本筆記本的單價為3元，如果20元剛好用完，那么有幾種購買水筆和筆記本的方案？

解析：認真閱讀題意，理解重要性的句子.已知每支水筆的單價為2元，每本筆記本的單價為3元，20元剛好用完.找出等量關(guān)系式，通過設(shè)兩個未知數(shù)，可構(gòu)建出二元一次方程模型，再依未知數(shù)的實際含義，解出二元一次方程的解，從而解答了方案設(shè)計問題.

解答：設(shè)購買x支水筆，y本筆記本.根據(jù)題意得，2x+3y=20 . ∵x，y為非負整數(shù)， ∴x=10 ，y=0； x=7， y=2； x=4，y=4 ； x=1，y=6 .故有4種方案.方案1：購買10支水筆，0本筆記本；方案2：購買7支水筆，2本筆記本；方案3：購買4支水筆，4本筆記本；方案4：購買1支水筆，6本筆記本.

2 運用不等式（組）方案設(shè)計

【例題2】林華同學(xué)到新華都超市購買學(xué)習(xí)用品，她用了18元剛好買了一副三角板和3個圓規(guī)；若用31元則可買同樣的2副三角板和5個圓規(guī).①求每副三角板和每個圓規(guī)的單價；②期中考后，學(xué)校為了獎勵成績突出的同學(xué)，用了200元錢購買上述價格的三角板和圓規(guī)共48件，且圓規(guī)的數(shù)量不小于三角板的數(shù)量，請寫出所有的購買方案.

解析：認真閱讀題意，理解重要性的句子.18元剛好買了一副三角板和3個圓規(guī)；31元買了同樣的2副三角板和5個圓規(guī).從中找出兩個等量關(guān)系式，構(gòu)建出方程（組）模型.題目中還有一個重要的語句：用了200元錢購買上述價格的三角板和圓規(guī)共48件，且圓規(guī)的數(shù)量不小于三角板的數(shù)量.根據(jù)這兩個含有不相等關(guān)系的語句，可找出含兩個不等量的關(guān)系式，設(shè)出一個未知元，列出不等式組，解得未知元的解集.又考慮未知元的實際意義，從而確定所需的購買方案.

解答：①設(shè)每副三角板單價是x元，每個圓規(guī)的單價是y元，依題意得， x+3y=18 ，且 2x+5y=31 .解得 x=3，y=5.故每副三角板單價是3元，每個圓規(guī)的單價是5元.②設(shè)購買a副三角板，購買（48-a）個圓規(guī)，依題意得 3a+5（48-a）≤200 ，且48-a≥a.解得20≤a≤24 .又∵a為正整數(shù)，∴a=20，21，22，23，24. 所以一共有5種方案.方案①購買20副三角板，28個圓規(guī)；方案；②購買21副三角板，27個圓規(guī)；方案③購買22副三角板，買26個圓規(guī).方案；④購買23副三角板，購買25個圓規(guī)；方案⑤購買24副三角板，24個圓規(guī).

3 運用函數(shù)方案設(shè)計

【例題3】陽光棉布廠存有A種布料重360千克，B種布料重290千克，計劃利用這兩種布料加工制造甲，乙兩種產(chǎn)品共50件.已知加工每件甲產(chǎn)品需要用A種布料9千克，B種布料3千克，可獲利300元；加工每件乙產(chǎn)品需要用A種布料4千克，B種布料10千克，可獲利320元.問如何加工制造 甲，乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)使得總利潤最大，最大是多少？

解析：在閱讀審題中，理解關(guān)鍵的語句：陽光棉布廠存有A種布料重360千克，B種布料重290千克，計劃利用這兩種布料加工制造甲，乙兩種產(chǎn)品共50件.這語句相當于加工甲種產(chǎn)品所需A種布料重不超過360千克，加工乙種產(chǎn)品所需B種布料重不超過290千克.根據(jù)兩個不等量關(guān)系式，構(gòu)建出不等式組模型.根據(jù)題意： 如何加工制造甲，乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)使得總利潤最大，最大是多少？依總利潤的概念，可建構(gòu)出函數(shù)模型，從而確定利潤最大時的設(shè)計方案.

解答：設(shè)加工甲種產(chǎn)品x件，加工乙種產(chǎn)品（50-x）件.依題意得，9x+4（50-x）≤360，且 3x+10（50-x）≤290.解得 30≤x≤32 .因此有3種設(shè)計方案.設(shè)總獲利為W，則W=300x+320（50-x）=-20x+16000， 所以W是x的一次函數(shù)，且W隨著x的增大而減小.又∵30≤x≤32，∴當x=30時，W最大，最大值為W=-20×30+16000=15400.∴50-x=20. ∴加工甲種產(chǎn)品30件，加工乙種產(chǎn)品20件才能使利潤最大，最大值為15400元.

小結(jié)方程、不等式、函數(shù)型方案設(shè)計題的一般步驟：

①認真審題，找出問題中反映已知量與未知量的等量關(guān)系或不等量關(guān)系的語句，根據(jù)這些語句，建立方程、不等式或函數(shù)模型；

②設(shè)合適的未知元，構(gòu)建方程（組）、不等式（組）或函數(shù)關(guān)系式；

③解方程（組）或不等式（組），求出方程的解，或不等式（組）的解集，或函數(shù)的最值；

④根據(jù)方程的特殊解或不等式的正整數(shù)解，確定解決實際問題的最優(yōu)方案.

4 運用概率統(tǒng)計方案設(shè)計

【例題4】在木制的箱子中裝有4個除顏色外大小、重量均相同的乒乓球，球面分別寫上數(shù)字-1，-2，1，2.設(shè)計兩種游戲規(guī)則，使得這個游戲?qū)扇斯?，并說明理由.

方案①，搖勻后隨機摸出一個乒乓球，記下標注的數(shù)字，然后放回搖勻，又摸出一個乒乓球.A，B兩個人完成摸乒乓球游戲，如果A，B兩個人摸出乒乓球上標注的數(shù)字組成的坐標表示的點在 y=的圖像上，那么A獲得勝利；如果A，B兩個人摸出乒乓球上標注的數(shù)字組成的坐標表示的點在 y=的圖像上，那么B獲得勝利.

分析：認真閱讀題意后，知道了摸球游戲規(guī)則需要兩步完成，且第一次摸球后球有放回，需利用畫樹狀圖或列表的方法求出事件發(fā)生的概率.

理由：所有可能的結(jié)果如下表1

有16 種結(jié)果，每一種結(jié)果的可能性都相同.摸出乒乓球上標注的數(shù)字組成的坐標表示的點在 y=的圖像上有4種，即（-1，-2），（-2，-1），（1，2），（2，1）.摸出乒乓球上標注的數(shù)字組成的坐標表示的點在 y=的圖像上，有4種，即（-1，2），（-2，1），（1，-2），（2，-1）.所以P（A獲勝）=0.25，P（B獲勝）=0.25，P（A獲勝）=P（B獲勝），所以這是公平的游戲.

方案②， 搖勻后隨機摸出兩個乒乓球，記下標注的數(shù)字。如果A，B兩個人摸出乒乓球上標注的數(shù)字組成的坐標（a，b）滿足 b2 -a2 =3，那么A就獲勝；如果A，B摸出乒乓球上標注的數(shù)字組成的坐標（a，b）滿足b2 -a2 =-3，那么B就獲勝.

分析：認真審題后，知道了摸球游戲規(guī)則也需要兩步完成，并且第一次摸球后，球沒有放回，也需利用畫樹狀圖或列表的方法求出事件發(fā)生的概率.

理由：所有可能結(jié)果如表2：

共有12 種結(jié)果，每一種結(jié)果的概率相同.摸出乒乓球上標注的數(shù)字組成的坐標（a，b）滿足 b2 -a2 =3有4種，即（-1，-2），（-1，2），（1，-2），（1，2），A獲得勝利的概率為；摸出乒乓球上標注的數(shù)字組成的坐標（a，b）滿足b2 -a2 =-3有4種，即（-2，-1），（-2，1），（2，-1），（2，1），B獲得勝利的概率為，因此A，B獲勝概率相等，此游戲?qū)﹄p方公平.

5 運用幾何知識方案設(shè)計

【例題5】圖1 A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，王軍想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長.請你幫他設(shè)計出至少三種測量池塘兩端A，B距離的方案.

①先在池塘外邊上找到一個合適的點C，如圖1，連接AC，BC，再構(gòu)造△CDE全等于△CAB，測量出DE的長度，那么AB的長度就等于 DE的長度.

②先在池塘外邊上找到一個合適的點C，如圖2，連接AC，BC并分別取AC，BC的中點M，N，連接MN， 并測量出它的長度，那么AB的長度就等于2MN的長度.

③先在池塘外邊找到一個合適的點C，如圖3，使得AC垂直于AB，連接并測量出AC，BC的長度，利用勾股定理AB2=BC2-AC2，求出AB的長度.

6 加強初中數(shù)學(xué)方案設(shè)計常見類型的教學(xué)，促進學(xué)生能力的提升

（1）提升學(xué)生閱讀思考能力.在例題1的教學(xué)中，先引導(dǎo)學(xué)生認真審題，捕捉關(guān)鍵性的句子，“已知每支水筆的單價為2元，每本筆記本的單價為3元，如果20元剛好用完”，思考并理解其含義.其次，使學(xué)生在閱讀課本例題的解題過程中體驗思維過程如何用數(shù)學(xué)語言表達出來.這樣學(xué)生在問題思考中，慢慢感悟?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)的快樂，抓在閱讀中的靈感點，養(yǎng)成閱讀的好習(xí)慣，積累有益的閱讀經(jīng)驗.

（2）提升學(xué)生建模和創(chuàng)新能力.“數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的思想在本質(zhì)上有3個：抽象，推理，模型…，通過抽象，在現(xiàn)實生活得到數(shù)學(xué)概念和運算法則，通過推理得到數(shù)學(xué)公式、性質(zhì)和判定，使數(shù)學(xué)得到發(fā)展，然后通過模型建立數(shù)學(xué)與世界的聯(lián)系”[ 2 ].在例題2教學(xué)中從題目找出兩個等量關(guān)系式，構(gòu)建出方程（組）模型；在問題2中根據(jù)這兩個含有不相等關(guān)系的語句，可找出含兩個不等量的關(guān)系式，建立不等式組模型.在例3教學(xué)中從題目找出兩個不等量關(guān)系式，構(gòu)建出不等式組模型.根據(jù)題意： 如何加工制造甲，乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)使得總利潤最大，最大是多少？依總利潤的概念，可建構(gòu)出函數(shù)模型.方案設(shè)計題以日常生活實際問題為情景，在解決問題中需要建立方程（組）、不等式（組）、函數(shù)、概率統(tǒng)計、幾何等模型，構(gòu)建模型的過程就是實踐，創(chuàng)新的過程.

（3）提升學(xué)生數(shù)學(xué)語言表述能力.例題5教學(xué)中，教師運用ppt展示解題過程，或通過板演，或?qū)W生閱讀課本例題解題過程，讓學(xué)生得到規(guī)范性的數(shù)學(xué)語言表達.在鞏固練習(xí)時學(xué)生模仿教材和教師相同或相近的方法，自己親身嘗試表達過程，在師生交流，生生交流中感悟數(shù)學(xué)語言表達的得與失，從而提升數(shù)學(xué)語言表述能力.

（4）提升學(xué)生應(yīng)用決策的能力.例題3教學(xué)中通過建立不等式組模型，解出不等式組的解集，從而設(shè)計出符合要求的3種方案，計算出每一種方案所需的結(jié)論，結(jié)合實際做出科學(xué)決策.

因此，通過對方程（組）、不等式（組）、函數(shù)、概率、平面幾何知識等進行方案設(shè)計常見類型案例的淺析，一方面讓學(xué)生了解此類問題設(shè)計情景常常以日常生活實際問題為素材，也讓學(xué)生感知到此類問題設(shè)計是開放和應(yīng)用結(jié)合的綜合性類型.另一方面提升了學(xué)生的閱讀力、思考力、建模能力、應(yīng)用決策能力和數(shù)學(xué)語言表述能力；增強了學(xué)生思維的發(fā)散性、收斂性、創(chuàng)新性等，也為今后解決更難的方案設(shè)計打下堅實基礎(chǔ).

參考文獻：

[1]李小玲.傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實驗一體化教學(xué)模式研究[J]考試周刊，2011（91）：11-15.

[2]史寧中.數(shù)學(xué)思想概論[M].長春：東北師范大學(xué)出版社，2015.