【摘要】：在整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)的理論體系中，不等式是其重要組成部分，也是解題的有力工具，因此，每年的高考數(shù)學(xué)都將不等式問(wèn)題作為重要考點(diǎn)之一，不僅邏輯性強(qiáng)、難度高，而且占分比重大。本文首先分析了不等式在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位，接著針對(duì)不同類型的不等式問(wèn)題的解法進(jìn)行了分析和總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】：高中數(shù)學(xué) 不等式 高考數(shù)學(xué).

一、不等式在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要地位

在高中數(shù)學(xué)理論體系中，不等式是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論的重要組成部分，而不等式問(wèn)題則貫穿了整個(gè)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，例如，不等式可以應(yīng)用在函數(shù)問(wèn)題、三角函數(shù)問(wèn)題、幾何問(wèn)題、平面向量問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題等[1-2]，不等式問(wèn)題的考查也集中在上述幾個(gè)方面的問(wèn)題。不等式問(wèn)題的分析和解答集抽象性、復(fù)雜性、邏輯性為一體，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中較難掌握、較為棘手的問(wèn)題，通常也出現(xiàn)在高考數(shù)學(xué)的壓軸題當(dāng)中。同時(shí)，在針對(duì)不等式問(wèn)題分析和學(xué)習(xí)的過(guò)程中，同學(xué)們不僅可以熟悉不等式問(wèn)題的基本概念，而且還能培養(yǎng)自身數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想，養(yǎng)成獨(dú)立思考的自主學(xué)習(xí)習(xí)慣和能力。因此，熟練掌握高中數(shù)學(xué)各種類型的不等式問(wèn)題的解法，不僅能夠提高高考數(shù)學(xué)成績(jī)，還能夠鍛煉同學(xué)們的動(dòng)手計(jì)算能力和邏輯思考能力，意義重大。

二、高中數(shù)學(xué)不等式問(wèn)題的類型與其對(duì)應(yīng)的解法探索

縱觀近十年的全國(guó)各個(gè)省份的高考數(shù)學(xué)題目，不難發(fā)現(xiàn)，不等式問(wèn)題往往很少單獨(dú)命題，出題人常常將不等式問(wèn)題與其他知識(shí)點(diǎn)（如：函數(shù)求導(dǎo)、解析幾何、數(shù)列等問(wèn)題）相結(jié)合，以不等式為解題工具來(lái)求定義域、函數(shù)單調(diào)性、未知數(shù)的取值范圍、函數(shù)極值問(wèn)題函數(shù)最值問(wèn)題等內(nèi)容[3]。因此，高中數(shù)學(xué)不等式問(wèn)題的出題方式和考查內(nèi)容主要為一下兩個(gè)方面：一是直接考場(chǎng)不等式的相關(guān)內(nèi)容，考查方式較為直接；二是引導(dǎo)學(xué)生以不等式作為工具，對(duì)其他重要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考查，這也是高考數(shù)學(xué)的重要考點(diǎn)。下面本文將列舉不同類型的不等式問(wèn)題并進(jìn)行解法探索。

1.不等式的性質(zhì)判斷與應(yīng)用

高中數(shù)學(xué)不等式的基本性質(zhì)主要有[4]：（1）對(duì)稱性；（2）傳遞性；（3）乘法單調(diào)性；（4）加法單調(diào)性；（5）同向不等式可加性；（6）同向正值不等式可乘性；（7）正值不等式可乘方；（8）正值不等式可開(kāi)方；（9）倒數(shù)法則。考查的重要不等式主要有：（1）基本不等式；（2）柯西不等式；（3）絕對(duì)值不等式；（4）排序不等式；（5）貝努力利等式等。高考命題人往往將不等式的基本性質(zhì)和重要不等式與其他主干知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合進(jìn)行交匯考查。

例題1：下面四個(gè)條件中，使成立的充分而不必要的條件是（ ）.

（A） （B） （C） （D）

分析：此題出自2011年全國(guó)卷，主要考查不等式充要條件的判斷，在解題過(guò)程中還要運(yùn)用好同向不等式可加性和正值不等式可乘方等不等式的性質(zhì)，通過(guò)逐項(xiàng)驗(yàn)證可解的答案為（A）。

例題2：若，，則一定有（ ）.

（A） （B） （C） （D）

分析：此題出自2014年四川卷。此題是判斷不等式能否成立。主要考查高中數(shù)學(xué)不等式問(wèn)題中同向同值不等式的可乘性，在解題過(guò)程中要注意同向和同正，因此通過(guò)對(duì)已知條件的分析，對(duì)已知條件進(jìn)行同解變形，因?yàn)椋?，即。又因?yàn)?，該條件既滿足同向又滿足同正，所以可以由同向同值不等式可得下式：，化簡(jiǎn)得，即正確答案為（D）。

例題3：將離心率為的雙曲線的是半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)（）同時(shí)增加個(gè)單位長(zhǎng)度，得到離心率為的雙曲線，則（ ）

（A）對(duì)任意的，， （B）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

（C）對(duì)任意的，， （D）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

分析：此題出自2015年湖北省高考題。命題人將不等式的基本性質(zhì)與圓錐曲線相結(jié)合，要想解答這道題，答題者不僅要理解不等式的基本性質(zhì)和圓錐曲線的基本性質(zhì)，還要將兩個(gè)不同的知識(shí)點(diǎn)相聯(lián)系，是一道典型的不等式問(wèn)題。

由雙曲線的離心率公式可得：，，因此，在選項(xiàng)中要比較和的大小，等

同于比較和的大小。

根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，可得；當(dāng)時(shí)，. 結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，可

知正確答案為（D）。

（由解題過(guò)程可知，盡管這道高考題看起來(lái)非常抽象，同時(shí)將圓錐曲線與不等式問(wèn)題相結(jié)合，增加了解題的復(fù)雜性，但是如果在審題和分析時(shí)明確命題人的出題思路，將兩個(gè)看似不相關(guān)的考點(diǎn)合理的聯(lián)系起來(lái)，解題難度就會(huì)大大下降。）

2.不等式的證明問(wèn)題

在高考數(shù)學(xué)中，不等式的證明常常作為壓軸題出現(xiàn)，可見(jiàn)對(duì)學(xué)生的邏輯思考能力和判斷分析能力是個(gè)有效的考查。這就要求學(xué)生在解題過(guò)程中要學(xué)會(huì)通過(guò)條件分析問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題與條件的關(guān)系推導(dǎo)出兩者之間的橋梁，進(jìn)而進(jìn)一步求解。

例題4：設(shè)函數(shù)，其中，證明.

證明：由，有

所以.

（此題出自2011年安徽省高考題，是證明絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考綱要求學(xué)生要會(huì)用比較法、分析法、綜合法等證明絕對(duì)值不等式。）

例題5：設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知，，.

①求的值；②求數(shù)列的通項(xiàng)公式；③證明：對(duì)一切正整數(shù)，有。

證明：①②的解題過(guò)程略。

③當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，. 當(dāng)時(shí)， 而

綜上，對(duì)于一切正整數(shù)，有.

（此題為2014年全國(guó)高考題。解題方法是常用的縮放法，而這種方法經(jīng)常會(huì)運(yùn)用不等式的性質(zhì)“”，“”或“”，“”對(duì)試題中的不等式進(jìn)行放縮?？梢?jiàn)，合理運(yùn)用解題方法對(duì)提高解題效率幫助很大。）

三、總結(jié)

總之，通過(guò)以上幾個(gè)例題可以看出，考題的形式和內(nèi)容，以及知識(shí)點(diǎn)的考查方式都千變?nèi)f化，近年來(lái)不少創(chuàng)新題涌現(xiàn)，不同類型的知識(shí)點(diǎn)之間往往會(huì)相結(jié)合進(jìn)行出題。但是，俗話說(shuō)“萬(wàn)變不離其宗”，所謂的“宗”，在高中數(shù)學(xué)就是指解題過(guò)程中的數(shù)學(xué)思想，雖說(shuō)命題人出題形式變化莫測(cè)難以捉摸，但是其考查的數(shù)學(xué)思想確實(shí)亙古不變的，學(xué)生在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中培養(yǎng)一個(gè)好的數(shù)學(xué)思想方法，有利于領(lǐng)悟題目所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而提高解題效率，得出分析問(wèn)題的處理方法。

【參考文獻(xiàn)】

【1】張尹浩.高中數(shù)學(xué)不等式應(yīng)用及學(xué)習(xí)策略[J].企業(yè)導(dǎo)報(bào)，2016（02）：137+3.

【2】張惠淑. 高中數(shù)學(xué)不等式高考試題分析與教學(xué)策略研究[D].天津師范大學(xué)，2012.

【3】陳超. 高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)策略研究[D].內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2016.

【4】李嚴(yán).高中數(shù)學(xué)不等式易錯(cuò)題型及解題技巧[J].亞太教育，2015（22）：50.

作者簡(jiǎn)介：姓名：歐陽(yáng)昱燾 學(xué)校：長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡濱江中學(xué) 班級(jí)：1606 籍貫：湖南瀏陽(yáng) 民族：漢 出生年月：2001.01