朱 宇

《植樹(shù)問(wèn)題》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第七單元“數(shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容，包括3 個(gè)例題和15道習(xí)題，著重研究生活中有關(guān)間隔現(xiàn)象蘊(yùn)含的規(guī)律。通過(guò)本單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生能充分經(jīng)歷觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理等數(shù)學(xué)活動(dòng)，初步體會(huì)解決植樹(shù)問(wèn)題的思想方法，經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型建構(gòu)過(guò)程，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

一、教材變化點(diǎn)

《植樹(shù)問(wèn)題》存在變量多、情況復(fù)雜、抽象水平高等諸多因素，因此，考慮到學(xué)生的認(rèn)知水平與理解能力，新教材將原四年級(jí)下冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”中的《植樹(shù)問(wèn)題》推延至五年級(jí)上冊(cè)。

1.題材更加鮮活。

為了激發(fā)學(xué)生的探究興趣，獲得更加深刻的建模體驗(yàn)，新教材保留了原教材“直線(xiàn)上的植樹(shù)問(wèn)題”（例1、例2），“封閉曲線(xiàn)上的植樹(shù)問(wèn)題”（例3），又進(jìn)一步充實(shí)了模型運(yùn)用的實(shí)際問(wèn)題，增加了“馬拉松比賽設(shè)置飲水點(diǎn)”“項(xiàng)鏈上的水晶”等新穎有趣的實(shí)際問(wèn)題。有效激發(fā)學(xué)生探究欲望，幫助學(xué)生多角度體會(huì)和運(yùn)用植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法。

2.突出畫(huà)圖策略。

《植樹(shù)問(wèn)題》最重要的數(shù)學(xué)思想就是模型思想，讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型的過(guò)程是教學(xué)難點(diǎn)。教材突出了線(xiàn)段圖的作用，通過(guò)幾何直觀幫助學(xué)生理解不同情況下植樹(shù)棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系，逐步建立植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。從形象的線(xiàn)段圖開(kāi)始，抽象出表示兩端都栽與兩端都不栽的線(xiàn)段圖，最后嘗試畫(huà)出封閉曲線(xiàn)上植樹(shù)的線(xiàn)段圖，并與“一端栽另一端不栽”的情況相關(guān)聯(lián)。

二、年段銜接點(diǎn)

《植樹(shù)問(wèn)題》實(shí)際上是一類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的形象說(shuō)法，通過(guò)點(diǎn)與段之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的探索，從本質(zhì)上完成數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)與理解。本課的教學(xué)并不是只讓學(xué)生會(huì)解決與之類(lèi)似的實(shí)際問(wèn)題，而是把解決植樹(shù)問(wèn)題的過(guò)程作為滲透數(shù)學(xué)思想方法的一個(gè)支點(diǎn)，為第三學(xué)段數(shù)學(xué)思想方法的進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

從廣義角度講，數(shù)學(xué)的概念、定理、規(guī)律、法則、公式、性質(zhì)、數(shù)量關(guān)系式、圖形、圖表、程序等都是數(shù)學(xué)模型。如“部分+部分=總量”“每份數(shù)×份數(shù)=總數(shù)”這兩個(gè)結(jié)構(gòu)，就是小學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的加法模型和乘法模型。從本質(zhì)上說(shuō)，《植樹(shù)問(wèn)題》屬于乘法模型，與“段數(shù)×段長(zhǎng)=總長(zhǎng)”這一基本數(shù)量關(guān)系有關(guān)。這個(gè)模型也適用于安裝路燈、敲鐘、鋸木頭等問(wèn)題，這些具體問(wèn)題事實(shí)上都有著相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

三、疑難問(wèn)題與策略建議

1.怎樣以“一一對(duì)應(yīng)”的思想統(tǒng)領(lǐng)？

本課教學(xué)的最終目的并不只是讓學(xué)生認(rèn)識(shí)規(guī)律，而是尋找規(guī)律產(chǎn)生的原因，建立“一一對(duì)應(yīng)”的思維方式。教學(xué)中不必過(guò)于強(qiáng)調(diào)“兩端都種”“只種一端”與“兩端都不種”這三種情況的區(qū)分，而應(yīng)該突出“一一對(duì)應(yīng)”的思想，為學(xué)生提供主動(dòng)探索的機(jī)會(huì)，并嘗試用“一一對(duì)應(yīng)”的方法說(shuō)明棵數(shù)和間隔數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

策略與建議：

（1）化繁為簡(jiǎn)。根據(jù)信息和背景材料對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，重點(diǎn)關(guān)注對(duì)關(guān)鍵字詞的理解，如“全長(zhǎng)100 米的路的一邊”“每隔5 米”“兩端要栽”等。在此基礎(chǔ)上，把現(xiàn)實(shí)中的“樹(shù)”和“間隔”抽象看成“點(diǎn)”和“段”。在研究策略的交流中，學(xué)生感受到100 米太長(zhǎng)了，主動(dòng)提出可以將100 米縮短成10米、20米進(jìn)行研究。

（2）聚焦本質(zhì)。教學(xué)中緊緊抓住植樹(shù)問(wèn)題的本質(zhì)即對(duì)應(yīng)問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)。當(dāng)樹(shù)和間隔一一對(duì)應(yīng)，棵數(shù)與間隔數(shù)一樣多（封閉圖形中棵數(shù)和間隔數(shù)正好一一對(duì)應(yīng)）；當(dāng)樹(shù)和間隔一一對(duì)應(yīng)，最后還多出一棵，這時(shí)棵數(shù)就比間隔數(shù)多“1”；當(dāng)間隔和樹(shù)一一對(duì)應(yīng)，最后樹(shù)沒(méi)有了，而間隔還有一個(gè)，這時(shí)樹(shù)比間隔少“1”。需要說(shuō)明的是，此對(duì)應(yīng)思想還可以由“一對(duì)一”輻射到“一對(duì)多”的情況。

（3）畫(huà)圖表征?！包c(diǎn)—段”一一對(duì)應(yīng)：畫(huà)一“點(diǎn)”再畫(huà)一“段”；或者“段—點(diǎn)”一一對(duì)應(yīng)：先畫(huà)一“段”再畫(huà)一“點(diǎn)”。依此重復(fù)，直至達(dá)到要求的長(zhǎng)度。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生比較“一一對(duì)應(yīng)”中完整與不完整的兩種情況：當(dāng)完全對(duì)應(yīng)時(shí)，點(diǎn)與段的數(shù)量相等；當(dāng)不完全對(duì)應(yīng)時(shí)，先出現(xiàn)的物體多“1”。學(xué)生借助線(xiàn)段圖和“一一對(duì)應(yīng)”的方法進(jìn)行驗(yàn)證，得出結(jié)論。再據(jù)此追問(wèn)：如果小路延長(zhǎng)到500 米、5000 米、50000米，還是兩端都栽，棵數(shù)和間隔數(shù)又有什么關(guān)系呢？根據(jù)規(guī)律進(jìn)行想象、推理活動(dòng)，讓模型逐步清晰起來(lái)。

2.怎樣借助線(xiàn)段圖促進(jìn)模型建構(gòu)？

本單元教學(xué)建議中明確指出，要用線(xiàn)段圖幫助學(xué)生思考，發(fā)展學(xué)生的模型思想。用線(xiàn)段圖促進(jìn)模型建構(gòu)，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)存在較大的難度。

策略與建議：

（1）從生活現(xiàn)象中提煉。首先，模擬植樹(shù)活動(dòng)，搭建從生活原型到抽象成線(xiàn)段圖的橋梁。再通過(guò)多媒體演示，把每一棵樹(shù)都看成一個(gè)點(diǎn)，從最左端開(kāi)始畫(huà)，每隔一段距離畫(huà)一個(gè)點(diǎn)，1 棵、2棵、3 棵……這樣就形成了數(shù)學(xué)上的植樹(shù)圖。在線(xiàn)段圖生成過(guò)程中，學(xué)生親眼目睹“路的一邊”“棵數(shù)”“每隔5 米”演變成線(xiàn)段圖上的“一條線(xiàn)段”“點(diǎn)數(shù)”“間隔”，直觀地認(rèn)識(shí)了間隔及間隔數(shù)。

（2）在比較辨析中感悟。學(xué)生畫(huà)線(xiàn)段圖探索三種情況下的植樹(shù)規(guī)律時(shí)，很多學(xué)生的思維出現(xiàn)混亂，特別是在一端栽一端不栽和兩端不栽的情況下，不知道怎樣畫(huà)棵數(shù)和間隔數(shù)。對(duì)此，首先要讓學(xué)生親身感受100 米畫(huà)完很麻煩，嘗試先研究“小數(shù)據(jù)”20 米的情況，滲透“以小見(jiàn)大”的方法。接著教師提出問(wèn)題：在全長(zhǎng)20 米的小路一邊植樹(shù)，每隔5 米栽一棵，有幾種栽法？請(qǐng)用線(xiàn)段圖表示出來(lái)。學(xué)生各自畫(huà)圖，只要符合“相鄰兩棵樹(shù)間隔5 米”，怎么種就怎么畫(huà)，想到幾種情況就概括、歸納幾種規(guī)律。特別提醒學(xué)生，先想一想要畫(huà)幾個(gè)間隔才是20 米。學(xué)生借助線(xiàn)段圖，自主提煉出三種植樹(shù)模型，并借助課件驗(yàn)證。

（3）在問(wèn)題抽象中建模。在“描述問(wèn)題—提出猜想—舉例驗(yàn)證—發(fā)現(xiàn)規(guī)律—解決問(wèn)題”的探索流程中，學(xué)生通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖、觀察線(xiàn)段圖、想象線(xiàn)段圖、運(yùn)用線(xiàn)段圖，把抽象的植樹(shù)問(wèn)題具體形象地呈現(xiàn)出來(lái)，再現(xiàn)生活中的植樹(shù)原型，豐富植樹(shù)問(wèn)題的表象，培養(yǎng)想象能力和抽象概括能力，讓植樹(shù)問(wèn)題模型根植于線(xiàn)段圖中。最后，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活實(shí)際，讓抽象的植樹(shù)問(wèn)題模型生動(dòng)鮮活，發(fā)展模型思想。

3.怎樣聯(lián)系生活夯實(shí)模型建構(gòu)？

雖然學(xué)生能理解三種情況下棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系，建立不同情況下棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系模型，但是在將模型應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候，往往發(fā)生偏差。所以，我們不僅要利用觀察、操作、歸納、類(lèi)比、猜測(cè)、驗(yàn)證等方法建構(gòu)模型，還要應(yīng)用模型特征去解釋生活中的現(xiàn)象，經(jīng)歷模型產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過(guò)程。

策略與建議：

（1）自制簡(jiǎn)易模型。把手掌張開(kāi)，五指四空兒，“指”表示“棵”，指與指之間的“空兒”表示“段”，表示兩端都種的情況，“棵數(shù)＝段數(shù)+1”；把大拇指彎曲，四指四空兒，表示一端種一端不種的情況，“棵數(shù)＝段數(shù)”；把大拇指和小指同時(shí)彎曲，三指四空兒，相當(dāng)于兩端都不種的情況,表示“棵數(shù)＝段數(shù)－1”。這個(gè)直觀模型還可以表示封閉路線(xiàn)上的植樹(shù)問(wèn)題。

（2）實(shí)例解釋模型。模型初步形成以后，要以圖片、文字等形式讓學(xué)生了解生活中與植樹(shù)問(wèn)題相似的現(xiàn)象，體會(huì)現(xiàn)實(shí)生活中如安裝路燈、擺花盆、剪繩子、排隊(duì)等實(shí)際問(wèn)題與植樹(shù)問(wèn)題含有相同的數(shù)量關(guān)系，都可以用植樹(shù)問(wèn)題的模型來(lái)解決。

（3）應(yīng)用拓展模型。我們不能只是簡(jiǎn)單套用模型，而應(yīng)通過(guò)有變式、有層次的實(shí)際問(wèn)題，引領(lǐng)學(xué)生縱向深化、內(nèi)化模型，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解。例如，在建立起“兩端都不栽”的模型后，可以設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：兩棟教學(xué)樓之間的道路全長(zhǎng)300米，在路的兩邊栽樹(shù)，如果每隔10米栽一棵，一共需要多少棵樹(shù)苗？讓學(xué)生由“兩棟教學(xué)樓”聯(lián)想到“兩端都不栽”，達(dá)到聯(lián)系生活、拓展模型的目的。也就是說(shuō)，既要通過(guò)探索活動(dòng)讓學(xué)生建構(gòu)植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，又要應(yīng)用模型特征去解釋生活中的現(xiàn)象，舉一反三，夯實(shí)數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)。

資料存盤(pán)

1.《植樹(shù)問(wèn)題》課標(biāo)要求與解讀。

“總目標(biāo)”中提出：在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法；學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想和思維方式。

“學(xué)段目標(biāo)”的第二學(xué)段中提出：嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并運(yùn)用一些知識(shí)加以解決；能探索分析和解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的有效方法，了解解決問(wèn)題方法的多樣性。

“課程內(nèi)容”的第二學(xué)段中提出：通過(guò)應(yīng)用和反思，進(jìn)一步理解所用的知識(shí)和方法，了解所學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，獲得數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

教材中設(shè)置“數(shù)學(xué)廣角”單元教學(xué)內(nèi)容，目的不是教會(huì)學(xué)生機(jī)械的公式和抽象的模型，而是讓學(xué)生體驗(yàn)探索建立模型的過(guò)程和數(shù)學(xué)思想方法。

2.本單元涉及的思想方法。

本單元的主要數(shù)學(xué)思想方法有：抽象的方法，數(shù)形結(jié)合思想，類(lèi)比的思想，歸納猜想、分類(lèi)討論、模型、化歸的方法。

3.與植樹(shù)問(wèn)題相關(guān)的系列問(wèn)題。

由植樹(shù)問(wèn)題拓展的問(wèn)題：環(huán)形植樹(shù)問(wèn)題、方陣植樹(shù)問(wèn)題、方陣外圈植樹(shù)問(wèn)題等；與植樹(shù)問(wèn)題類(lèi)似的其他領(lǐng)域問(wèn)題：“鋸木頭”中的段數(shù)與次數(shù)、“裝路燈”中燈的盞數(shù)與間隔、“爬樓梯”中的樓層數(shù)與階梯數(shù)等。