廣西壯族自治區(qū)桂平市第三中學(xué) 莫 琤
概念是對(duì)一個(gè)知識(shí)性質(zhì)高度的概括,如果對(duì)概念的理解足夠透徹,那么對(duì)于該知識(shí)點(diǎn)就能有一個(gè)大概的了解,函數(shù)的類型就不再是一個(gè)難以明白的問(wèn)題。下面舉例說(shuō)明一般學(xué)生在面對(duì)概念性問(wèn)題的類型。
在陜西2010高考時(shí)候有一道題,如下:下列四類函數(shù)中,具有性質(zhì)“對(duì)任意的X>0,Y>0函數(shù)f(x)滿足f(x+y)=f(x)f(y)”的是,對(duì)于結(jié)論我們并不重視,要重視的是學(xué)生面對(duì)這類問(wèn)題時(shí)候會(huì)犯的錯(cuò)誤。
面對(duì)此類問(wèn)題,只有熟練的掌握對(duì)基本初等函數(shù)的概念和性質(zhì)之后才會(huì)變得簡(jiǎn)單,因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)概念經(jīng)常會(huì)被學(xué)生混淆,所以本來(lái)很簡(jiǎn)單的問(wèn)題被學(xué)生用復(fù)雜的方式計(jì)算,既浪費(fèi)時(shí)間又增加錯(cuò)誤的幾率。
函數(shù)底數(shù)是一個(gè)重要的概念,對(duì)底數(shù)如何能夠清楚的辨別決定了函數(shù)的正確率高低。
如下,求函數(shù)的值域,學(xué)生面對(duì)這類問(wèn)題時(shí)候,往往都沒(méi)有考慮指數(shù)函數(shù)的底數(shù)是,這類型的函數(shù)是一個(gè)減函數(shù),于是在運(yùn)行不等運(yùn)算的時(shí)候需要將等號(hào)改變方向。這類問(wèn)題其實(shí)很多時(shí)候是細(xì)心就能避免的,面對(duì)此類型的問(wèn)題,主要還是要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)題目的重視意識(shí),不能一眼帶過(guò)就斷定結(jié)論。
在2010年廣東文科高考的數(shù)學(xué)題目里面有一個(gè)就是考核學(xué)生對(duì)定義域的了解程度。如函數(shù)f(x)=lg(x-1)的定義域是,這道題看起來(lái)雖然是很簡(jiǎn)單,但它是基礎(chǔ)的表現(xiàn),很多時(shí)候考核不會(huì)直接的對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn),而是以該知識(shí)點(diǎn)為基礎(chǔ)進(jìn)行展開(kāi),來(lái)對(duì)其他知識(shí)點(diǎn)的考核。所以定義域的問(wèn)題值得我們的重視。
在應(yīng)對(duì)定義域的時(shí)候,最基本的方法就是抓住對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零的概念進(jìn)行解答。但是在實(shí)際解答的時(shí)候,很多學(xué)生還是會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤,主要是誤以為對(duì)數(shù)的真數(shù)應(yīng)該是大于或者等于零。其實(shí)只要牢牢的記住“零與負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)”這句話,定義域的問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單直接,再也不會(huì)對(duì)學(xué)生造成很大的困擾。
函數(shù)指數(shù)值是一個(gè)相對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題,無(wú)論是學(xué)生在學(xué)習(xí)的時(shí)候還是教師在講課的過(guò)程中,指數(shù)值的問(wèn)題都是一個(gè)很大的困擾。當(dāng)然這也是學(xué)生發(fā)錯(cuò)的頻繁領(lǐng)域,如果對(duì)于指數(shù)值的問(wèn)題不能有效的解決,學(xué)生在函數(shù)領(lǐng)域就始終有所障礙。
例如,現(xiàn)已知道關(guān)于x的方程4x+2x+a=0有解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。面對(duì)這道問(wèn)題,都是先將2x設(shè)為一個(gè)未知數(shù),在將原方程化為未知數(shù)的方式即t2+t+a=0,若要這個(gè)方程有解,則可以得出a是大于或等于這樣的答案。但是這樣的解答方式卻是因?yàn)楹鲆暳?x的取值范圍,如果推算下去可以得出假設(shè)的未知數(shù)不是任意實(shí)數(shù)的結(jié)論,也就等于走入了一個(gè)誤區(qū)。
指數(shù)值的取值范圍計(jì)算是一個(gè)比較麻煩的過(guò)程,因?yàn)橐紤]到各種情況和結(jié)果,這就要求學(xué)生對(duì)于這個(gè)問(wèn)題需要對(duì)概念有熟悉的理解和運(yùn)用。
[提醒]在研究指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性時(shí),當(dāng)?shù)讛?shù)與“1”的大小關(guān)系不明確時(shí),要分類討論
指數(shù)函數(shù)跟對(duì)數(shù)函數(shù)本身是屬于非奇非偶函數(shù),但是他們本身卻是可以通過(guò)跟其他函數(shù)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕M合變成奇函數(shù)或者是偶函數(shù),這樣的變通可以讓學(xué)生方便解答問(wèn)題。
如是一個(gè)奇函數(shù),問(wèn)其中a的取值為?
這道題考驗(yàn)的就是學(xué)生對(duì)于函數(shù)的奇偶性掌握,如果奇偶的概念熟練掌握的話,這樣的問(wèn)題當(dāng)然不會(huì)難住學(xué)生。這樣的問(wèn)題,關(guān)鍵還是在于對(duì)函數(shù)奇偶性質(zhì)的判斷,如兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù),這個(gè)概念也包含了即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)。奇函數(shù)在x=0處時(shí)函數(shù)值是0。當(dāng)然,如果不運(yùn)用這兩個(gè)性質(zhì)來(lái)解開(kāi)問(wèn)題,也可以直接運(yùn)用偶函數(shù)的定義式f(-x)=f(x)來(lái)對(duì)應(yīng),但是這就要求學(xué)生做題的時(shí)候有足夠的細(xì)心,因?yàn)樵诨?jiǎn)的時(shí)候常常會(huì)因此發(fā)生錯(cuò)誤。
對(duì)等原則是科學(xué)的基本原則,物理里面的基本定律:能量守恒定律,化學(xué)也有相關(guān)的公式,在函數(shù)里面,守恒也是重要的原則,在變形過(guò)程之中,如果兩個(gè)方面不守恒的話,就會(huì)出現(xiàn)荒謬的錯(cuò)誤。
如下算出的值域。很多學(xué)生在解決這道題的時(shí)候,對(duì)于變形過(guò)程的等價(jià)概念沒(méi)有清楚的把握。大多數(shù)在變形過(guò)程里面,由變形換得,這并不是一個(gè)等價(jià)變換的過(guò)程,而事實(shí)上,應(yīng)該是由變形換得,如果按照前者的變形來(lái)看的話,錯(cuò)解中的范圍就被變大,自然是得不到正確的答案了。
結(jié)語(yǔ):指數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)重要的組成部分,甚至在以后的數(shù)學(xué)知識(shí)里面也占據(jù)著很重要的地位,它的復(fù)雜成份讓學(xué)生對(duì)它的學(xué)習(xí)充滿了困難。老師在講授函數(shù)問(wèn)題的時(shí)候,不能再用傳統(tǒng)的講解方法,而是應(yīng)該積極的思考新的教育思路,讓學(xué)生對(duì)于函數(shù)不再是望而生畏,興趣是教學(xué)最好的推動(dòng)力,如果學(xué)生不能對(duì)函數(shù)的知識(shí)有興趣而只是心存畏懼,那么函數(shù)的教育只能是事倍功半。對(duì)指數(shù)函數(shù)的經(jīng)常錯(cuò)誤問(wèn)題做出歸類,也是方便學(xué)生和老師在學(xué)習(xí)時(shí)候能夠有清晰的思維。