張敏

摘 要：培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力，有益于提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，以小見大的聯(lián)想能力以及創(chuàng)新能力。中職學(xué)校數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行課上課下的教學(xué)活動(dòng)時(shí)，注重對學(xué)生培養(yǎng)合情推理能力可以促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。本文就如何在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中對學(xué)生進(jìn)行合情推理能力的培養(yǎng)做了探討。

關(guān)鍵詞：中職數(shù)學(xué) 合情推理 能力培養(yǎng)

數(shù)學(xué)發(fā)展史中的每一個(gè)重要的發(fā)現(xiàn)，都離不開合情推理的作用，如著名的四色定理。四色猜想一開始是由一位叫古德里的英國大學(xué)生根據(jù)哥哥繪制英國地圖時(shí)發(fā)現(xiàn)的，通過合情推理，提出猜想：“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用1、2、3、4這四個(gè)數(shù)字之一來標(biāo)記，而不會使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字?！边@是數(shù)學(xué)三大難題之一。1976年6月，四色定理最終在美國伊利諾斯大學(xué)的兩臺不同的電子計(jì)算機(jī)上用了1200個(gè)小時(shí)作了100億次判斷下完成了證明，轟動(dòng)了世界。

在日常生活中，推理也是無處不在的。醫(yī)生診斷病人的病癥，警察偵破案件，氣象專家預(yù)測天氣的可能狀態(tài)，考古學(xué)家推斷遺址的年代，數(shù)學(xué)家論證命題的真?zhèn)蔚鹊?，其中都包含了推理活?dòng)。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，合情推理能提高學(xué)生的思維能力，在對已經(jīng)掌握的知識進(jìn)行運(yùn)用時(shí)還可以培養(yǎng)創(chuàng)造能力。在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要有意識地培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，對比舊知，讓學(xué)生善于提出新奇的問題，猜想出結(jié)論，并驗(yàn)證真?zhèn)巍?/p>

一、合情推理的概念

合情推理，顧名思義是一種合乎情理的推理。數(shù)學(xué)學(xué)科邏輯性及關(guān)聯(lián)性較強(qiáng)。這就要求學(xué)生具有一定的合情推理能力。在新課標(biāo)的要求下，培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力已經(jīng)迫在眉睫。

歸納推理和類比推理統(tǒng)稱為合情推理。歸納推理是由個(gè)別事實(shí)概栝出一般結(jié)論，部分推出整體，個(gè)別推出一般的推理。例如：可以通過數(shù)三棱錐、四棱錐、三棱柱、四棱柱等的面數(shù)、頂點(diǎn)數(shù)和棱數(shù)，通過歸納、猜想出“凸多面體面數(shù)+頂點(diǎn)數(shù)-棱數(shù)=2”這一歐拉公式;再如著名的哥德巴赫猜想“任何一個(gè)大于2的偶數(shù)都等于兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，史稱數(shù)學(xué)皇冠上璀璨的明珠。當(dāng)然，不是所有的歸納推理都一定正確。而類比推理是通過對比兩個(gè)屬性相同或相似的對象，從而推斷出它們在其他屬性上也相同或相似的推理過程，是由特殊到特殊的推理。例如：根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列概念的區(qū)別和聯(lián)系，可以通過等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式推理出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式。再如由等式的性質(zhì)可以推導(dǎo)出不等式的性質(zhì)，由方程的根的情況推導(dǎo)出二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況。

二、培養(yǎng)合情推理能力的必要性

合情推理能力的培養(yǎng)有助于幫助學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，引導(dǎo)學(xué)生注重?cái)?shù)學(xué)知識點(diǎn)的聯(lián)系和遷移，培養(yǎng)學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)能力。就像通過類比合情推理，平面上的圓的概念與性質(zhì)可以推導(dǎo)出空間中的球的概念與性質(zhì)，如果教師能夠在日常的教學(xué)中幫助培養(yǎng)學(xué)生通過觀察、歸納、類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，在解決球的概念、表面積、體積算法時(shí)可起到事半功倍的效果，學(xué)生甚至可以在教師的輔助教學(xué)下自主學(xué)成本節(jié)內(nèi)容。所以在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)重視數(shù)學(xué)合情推理能力的培養(yǎng)。

三、合情推理的步驟

第一，觀察：觀察兩個(gè)對象之間的相似點(diǎn)和共通點(diǎn)，找到可以推理的方向。

第二，聯(lián)想：觀察到兩者之間的相似點(diǎn)后，聯(lián)想兩者的性質(zhì)類似，后者的性質(zhì)可由前者推理得到。有些表面上很普通、很平常的兩個(gè)問題若通過聯(lián)想能找到相似相通點(diǎn)，或許能使題目變得簡單易懂。

第三，推理探究：用歸納、類比猜想等方法推理探究新對象的性質(zhì)等。學(xué)生在大膽猜想中體驗(yàn)合情推理，在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明中體驗(yàn)演繹推理。

第四，得到問題結(jié)論并加以證明。合情推理的結(jié)論不一定正確，需要加以證明和檢驗(yàn)。

四、培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的主要活動(dòng)形式

教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中合情推理能力培養(yǎng)時(shí)，本身需要扎實(shí)的基本功，要對知識點(diǎn)的遷移做到游刃有余。此外，在做合情推理時(shí)，要教給學(xué)生：找到兩知識點(diǎn)間的聯(lián)系才是推理出準(zhǔn)確結(jié)論的依據(jù)。比如由圓的性質(zhì)“圓心與非直徑的弦的中點(diǎn)連線垂直于弦”推導(dǎo)出球的性質(zhì)“球心在不經(jīng)過球心的截面圓的圓心連線垂直于截面圓”;由圓的性質(zhì)“與圓心距離相等的兩弦相等，與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較遠(yuǎn)的弦較長”推導(dǎo)出球的性質(zhì)“與球心距離相等的兩截面圓面積相等，與球心距離不等的兩截面圓面積不等，距球心較近的截面圓面積較大”;由“以點(diǎn)P（x0，y0）為圓心，r為半徑的圓的方程為（x-x0）2+（y-y0）2=r2”推導(dǎo)出“以點(diǎn)P（x0，y0，z0）為球心，r為半徑的球的方程為（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2=r2”。此外，由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和為180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都為180°;由三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和為540°，得到凹多邊形內(nèi)角和為（n-2）×180°。

除了課堂的教育教學(xué)活動(dòng)以外，教師還需要注重生活中的數(shù)學(xué)應(yīng)用。許多游戲中也隱含著推理的要求，甚至有專門需要使用合情推理來解題的APP，教師可讓學(xué)生在課余時(shí)間下載學(xué)習(xí)。所以，中職數(shù)學(xué)教學(xué)中合情推理能力的培養(yǎng)，要進(jìn)一步拓寬發(fā)展的渠道，使學(xué)生感受到生活、活動(dòng)中處處有數(shù)學(xué)。

在數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，教師通過創(chuàng)設(shè)問題情境，引導(dǎo)學(xué)生細(xì)心觀察;變式訓(xùn)練，強(qiáng)化思維能力;特殊值代入，引導(dǎo)學(xué)生猜想。強(qiáng)化合情推理的意識，提升思維水平，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力的目的。

經(jīng)過筆者多年課堂教學(xué)效果來看，在中職數(shù)學(xué)中對學(xué)生的合情推理能力培養(yǎng)大致分為以下三個(gè)方面進(jìn)行。

1.觀察法

在教學(xué)過程中，教師要注重給學(xué)生必要的時(shí)間和空間進(jìn)行觀察，培養(yǎng)良好的習(xí)慣，提高觀察力和直覺性。這對發(fā)展合情推理能力有直接影響。例如，在講到“數(shù)列的通項(xiàng)公式”這一節(jié)課時(shí)，教師可以先給出例1：寫出前四項(xiàng)為“-1，1，-1，1，…”的無窮數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式。學(xué)生通過數(shù)列項(xiàng)的特點(diǎn)，合情推理出該規(guī)律與“負(fù)數(shù)的奇數(shù)次方為-1，偶數(shù)次方為1”相吻合，從而推導(dǎo)出該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=（-1）n。教師隨即提出例2：前四項(xiàng)為“1，-1，1，-1，…”的無窮數(shù)列的通項(xiàng)公式又該如何？學(xué)生自然而然推理出此時(shí)數(shù)列各項(xiàng)的規(guī)律與原規(guī)律略有偏差，從而得到該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=（-1）n+1。為了符合認(rèn)知規(guī)律、層層遞進(jìn)，引學(xué)生獨(dú)立思考，教師可以給出練習(xí)題：寫出前四項(xiàng)為“-1，4，-9，16，…”的無窮數(shù)列的一個(gè)的通項(xiàng)公式。學(xué)生能馬上通過合情推理得到該數(shù)列的各項(xiàng)的正負(fù)情況，遵循跳躍數(shù)列例1，數(shù)字大小是所在項(xiàng)數(shù)的平方，故得到結(jié)論：an=（-1）n·n2。如此，學(xué)生合情推理的能力會在每個(gè)例題與練習(xí)題中得到鍛煉并應(yīng)用到學(xué)習(xí)和生活中去。

2.實(shí)驗(yàn)法

學(xué)生在大膽猜想中體驗(yàn)合情推理，在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明中體驗(yàn)演繹推理。二者相輔相成、互相推動(dòng)，使學(xué)生的思維得到發(fā)展，能力得以提升。例如：設(shè)△ABC的三邊長分別為a，b，c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r=，類比這個(gè)結(jié)論可得：四面體P-ABC的四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的半徑為R，四面體P-ABC的體積為V，則R=。這個(gè)題目主要考察了學(xué)生合情推理的能力。三角形中，內(nèi)切圓的圓心，與其三個(gè)頂點(diǎn)的連線，構(gòu)成了三個(gè)小的三角形，并且有相同的高r，底邊分別是a，b，c，利用等面積法，我們得到S=r（a+b+c），所以r=。利用類比推理可知，在四面體內(nèi)切球半徑為R，四個(gè)面的面積分別為S1，S2，S3，S4，內(nèi)切球的球心與各頂點(diǎn)的連線，將一個(gè)四面體分割為四個(gè)小的四面體，以四面體的四個(gè)面為底面，高都為R的四面體，由等體積法，可得V=R（S1+S2+S3+S4），所以R=。

在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生觀察和實(shí)驗(yàn)，可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理和解決問題的方向和途徑，從而大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

3.提問法

在數(shù)學(xué)中，許多命題的發(fā)現(xiàn)，性質(zhì)的得出，甚至思路的形成和方法的創(chuàng)造，都是通過提問而開始的。比如：學(xué)了余弦函數(shù)與正弦函數(shù)的圖形和性質(zhì)后，可以提問學(xué)生，如果把余弦曲線與正弦曲線放在同一直角坐標(biāo)系中，兩條曲線有沒有關(guān)系呢？提問不僅有利于激發(fā)學(xué)生探究的興趣，也能夠讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)的方法自己得到結(jié)論：正弦曲線與余弦曲線的圖形一模一樣，但位置不同，即通過平移可以使兩條曲線重合。教師可以再提問：可以通過怎樣規(guī)律的平移來使得兩條曲線重合呢？學(xué)生通過兩條曲線的同一特征點(diǎn)的位置進(jìn)行判斷，比如最高點(diǎn)，判斷出正弦曲線可由余弦曲線向右平移個(gè)單位得到。教師還可以再提問：“只能是這樣平移嗎？平移距離最小的平移是怎么樣的？平移特點(diǎn)和規(guī)律能否總結(jié)出來？”學(xué)生的求知欲望被激發(fā)。問題由易到難，由淺入深，讓學(xué)生思想的火花四濺，討論熱烈，隨即會通過觀察和推理，得到多種平移方法并歸納出平移特點(diǎn)。層層遞進(jìn)的提問幫助學(xué)生通過合情推理找到答案，并牢固地掌握知識。

數(shù)學(xué)與生活息息相關(guān)，密不可分。教師在培養(yǎng)學(xué)生合情推理能力的過程中，還須關(guān)注生活中實(shí)際問題、熱點(diǎn)問題，挖掘生活素材，設(shè)法引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，在問題的解決過程中，培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，真正做到“生活即數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)即生活”。

在個(gè)別學(xué)生基礎(chǔ)薄弱，對數(shù)學(xué)學(xué)科興趣不是很濃的中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，對學(xué)生進(jìn)行合情推理能力的培養(yǎng)，是開發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性素質(zhì)的需要，更是全面開發(fā)大腦潛力的需要。對于學(xué)生來說，注重合情推理能力的培養(yǎng)不但提高了學(xué)生學(xué)習(xí)興趣學(xué)到了知識，而且會將日常事務(wù)中積累經(jīng)驗(yàn)方法用于學(xué)習(xí)解決問題。對于教師來說，課堂上注重這一能力的培養(yǎng)加大了學(xué)生對課堂的關(guān)注度，提高了教學(xué)效率，增加了課堂教學(xué)的趣味性，也在自然狀態(tài)下將合情推理提高到一個(gè)更加合理、更加科學(xué)的層次。

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（作者單位：嘉興技師學(xué)院）