朱立明

[摘? ?要] 對于絕對值內(nèi)容的教學(xué)，需要從明確絕對值的幾何意義、掌握絕對值的化簡步驟和做好絕對值與其他知識的融合三個方面入手，從而促使學(xué)生真正學(xué)會運用絕對值知識來解決問題，提升學(xué)生解決問題的能力.

[關(guān)鍵詞]絕對值;初中數(shù)學(xué);解決問題能力

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）05-0019-02

絕對值是學(xué)生最早接觸的知識點，它考查學(xué)生邏輯思維和綜合思考問題的能力.只有明確絕對值的幾何意義，才能更好地掌握絕對值的相關(guān)內(nèi)容，進(jìn)而有效解決絕對值的相關(guān)問題.

一、明確絕對值的幾何意義

在講解絕對值的幾何意義時，教師往往會一帶而過，只是簡單講解“絕對值不等于負(fù)數(shù)，它永遠(yuǎn)大于等于0”.但對于絕對值如何在數(shù)軸上表示并沒有進(jìn)行詳細(xì)的講解，這很容易導(dǎo)致學(xué)生不能真正明確絕對值的幾何意義，不能很好地利用絕對值知識解決問題.對此，在講解“絕對值的幾何意義”時，筆者讓學(xué)生在數(shù)軸上標(biāo)注絕對值的關(guān)鍵點.例如，在解[a-2>0]這道題時，筆者會提問：“這個絕對值在數(shù)軸上表示怎樣的含義？”學(xué)生通過分析得出：該絕對值表示距離數(shù)軸2的點大于0的區(qū)間.對此，筆者讓學(xué)生借助數(shù)軸來解該不等式，學(xué)生從數(shù)軸上可以直觀地找到不等式的解集{a|a≠2}.筆者對學(xué)生說：“掌握好絕對值和不等式的幾何意義，可以快速準(zhǔn)確地得出答案，避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算.”接著，筆者讓學(xué)生借助絕對值的幾何意義進(jìn)行問題處理.例如，求解不等式[x2-5x+6>3]時，筆者讓學(xué)生借助數(shù)軸及絕對值的幾何意義來解決.通過計算，學(xué)生求出方程[x2-5x+6=0]的解為x1 = 2，x2=3，并將這兩個點在數(shù)軸上標(biāo)注出來.通過對絕對值幾何意義的理解，學(xué)生將方程小于0的圖像經(jīng)過數(shù)軸對稱轉(zhuǎn)變?yōu)榉匠檀笥?的圖像.筆者點撥學(xué)生：“絕對值大于3，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y = 3.”學(xué)生通過比較[y=x2-5x+6]與y = 3的圖像，得出不等式[x2-5x+6>3]的解集，快速準(zhǔn)確地解決了絕對值不等式問題.最后，筆者進(jìn)行總結(jié)：“在解決絕對值不等式問題時，一定要充分明確其幾何意義，將復(fù)雜的求解過程轉(zhuǎn)化為可以直觀處理的問題，從而既好又快地解決問題.”這樣，學(xué)生對絕對值不等式的幾何意義有了更清晰的認(rèn)識，挖掘到其解決數(shù)學(xué)問題的優(yōu)勢所在，準(zhǔn)確把握其基本內(nèi)涵，同時借助幾何圖像實現(xiàn)絕對值問題的解決，數(shù)學(xué)能力得到了顯著的提升.

二、厘清絕對值的化簡步驟

絕對值問題的難點和重點主要集中在化簡上，學(xué)生只有系統(tǒng)掌握絕對值的化簡步驟，才能有效解決數(shù)學(xué)問題.

1.掌握絕對值符號的正負(fù)變化

學(xué)生在化簡絕對值不等式時，往往不會全面考慮不等式的符號問題，只是單一地考慮其中的一個方面，從而無法系統(tǒng)有序地解決不等式問題.例如，在化簡[-2x+6>5]時，學(xué)生只是單純考慮- 2x + 6 > 5這一種情況，而沒有考慮-2x + 6 < -5這一種情況，從而不能全面、準(zhǔn)確地解決問題，影響對數(shù)學(xué)知識的理解與掌握.在講解去掉不等式符號的相關(guān)內(nèi)容時，筆者通常會指導(dǎo)學(xué)生：“在去掉不等式符號時，要充分考慮不等式另一邊值符號的變化，避免考慮不全面而造成解題失誤.”接著，給學(xué)生出示相關(guān)例題，以加深學(xué)生對不等式符號變化的認(rèn)識.例如，求解[x2+x+1>6]的解，學(xué)生參照筆者講解的內(nèi)容，很快得出x2 + x +1 > 6和x2 + x +1< -6，并對這兩個不等式進(jìn)行求解，得出x的取值范圍.在求解最后，學(xué)生發(fā)現(xiàn)x2 + x +1< -6這個不等式不成立，只有x2 + x +1> 6符合條件.對此，筆者進(jìn)行總結(jié)：“在做絕對值符合變化時，一定要充分考慮絕對值里面函數(shù)的大小，如果發(fā)現(xiàn)該函數(shù)本身大于零，則可直接將絕對值符號去掉，不做任何符號變化.”

2.掌握絕對值化簡的先后順序

絕對值的化簡步驟，需要學(xué)生靈活掌握其先后順序，只有明確如何將方程從絕對值中分離出來，才能更好地解決絕對值問題.

學(xué)生在化簡絕對值時，往往會存在各種各樣的問題，由于其對絕對值化簡步驟掌握不夠牢固，造成他們出現(xiàn)考慮不全、化簡錯誤的問題.在教學(xué)“絕對值化簡先后順序”時，筆者會強(qiáng)調(diào)：“在去掉絕對值符號時，一定要明確其存在的兩種情況，充分考慮去掉絕對值符號后方程的大小變化.”然后，讓學(xué)生練習(xí)解答[x-1>3]，由此明確可能存在x -1>3和x -1< -3這兩種情況.接著，讓學(xué)生練習(xí)求解[x+3>5]，加強(qiáng)學(xué)生雙層絕對值化簡的訓(xùn)練.學(xué)生通過之前的學(xué)習(xí)，可以得出[x+3>5]和[x+3<-5]，并按照絕對值的定義范圍，將[x+3<-5]這種情況排除，然后按照去絕對值的原則得出x的取值范圍.此時，筆者再度提高題目的難度，讓學(xué)生求解帶有未知數(shù)的絕對值，比如[x2-5x+6 0，即x > -8.接著，筆者讓學(xué)生化簡絕對值得出-x-8 < x2-5x + 6 -8進(jìn)行結(jié)合，從而得出x的取值范圍.最后，筆者進(jìn)行總結(jié)：“遇到這類題目，需要大家掌握絕對值化簡的先后順序，按照規(guī)范順序來解答題目，從而將絕對值問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐子诮鉀Q的問題.”

掌握絕對值化簡的先后順序，對解決絕對值問題至關(guān)重要，它可提高學(xué)生分析問題的全面性，促進(jìn)學(xué)生全面掌握絕對值的相關(guān)知識.

三、做好絕對值與其他知識的融合

絕對值問題并不是只考查某一知識點，而是將絕對值與其他知識點進(jìn)行綜合考查，從而實現(xiàn)學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的靈活掌握.

1.做好絕對值與函數(shù)圖像的融合

在講解完絕對值問題后，筆者通常會將絕對值與其他知識聯(lián)系在一起，來共同考查學(xué)生對絕對值知識的掌握程度.例如，在求解方程的取值范圍時，會考查學(xué)生對絕對值與函數(shù)圖像的掌握程度.比如，求解[x-3·x+5·x-12]與y = 2函數(shù)的交點數(shù).對于這一題，學(xué)生由于對這個函數(shù)掌握得不夠充分，不能通過相乘來得出函數(shù)解析式.筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：“絕對值函數(shù)相乘是否可轉(zhuǎn)化成不帶絕對值的函數(shù)相乘？”學(xué)生分析得出：可以轉(zhuǎn)化成（x-3）（x+5）（x-1）的函數(shù).接著，筆者讓學(xué)生借助數(shù)軸得出該函數(shù)的關(guān)鍵點x = 3，-5，1.學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合，按照“奇穿，偶不穿”的原則，畫出了該函數(shù)的圖像.最后，筆者進(jìn)行總結(jié)：“根據(jù)絕對值函數(shù)圖像的定義，將數(shù)軸下方的函數(shù)圖像對稱翻折到上方，可得出絕對值函數(shù)的圖像，最后與y = 2函數(shù)進(jìn)行相交，通過數(shù)形結(jié)合得出交點數(shù).”此時，學(xué)生對絕對值函數(shù)圖像有了新的認(rèn)識，明確如何去求解函數(shù)的交點數(shù).

2.做好絕對值與特征函數(shù)定義區(qū)間的融合

在初中絕對值問題的考查中，往往會讓學(xué)生去求解函數(shù)的區(qū)間.通常學(xué)生會按照絕對值的定義和幾何意義，求出x的取值范圍.但是，在某些時候求解x的取值范圍時，需要考慮絕對值與特征函數(shù)定義區(qū)間的融合.例如，在求解[lnx2-8x+12<0]的區(qū)間時，學(xué)生往往會考慮-1< x2 - 8x +12 <1，但是對x2 - 8x +12 ≠ 0這個定義要求卻沒有考慮.又如，求解函數(shù) [x+4x-3>0]的定義域，筆者讓學(xué)生分析該函數(shù)是由哪些特征函數(shù)組成的.學(xué)生通過分析得出：“該函數(shù)包含了分?jǐn)?shù)函數(shù)、絕對值函數(shù)和開根號函數(shù).”接著，筆者讓學(xué)生將各個函數(shù)的定義域求出.學(xué)生通過分析得出[x-3≠0]，[x+4≥0].最后，通過求解x的取值范圍，從而求解出函數(shù)的定義域.

綜上可知，初中數(shù)學(xué)“絕對值”教學(xué)，需要學(xué)生明確絕對值的幾何意義，掌握絕對值的化簡步驟.在求解絕對值問題過程中，應(yīng)將絕對值與其他知識進(jìn)行融合，從而實現(xiàn)對絕對值問題的有效解決，提高學(xué)生解決問題的能力.

（特約編輯 安 平）