錢志祥

（浙江省杭州經濟技術開發(fā)區(qū)文思小學）

一、“項目設計”的概念解讀

“項目設計”是基于項目的學習（PBL）模式的延伸與拓展，同時也包括對教材的解讀、對知識點的分類與整理。

基于項目的學習是建構主義理論的一種情景化學習模式，是指學習者圍繞一個具體的內容，充分選擇和利用各種學習資源，在實踐體驗、內化吸收、探索創(chuàng)新的過程中，以團隊為組織形式，自主地獲得較為完整的體系，形成技能并獲得發(fā)展的學習。

借鑒基于項目的學習的方法指引，提煉其中的設計技巧而產生的“項目設計”，是根據(jù)教學大綱、課程標準的要求，以學科核心概念為中心，以項目（知識點）為載體，將學習內容分為多個小項目（小的主題學習模塊），通過任務驅動，引導學生在真實情境中開展一系列探究活動，自主構建知識框架。

因此，“項目設計”的特點在于類別細化，內涵與外延豐富，不僅是“用時少”，更意味著將復雜內容簡化，以整體與分類思想引領下的方法指導，極大地提高了學習效率與應用。

二、“項目設計”的操作實施

“項目設計”一般在小學中高年級進行，主要是基于項目從學習環(huán)節(jié)、學習程序、學習方法等方面來進行設計與實施。通過一段時間的研究與整理，“項目設計”的方案不斷完善，操作性與策略性更高。以五年級下冊“因數(shù)與倍數(shù)”為例，具體研究程序與方法如下。

（一）項目制訂，創(chuàng)設情境

“因數(shù)與倍數(shù)”作為數(shù)與代數(shù)的重要學習內容，也是義務教育階段學生比較難理解和掌握的數(shù)學概念之一。

本內容主要安排因數(shù)與倍數(shù)的學習，以及第二階段的公因數(shù)與公倍數(shù)的學習，與此同時，要運用最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)解決實際生活問題，這些都是需要學習的主體知識。因此，如何分類細化，豐富內涵與外延，“項目設計”就顯得尤為關鍵。

例如，找一找36和60的因數(shù)（見下圖），找一找6與9的倍數(shù)。教材中最初設計的是“說說12的因數(shù)，說說12的倍數(shù)，讓學生理解因數(shù)與倍數(shù)的核心概念”。

在此基礎上，“項目設計”就是設計以下問題：如何找出兩個數(shù)的公因數(shù)與公倍數(shù)，由此任務驅動學習。當然，教材也會在后期出現(xiàn)，從項目設計的整體思考，這個知識點應當往前靠，內容也更具綜合化，為后續(xù)學習做鋪墊。

（二）項目設計，明確內容

學生通過求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)來解決因數(shù)與倍數(shù)的實際問題，往往會遇到兩個困難，一是不清楚在什么時候用“最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)”來解決相關問題，也就是通常所說的題意不理解；二是求最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的方法不夠靈活。

因此，在探究問題之前，還是明確內容，設計好教學內容，以項目設計來整組推進教學。

1．謀劃探究內容

對于因數(shù)與倍數(shù)的理解，教師經常利用教材，以除法算式進行教學。筆者建議，何不嘗試用一道乘法與一道除法來加深兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別。例如2×6=12，12÷2=6，分析理解因數(shù)與倍數(shù)是一種相互關系，從而形成正向與逆向的思考模式。

通過以上分析，基于知識體系整體思考，本內容主要從三個“項目”來設計內容。教材中只出現(xiàn)除法算式，講因數(shù)與倍數(shù)的關系，這里要補充乘法算式，從而重組與建構教材給出的體系編排，這也體現(xiàn)了“微項目”設計的理念與意圖。

2．設計思考解讀

項目設計之一：什么是最大公因數(shù)？為什么不提出“最小公因數(shù)”概念？什么是最小公倍數(shù)，為什么不提出“最大公倍數(shù)”？學生通過情景學習，已經理解了公因數(shù)與公倍數(shù)的概念，并且知曉兩個或兩個以上共有的因數(shù)才是公因數(shù)，其中公因數(shù)中的最大的數(shù)稱之為“最大公因數(shù)”。例如，用列舉法進行說明。

例如6和9的公因數(shù)求解。6的因數(shù)有1，2，3，6；9的因數(shù)有1，3，9；因此6和9的公因數(shù)有1與3，其中（6，9）=3。通過這樣的舉例法，讓學生經歷探究的過程，同時研究的數(shù)字盡量偏小，難度降低些，結合情景教學，使得概念清晰明了。隨著知識結構的豐富，數(shù)字上可以有些變化，具體考慮兩個維度，一是數(shù)字大一些，二是可以組成兩個以上的數(shù)組，如三個或三個以上，這些對于概念的理解都有很大的幫助。

項目設計之二：求解最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)有哪些方法？雖然教材給出一種列舉法來求兩個或兩個以上數(shù)的公因數(shù)，但總是覺得不夠序列化、系統(tǒng)化，微項目設計恰好作為一個項目、一個重點，來實施與評價，對于系統(tǒng)掌握因數(shù)與倍數(shù)知識起到非常重要的作用。

列舉法：

6的因數(shù)有1，2，3，6；9的因數(shù)有1，3，9；因此6和9的公因數(shù)有1與3，其中（6，9）=3。

6的倍數(shù)有6，12，18，………9的倍數(shù)有9，…18…，27，………因此 6和 9的公倍數(shù)有 18，36，…其中[6，9] =18。

畫圖法：

需要說明的是，教材中的閱讀部分對短除法進行介紹，并未放入專題例題教學中去。在三種或者以上的算法中，我們不難發(fā)現(xiàn)，短除法具有準確性、速度快等優(yōu)點，但也有對算理未能闡述的缺點。因此，以算法系統(tǒng)化的“項目設計”就顯得尤為重要。

項目設計之三：如何巧妙應用公因數(shù)、公倍數(shù)知識解決實際問題？如何讓知識真正靈活起來，讓學生感受到知識在實際生活中的作用，需要一些情景素材，從而更直觀地反映數(shù)量關系，體現(xiàn)數(shù)學的科學性。

如素材一：小明的媽媽買了75千克食用油，家里有可裝10千克，5千克，2千克油的油壺。選哪種油壺正好能把這些油分裝完？需要這樣的油壺多少個？簡單地通過尋找一個數(shù)是另一個數(shù)的因數(shù)，或反過來說一個數(shù)是另一個數(shù)的倍數(shù)，這樣的基本類型有必要，也很貼近學生的基本思維。客觀來說，這樣的應用不夠強，還需要進一步提升，如再跟進一道例題，如素材二：有一個整數(shù)，用它去除45、90、120正好都沒有余數(shù)，這個數(shù)最大是多少？對于公因數(shù)的理解和運用，這樣的習題能起到鞏固作用。當然也可考慮“公因數(shù)”與“公倍數(shù)”同時運用的素材。如素材三：蘭蘭家廚房的地面是一個長24分米、寬18分米的長方形，如果用邊長是整分米數(shù)的方形地磚鋪滿（使用的地磚必須是整塊的），邊長最大可以是幾分米？最少需要多少塊？

（1）要使地磚正好鋪滿，地磚的邊長必須是 24 和 18 的（………………………）；

（2）要求邊長最大，那么地磚邊長必須是24 和 18 的（…………………………）；

（3）我是這樣解決的（寫出思考過程）。

回顧與反思：可以用畫圖來驗證。

以上三種素材，實際上代表三種類型，有些是單項型，有些是復合型，根據(jù)需要，在“項目設計”中都需要有所考慮、有所兼顧，讓設計變得更有體系、有序列、有層次、有效率。

3．項目實施路徑

（1）基于項目設計之一：什么是最大公因數(shù)？為什么不提出“最小公因數(shù)”概念？什么是最小公倍數(shù)，為什么不提出“最大公倍數(shù)？”

①進行因數(shù)與倍數(shù)的概念教學，結合情景理解什么是最大公因數(shù)，什么是最小公倍數(shù)。

②概念界定，可以給出判斷題的素材，讓概念更清晰，從而對因數(shù)、倍數(shù)、公因數(shù)、公倍數(shù)、最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)等本質理解更加深刻。

（2）基于設計探究項目二：求解“最大公因數(shù)”與“最小公倍數(shù)”有哪些方法？

①序列化。雖然教材給出一種列舉法來求兩個或兩個以上數(shù)的公因數(shù)，但總是覺得不夠序列化、系統(tǒng)化，要根據(jù)微項目設計內容進行列舉法、畫圖法、短除法等多種方法專項指導，使學生進一步理解與掌握公因數(shù)與公倍數(shù)等概念。

②主題化。每一種求法的學習意義是不一樣的，但都是對概念理解的加深，因此短除法與畫圖法等，要給學生一種自主選擇并突顯各種方法之間的差異與優(yōu)勢，從而使學生在實際應用中有的放矢，運用自如。

（3）基于設計探究項目之三：如何巧妙運用公因數(shù)、公倍數(shù)知識解決實際問題？

①生活化。有些數(shù)學問題單純從數(shù)的角度來設計，無疑是抽象而單調的。因此，結合生活情景的素材設計更具直觀性，更能加深對知識本質的理解。例如：有三根木條分別長150厘米、200厘米、220厘米，要把這三根木條截成長度相等的小段，要求盡可能長且沒有剩余。

②應用性。要充分運用知識來解決實際問題。在實際問題中，常常提及“沒有剩余”，要把隱義顯現(xiàn)化，讓學生理解因數(shù)與倍數(shù)的內在含義。同時關注求解方法，善于用舉例法、畫圖法、短除法，融會貫通，運用自如。

③提升性。要真正理解公因數(shù)與公倍數(shù)，需從兩個層面提升。一是抓住信息中“沒有剩余”“最多鋪幾塊”等語句，二是從多個數(shù)量之間求它們之間的“最大公因數(shù)”以及“最小公倍數(shù)”，厘清數(shù)量關系，真正體現(xiàn)應用與提升之教學成效。

三、“項目設計”的評價及思考

項目評價，就是給學生提供合適的數(shù)學情境，鼓勵學生運用已掌握的知識來解決實際問題，進一步內化所學知識。在解決實際問題后，應引導學生對整個項目探究過程進行及時反思，并對一些難點進行再探究，探索新的方法。

經過整理與分析，初步羅列出以下幾種類型：

（1）互為質數(shù)的求解，如3與7，11與19等互為質數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)，…通過計算分析，學生參與探究過程，用不同方法來驗證，得出結論：兩個互為質數(shù)的最大公因數(shù)為1，最小公倍數(shù)為兩個數(shù)的乘積。

（2）相鄰自然數(shù)的求解，如8與9，21與22等相鄰自然數(shù)的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)，通過演繹推理，學生參與探究過程，用不同方法來驗證，得出結論：兩個相鄰自然數(shù)的最大公因數(shù)為1，最小公倍數(shù)為兩個數(shù)的乘積。

（3）倍數(shù)關系數(shù)的求解，如4與8，12與36等互為倍數(shù)關系的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)，同樣也是通過演繹推理，學生參與探究過程，用不同方法來驗證，得出結論：兩個互為倍數(shù)關系的數(shù)的最大公因數(shù)是其中較小的那個數(shù)，最小公倍數(shù)是其中較大的那個數(shù)，同樣也適合于兩個以上數(shù)的運用。

（4）1與任何數(shù)的求解，如1與16，1與23等，與1組成的數(shù)組，通過演繹推理，學生參與探究過程，用不同方法來驗證，得出結論：1是它們的最大公因數(shù)，反之，另一個數(shù)是它們的最小公倍數(shù)。

實際上，像這樣具有典型性的數(shù)組還有許多，有待一線教師不斷挖掘并整理，形成一組組典型數(shù)組。數(shù)組內容上，包含了多種情況，內容具體且豐富；數(shù)組形式上，做到了點與點、線與線、面與面的有效補充。這實質上是在進行“微項目設計”的有效補充，做到“微”而“全”，形成體系。

同時，在實施“項目設計”時，要關注“數(shù)感意識”與“應用意識”。這里的“數(shù)感意識”指的是對數(shù)量關系的感悟，從而有助于理解其在現(xiàn)實生活中的意義。例如：用長為×分米，寬為×分米的地磚，去鋪設邊長為×分米的正方形的地面，至少需要這樣的地磚多少塊？這對學生的數(shù)感意識是個考驗，許多學生沒有理解正方形邊長與長方形的長及寬的關系，要用最小公倍數(shù)去解答，因此，項目設計也應指向于它。

另外，“應用意識”指的是能區(qū)分“一般求解”與“特殊求解”的聯(lián)系及區(qū)別。有些素材體現(xiàn)的是“一般求解”法，而有些素材體現(xiàn)的是“特殊求解”法，如互為質數(shù)的求解貫穿于習題中。這兩項指標在“項目設計”中都要有所考量。

縱觀“因數(shù)與倍數(shù)”這一內容，圍繞有梯度的微項目，通過有效梳理、自主探究、動手操作、合作交流，對“因數(shù)”與“倍數(shù)”核心概念再建構，有序并優(yōu)化了多種不同的求解方法，提高了問題的解決能力。

當然，“項目制”對學生的學習能力要求比較高，一般在小學中高年級實施；同時，對教師專業(yè)素養(yǎng)要求也會高一些，也需要教師做大量的分析整理工作，如準確地分析和設計項目，合理地將項目分成若干個項目，并將子項目對應教材上各個知識點。如何更便捷地使用此類方式方法，是今后一個階段實踐與探索的方向。