林詠

[摘? 要] 建模是一種方法，更是一種思想，在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，教師要善于利用豐富多彩的課程活動(dòng)開(kāi)發(fā)促進(jìn)學(xué)生的活動(dòng)深入，促進(jìn)學(xué)生的素養(yǎng)提升. 筆者結(jié)合綜合實(shí)踐活動(dòng)的開(kāi)展促進(jìn)此項(xiàng)思想的進(jìn)階提升.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)素養(yǎng);數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)活動(dòng);活動(dòng)課程;不定方程

初中數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課程是在一部分教學(xué)內(nèi)容完成或一個(gè)階段的學(xué)習(xí)之后安排的有一定開(kāi)放性和實(shí)踐性的活動(dòng)課程. 通過(guò)活動(dòng)課程的教學(xué)，可以發(fā)展學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的實(shí)際運(yùn)用能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，擴(kuò)展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野. 數(shù)學(xué)活動(dòng)課的素材可以來(lái)源于課本，也可以由教師根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況及可以利用的資源自主開(kāi)發(fā). 在教學(xué)實(shí)踐中，筆者嘗試基于數(shù)學(xué)建模來(lái)開(kāi)發(fā)活動(dòng)課程，經(jīng)過(guò)不斷調(diào)整與改善，依據(jù)課堂觀察及學(xué)生的調(diào)查反饋結(jié)果，得出該類型活動(dòng)課程對(duì)激發(fā)學(xué)生的興趣有一定作用. 下文以活動(dòng)課程“簡(jiǎn)單的不定方程”為例，談?wù)勅绾位跀?shù)學(xué)建模來(lái)開(kāi)發(fā)數(shù)學(xué)活動(dòng)課程.

人教版數(shù)學(xué)教材七年級(jí)下冊(cè)第八章為“二元一次方程組”，本章以含有多個(gè)未知數(shù)的實(shí)際問(wèn)題為背景，讓學(xué)生經(jīng)歷“分析數(shù)量關(guān)系→設(shè)未知數(shù)→列方程組→解方程組→得到實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果”的過(guò)程，體會(huì)用方程來(lái)刻畫現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型. 本章內(nèi)容涉及二元一次方程組及其解法、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組、三元一次方程組的解法，重點(diǎn)是讓學(xué)生熟練掌握二元一次方程組的解法，體會(huì)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程. 在“三元一次方程組的解法”中，筆者以古算書《張邱建算經(jīng)》中給出的經(jīng)典問(wèn)題“百錢百雞”引入教學(xué)，由于課堂時(shí)間及教學(xué)容量的限制，對(duì)該問(wèn)題只是簡(jiǎn)單提及，并沒(méi)有深入探究，從學(xué)生的眼光中筆者看到他們對(duì)該問(wèn)題的興趣及疑惑. 為了盡一切可能解決學(xué)生在學(xué)習(xí)上的疑惑，并且拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，筆者嘗試在本章最后安排一次題為“簡(jiǎn)單的不定方程（組）”的活動(dòng)課.

素材來(lái)源：不定方程在課本中并未提及，因此筆者通過(guò)查閱文獻(xiàn)及互聯(lián)網(wǎng)搜索的方法，搜集簡(jiǎn)單的不定方程問(wèn)題，同時(shí)也對(duì)現(xiàn)有的問(wèn)題進(jìn)行了改編，使其更貼近初中學(xué)生的生活[1].

教學(xué)目標(biāo)：（1）了解不定方程的含義及形式，體會(huì)不定方程與生活的聯(lián)系. （2）會(huì)用枚舉法確定簡(jiǎn)單的不定方程解的個(gè)數(shù). （3）熟練運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想對(duì)不定方程進(jìn)行變形.

教學(xué)重點(diǎn)：會(huì)分析實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，并會(huì)用不定方程表示這種關(guān)系.

教學(xué)難點(diǎn)：用枚舉法確定不定方程解的個(gè)數(shù).

教學(xué)預(yù)設(shè)：

（1）創(chuàng)設(shè)情境、引入問(wèn)題：以經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題“百錢百雞”引入教學(xué).

（2）小組合作、分析問(wèn)題：教師引導(dǎo)、學(xué)生小組合作來(lái)探究問(wèn)題的解決方法.

（3）揭示新知、解決問(wèn)題：揭示“不定方程”的含義，用不定方程表示問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系.

（4）聯(lián)系生活、運(yùn)用新知：列舉生活中可以用不定方程解決的問(wèn)題，并讓學(xué)生自主解答.

（5）暢所欲言、交流收獲：學(xué)生暢談本節(jié)課的收獲及對(duì)本節(jié)活動(dòng)課的感悟.

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入問(wèn)題

百錢百雞問(wèn)題：“今有雞翁一，值錢五;雞母一，值錢三;雞雛三，值錢一. 凡百錢買雞百只. 問(wèn)雞翁、母、雛各幾何？”

師：百錢百雞問(wèn)題是歷史上著名的經(jīng)典數(shù)學(xué)問(wèn)題，在古算書《張邱建算經(jīng)》上有記載，你是否能用你的智慧解決這個(gè)問(wèn)題呢？

設(shè)計(jì)意圖? 用古代經(jīng)典問(wèn)題引入教學(xué)，可以讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的發(fā)展，潛移默化地豐富數(shù)學(xué)文化知識(shí)，同時(shí)以該問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

活動(dòng)二：小組合作，分析問(wèn)題

（完成方式：學(xué)生小組合作，教師深入學(xué)生引導(dǎo)，然后小組代表交流展示）

生1：我們小組認(rèn)為應(yīng)該用三元一次方程組解決.

師：請(qǐng)具體說(shuō)明.

生1：設(shè)雞翁、雞母、雞雛分別有x，y，z只，列方程x+y+z=100，

5x+3y+z=100.

師：這是三元一次方程組嗎？

生1：是，但通常三元一次方程組包含三個(gè)方程，這里少了一個(gè).

師：你觀察得很仔細(xì)，那你們小組求解出來(lái)了嗎？

生1：我們小組用了列舉的方法，假設(shè)x=1，y=1，z=98，代入第二個(gè)式子檢驗(yàn);再假設(shè)x=2，y=1，z=97，再代入檢驗(yàn)……

師：你們求出答案了嗎？

生1：沒(méi)有.

師：其他小組有沒(méi)有能求解出答案的呢？

生2：我認(rèn)為x，y，z都是正整數(shù)，并且z應(yīng)該是3的倍數(shù). 可以從第二個(gè)式子開(kāi)始嘗試，分別令z=3，6，9…

師：你們列舉到結(jié)果了嗎？

生2：暫時(shí)還沒(méi)有.

生3：我覺(jué)得應(yīng)該從z=99，96，93…開(kāi)始列舉，因?yàn)殡u雛的價(jià)格是最低的，而要買100只雞，雞雛的數(shù)量一定遠(yuǎn)超過(guò)雞翁和雞母的數(shù)量. 所以我們通過(guò)列舉法得到了一組解：x=12，y=4，z=84.

師：你們小組真了不起，竟然算出了答案. 那這個(gè)答案是方程組唯一的答案嗎？

學(xué)生遲疑.

生4：我以前見(jiàn)過(guò)這個(gè)問(wèn)題，它有好幾個(gè)答案，其中一個(gè)我記得是x=0，y=25，z=75.

師：看來(lái)你的知識(shí)面很廣，而且記憶力也很好. 沒(méi)錯(cuò)，這個(gè)方程組確實(shí)有多組解，古人解決這個(gè)問(wèn)題花了好多年，而你們只用了幾分鐘就能求出其中一部分解，老師為你們的智慧點(diǎn)贊！

設(shè)計(jì)意圖? 創(chuàng)設(shè)情境是初中數(shù)學(xué)新授課常用的引入方法，通過(guò)情境可以讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生對(duì)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的興趣. 數(shù)學(xué)活動(dòng)課以學(xué)生的探究活動(dòng)為主，因此教師要放手讓學(xué)生自己想、自己學(xué).

活動(dòng)三：揭示新知，解決問(wèn)題

師：上述方程組和我們?cè)谡n本中學(xué)的方程組有什么不一樣嗎？

生1：我們學(xué)的方程組兩個(gè)方程對(duì)應(yīng)兩個(gè)未知數(shù)，三個(gè)方程對(duì)應(yīng)三個(gè)未知數(shù)，而這個(gè)方程組有三個(gè)未知數(shù)卻只對(duì)應(yīng)兩個(gè)方程.

師：你歸納得很完整. 這個(gè)方程組未知數(shù)的個(gè)數(shù)和方程的個(gè)數(shù)不一致，因此它解的個(gè)數(shù)不確定，這樣的方程叫作不定方程.

教師簡(jiǎn)要介紹不定方程的概念：不定方程是指解的范圍為整數(shù)、正整數(shù)、有理數(shù)或代數(shù)整數(shù)等的方程或方程組，一般來(lái)說(shuō)，其未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程的個(gè)數(shù).

師：求解不定方程是不是只能通過(guò)逐一列舉的方法呢？

題后總結(jié)：我們解決上述問(wèn)題的辦法最終依舊是枚舉，但在此之前我們找到了未知數(shù)所滿足的附加條件，將未知數(shù)的范圍進(jìn)行了縮小，這樣枚舉的次數(shù)就大大減少了，這就是解決不定方程的主要方法.

設(shè)計(jì)意圖? 本環(huán)節(jié)是揭示不定方程的概念及不定方程的解法環(huán)節(jié)，以教師引導(dǎo)學(xué)生的形式共同完成. 教師在講授解法的過(guò)程中要重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生的接受程度及反饋情況.

師：其實(shí)，在我們生活中處處存在著可以用不定方程（組）來(lái)解決的問(wèn)題. 請(qǐng)你在下面三個(gè)問(wèn)題中挑選一個(gè)，和你的同伴合作完成.

問(wèn)題1：班級(jí)籌備元旦晚會(huì)活動(dòng)，生活委員計(jì)劃用200元去購(gòu)買單價(jià)為22元的帽子和單價(jià)為17元的手套作為獎(jiǎng)品在抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)使用，你有沒(méi)有辦法正好將這200元用完？

問(wèn)題2：在一次足球聯(lián)賽中，某隊(duì)經(jīng)過(guò)20輪比賽共積48分，問(wèn)該隊(duì)勝了幾場(chǎng)、負(fù)了幾場(chǎng)、平了幾場(chǎng)？（勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分）

問(wèn)題3：某影院電影票有10元，15元，20元三種票價(jià)，班長(zhǎng)用500元正好買了30張電影票，請(qǐng)問(wèn)票價(jià)為20元的比票價(jià)為10元的多了多少?gòu)垼?/p>

（完成方式：小組合作交流，小組代表全班展示，教師深入學(xué)生指導(dǎo)）

設(shè)計(jì)意圖? 該環(huán)節(jié)是學(xué)生知識(shí)建構(gòu)的主要環(huán)節(jié)，讓學(xué)生自己經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，體味數(shù)學(xué)與生活的關(guān)系，同時(shí)學(xué)會(huì)不定方程的解法. 小組合作則是充分發(fā)揮了“兵教兵”的優(yōu)勢(shì)，讓更多的學(xué)生能參與到主動(dòng)學(xué)習(xí)中去.

師：在今天的數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，你是否感受到了數(shù)學(xué)的魅力，對(duì)數(shù)學(xué)又有了新的認(rèn)識(shí)呢？請(qǐng)你談?wù)劚竟?jié)課的收獲吧.

生1：我第一次聽(tīng)說(shuō)“不定方程（組）”，覺(jué)得挺有意思的.

生2：今天學(xué)了不定方程（組）以后，我覺(jué)得我們之前學(xué)的方程（組）太簡(jiǎn)單了.

生3：我覺(jué)得數(shù)學(xué)是一門很有用的學(xué)科，能解決我們生活中的很多問(wèn)題.

生4：我覺(jué)得數(shù)學(xué)的發(fā)展源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，古人也是充滿智慧的.

設(shè)計(jì)意圖? 該環(huán)節(jié)是本節(jié)課的升華，讓學(xué)生通過(guò)自己總結(jié)收獲而達(dá)到知識(shí)內(nèi)化的效果. 開(kāi)放式問(wèn)題的設(shè)置也是為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中有主動(dòng)吐露心聲的機(jī)會(huì)，教師借此機(jī)會(huì)傾聽(tīng)，可以掌握最真實(shí)的學(xué)情.

在這次活動(dòng)課教學(xué)中，筆者感想頗多，最大的感觸就是學(xué)生的智慧遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)我們的想象. 在“運(yùn)用新知”的環(huán)節(jié)多數(shù)小組在沒(méi)有教師幫助的情況下便解決了問(wèn)題，尤其是部分后進(jìn)生，在本堂課中也表現(xiàn)積極、認(rèn)真思考. 這讓筆者堅(jiān)信，在不影響常態(tài)課教學(xué)進(jìn)度的前提下盡可能安排更多的綜合實(shí)踐活動(dòng)課對(duì)教學(xué)是有促進(jìn)作用的. 在此次活動(dòng)課之后，筆者又設(shè)計(jì)了“隨機(jī)模擬”“簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃”“幾何上的距離問(wèn)題”等數(shù)學(xué)活動(dòng)課，實(shí)踐后均達(dá)到了預(yù)期的效果.

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，綜合實(shí)踐活動(dòng)課是作為提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的運(yùn)用能力的課型提出來(lái)的，因此其教學(xué)內(nèi)容可以在大綱之外. 數(shù)學(xué)建模是用數(shù)學(xué)來(lái)解決生活問(wèn)題常用的方法，基于數(shù)學(xué)建模來(lái)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)課，對(duì)提高學(xué)生的數(shù)學(xué)能力、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)都有著積極作用[2]. 當(dāng)然，這不是設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)課的唯一依據(jù)，在教學(xué)中，唯有根據(jù)學(xué)情與社會(huì)的需求多思考、多改進(jìn)，才能設(shè)計(jì)出最適合學(xué)生發(fā)展的數(shù)學(xué)課，更好地服務(wù)于學(xué)生.

參考文獻(xiàn)：

[1]梅瓊. 小選擇題看大建模[J]. 教學(xué)管理與教育研究， 2017， 2（18）：88-90.

[2]徐冬梅. 模型思想：一個(gè)具有豐富意義的數(shù)學(xué)概念——基于初中數(shù)學(xué)的思考[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊， 2017（5）：49-50.