陳瓊琪

（浙江省嚴(yán)州中學(xué)梅城校區(qū)，浙江杭州 311604）

1 提出問(wèn)題

在2017浙江高考數(shù)學(xué)15題中，考察的是平面向量問(wèn)題，該問(wèn)題可以從代數(shù)角度解決，也可以從幾何角度解決，充分體現(xiàn)了浙江高考數(shù)學(xué)向量問(wèn)題命題一貫的風(fēng)格。題目及解法如下：

2 理論依據(jù)

2.1 高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要求

高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)下的直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。主要包括：借助空間認(rèn)識(shí)事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問(wèn)題的直觀模型，探索解決問(wèn)題的思路。直觀想象是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問(wèn)題、分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。在直觀想象核心素養(yǎng)的形成過(guò)程中，學(xué)生能夠進(jìn)一步發(fā)展幾何直觀和空間想象能力，增強(qiáng)運(yùn)用圖形和空間想象思考問(wèn)題的意識(shí)，提升數(shù)形結(jié)合的能力。

2.2 數(shù)學(xué)大家的經(jīng)驗(yàn)啟示

華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)形本是相倚依，焉能分作兩邊飛？數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，割離分家萬(wàn)事休。幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離?！笨梢姡瑪?shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)中的地位，“數(shù)缺形時(shí)少直觀”說(shuō)明直觀想象能力能使數(shù)學(xué)問(wèn)題更直觀形象，即把數(shù)學(xué)與幾何圖形相結(jié)合，化繁為簡(jiǎn)，化抽象為具體，直觀快速地抓住問(wèn)題的本質(zhì)與要害，可使解題起到事半功倍的效果。

古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得所著的《幾何原本》是一部不朽之作，集整個(gè)古希臘數(shù)學(xué)成果和精神于一書，使幾何學(xué)變成一座建立在邏輯推理基礎(chǔ)上的不朽豐碑?！稁缀卧尽返恼Q生，標(biāo)志著幾何學(xué)已成為一個(gè)有著比較嚴(yán)密的理論系統(tǒng)和科學(xué)方法的學(xué)科。而《幾何原本》是在古埃及、古巴比倫時(shí)期的“直觀幾何”的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。

因此，我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)、分析和解決借助幾何形象，運(yùn)用直觀想象能力和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，使得抽象問(wèn)題具體化，代數(shù)問(wèn)題幾何化。在解決平面向量問(wèn)題時(shí)，我們也可以運(yùn)用平面向量的幾何意義，使得向量問(wèn)題幾何化，從“形”的角度理解向量，養(yǎng)成主動(dòng)想圖、作圖和用圖思考的習(xí)慣，“看”出思路，“看”出簡(jiǎn)潔。

3 學(xué)生直觀想象能力的培養(yǎng)策略

從2004年浙江省自主命題以來(lái)，向量試題就呈現(xiàn)出鮮明的特點(diǎn)：具有極強(qiáng)的數(shù)學(xué)味和突出的幾何背景，既可以考查向量的代數(shù)運(yùn)算，也能通過(guò)對(duì)幾何背景的透視，抓住向量本質(zhì)，簡(jiǎn)化解題思路。在高考中“快狠準(zhǔn)”地解決向量問(wèn)題，幾何性質(zhì)的恰當(dāng)運(yùn)用起著至關(guān)重要的作用。

3.1 平面向量的模長(zhǎng)——距離

向量的模即向量的大小，也即為表示向量的有向線段的長(zhǎng)度。向量的加減運(yùn)算，有平行四邊形法則和三角形法則， 常用的+和-即為平行四邊形的兩條對(duì)角線，體現(xiàn)了向量的加減運(yùn)算的幾何意義。向量-通過(guò)三角形法則可知，可表示為從|+|的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的有向線段，故|-|即為兩個(gè)終點(diǎn)間的距離。而加法和減法互為逆運(yùn)算，同理|+|也可理解為兩個(gè)終點(diǎn)間的距離。 若當(dāng)向量和中有一個(gè)向量的模長(zhǎng)確定時(shí)，|+|和|-|可以理解為一個(gè)定 點(diǎn)到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)間距離的問(wèn)題。即

圖1

圖2

故當(dāng)B，B'在x軸上左右端點(diǎn)時(shí)，取得最小值4（三角形兩邊之和大于第三邊），當(dāng)如圖2位置時(shí)，取得最大值

解析：用數(shù)形結(jié)合方法求解，作正方形OACB，連對(duì)角線 AB，則向量等于向量(D 為對(duì)角線AB上一點(diǎn)），向量等于向量(E 為OB 邊上一點(diǎn)，EB=10），OD＝DC， 所以等于 ED+DC，由幾何意義可知 ED+DC的最小值為EC的值，即等于26。故正確答案為B。

圖3

3.2 平面向量的模長(zhǎng)——圓

向量的模即向量的大小，也即為表示向量的有向線段的長(zhǎng)度。當(dāng)向量的模確定時(shí)，該向量可以用起點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)在以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心以向量的模長(zhǎng)為半徑的圓上的有向線段表示，從而將有關(guān)模長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與圓相關(guān)的幾何問(wèn)題，結(jié)合直觀想象能力，快速解題。

圖4

3.3 平面向量的模長(zhǎng)——橢圓

此類轉(zhuǎn)化方法建立在前兩種轉(zhuǎn)化方法的基礎(chǔ)之上，但又勝于前兩種轉(zhuǎn)化方法，它的巧妙之處在于將橢圓的幾何性質(zhì)恰到好處地融合到解法中，將|+|+|-|理解為橢圓內(nèi)的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和，因此通過(guò)橢圓的幾何性質(zhì)及三角不等式，很快可以得到，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，當(dāng)終點(diǎn)在橢圓上（即短軸端點(diǎn)）時(shí)取得最大值，最大值為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)。

圖5

則 F1，F(xiàn)2以為焦點(diǎn)，2||為短軸構(gòu)成橢圓.

當(dāng) F1，P，F(xiàn)2三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是4.

4 結(jié)語(yǔ)

該文僅通過(guò)平面向量問(wèn)題對(duì)培養(yǎng)直觀想象能力的初步探討。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成不是一項(xiàng)即時(shí)性的活動(dòng)，而是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中不斷積累，不斷思考探索，從而形成質(zhì)變的過(guò)程。在日常教學(xué)中，重視向量以及向量的模長(zhǎng)、向量的運(yùn)算等的幾何意義，從日常教學(xué)中點(diǎn)滴滲透幾何性質(zhì)，強(qiáng)化學(xué)生的想圖、作圖和用圖的能力，讓學(xué)生形成直觀想象的思維習(xí)慣和思維能力，不僅有助于向量問(wèn)題的解決，直觀想象能力在很多數(shù)學(xué)問(wèn)題中都能發(fā)揮重要作用。