摘?要：數(shù)學(xué)技能的習(xí)得也應(yīng)在學(xué)生頭腦中建立起前后動(dòng)作相繼發(fā)生的動(dòng)作經(jīng)驗(yàn)鏈索。真正有效的教學(xué)應(yīng)該是自然而然的。因此，如何在課堂中落實(shí)課堂訓(xùn)練，也應(yīng)基于學(xué)生原有的知識(shí)水平，以及學(xué)生在當(dāng)下給出的問(wèn)題反饋。因此課堂中如何能夠根據(jù)學(xué)生實(shí)際及當(dāng)下的反饋進(jìn)行針對(duì)性教學(xué)，使得課堂練習(xí)更有實(shí)效。

關(guān)鍵詞：分類(lèi)計(jì)數(shù)原理;分步計(jì)數(shù)原理;解題方法;解題能力

新課程理念重視數(shù)學(xué)的“四基”“四能”，因此研究數(shù)學(xué)教學(xué)，課堂活動(dòng)的研究是必不可少的。針對(duì)現(xiàn)有的考試制度，研究解題方法、解題技巧，及解題能力提升等都是非常必要的。

數(shù)學(xué)知識(shí)是由數(shù)學(xué)認(rèn)知活動(dòng)建立起來(lái)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，其中經(jīng)驗(yàn)反作用于活動(dòng)，而且對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)的目標(biāo)的確認(rèn)依賴于當(dāng)前數(shù)學(xué)情景的辨認(rèn)和分析;數(shù)學(xué)技能的習(xí)得也應(yīng)在學(xué)生頭腦中建立起前后動(dòng)作相繼發(fā)生的動(dòng)作經(jīng)驗(yàn)鏈索。根據(jù)建構(gòu)主義教學(xué)原理，真正有效的教學(xué)應(yīng)該是自然而然的。因此，如何在課堂中落實(shí)課堂訓(xùn)練，也應(yīng)基于學(xué)生原有的知識(shí)水平，以及學(xué)生在當(dāng)下給出的問(wèn)題反饋。因此課堂中如何能夠根據(jù)學(xué)生實(shí)際及當(dāng)下的反饋進(jìn)行針對(duì)性教學(xué)，使得課堂練習(xí)更有實(shí)效。筆者以“分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理”課堂解題教學(xué)學(xué)為例與大家探討交流。

一、 教學(xué)過(guò)程介紹

說(shuō)明?本課是人教A版選修2-3第一章第一節(jié)課的內(nèi)容，學(xué)生之前對(duì)于此類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題的解題基本都是在“數(shù)而計(jì)之”的程度。因此“算而計(jì)之”對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)需要打破原有的一些認(rèn)知。針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)背景及本課特點(diǎn)，這節(jié)課解題技巧方法的掌握、解題能力提升的落實(shí)有一定難度。

這節(jié)課通過(guò)結(jié)合實(shí)例，學(xué)生很快懂了兩個(gè)計(jì)數(shù)原理。

（一） “我懂了，但我不會(huì)用”

兩種計(jì)數(shù)原理的理解是較容易被學(xué)生接受的，但是怎么樣是“完成一件事情”，如何進(jìn)行“分類(lèi)”和“分步”是學(xué)生遇到的第一個(gè)難題。

（1）從甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中，任選出兩名同學(xué)分別去參加學(xué)校的書(shū)法比賽和現(xiàn)場(chǎng)作文比賽，問(wèn)有幾種可能的選擇出現(xiàn)？

【教學(xué)片段】

師：請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)說(shuō)看，是怎么求出來(lái)的？

生1：只需要一一例舉出來(lái)即可。甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，共12種。

生2：畫(huà)圖

師：你們回答得很好（樹(shù)型圖板演）。那么能不能請(qǐng)同學(xué)們?cè)诹信e出的答案中，找一下你答案的規(guī)律或是共性？

生1：6×2。

生2：3×4。

師：請(qǐng)同學(xué)解釋一下得出的式子的意義。

生：有6種跟另外6種是前后順序不同。

師：很好，還有呢？

生：甲對(duì)應(yīng)3種，同理乙、丙、丁都對(duì)應(yīng)3種。

師：很好！這種解釋是對(duì)12種結(jié)果做了什么處理？

生：分類(lèi)！

師：我們剛才在學(xué)習(xí)兩種計(jì)數(shù)原理的時(shí)候明明說(shuō)，分類(lèi)用加法，而且分步用乘法的，為什么出現(xiàn)這種情況？

生：應(yīng)該是3+3+3+3=3×4

師：這位同學(xué)解釋得很好，這就是我們說(shuō)的分類(lèi)加法的原理。既然此題出現(xiàn)3×4的乘法，是不是也可以請(qǐng)同學(xué)用乘法的分步原理解釋呢？請(qǐng)同學(xué)們思考一下。

生：……

師：分步計(jì)數(shù)原理是為了完成一件事情，那么在這個(gè)題目中，怎么樣是算完成一件事情？

生：選出兩名同學(xué)參加比賽。

師：不錯(cuò)，完成這件事如何分步呢？

生：選出1名參加書(shū)法比賽，再選1名參加現(xiàn)場(chǎng)作文比賽。

生：哦，所以是4×3。

師：可不可以從每一種情況具有的結(jié)構(gòu)共性切入思考呢？

生：每一種都是兩人。

生：完成這件事情，第一人有4種選擇，第二人有3種選擇。

師：總結(jié)一下剛才同學(xué)們對(duì)這個(gè)3×4的解釋?zhuān)覀儜?yīng)該怎么樣把分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理用起來(lái)呢？

師生：可以從被選每一個(gè)對(duì)象考慮進(jìn)行分類(lèi)，也可以從做事情的順序進(jìn)行分步，還可以分析每種可能性的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)分析，進(jìn)行分步，等等。

點(diǎn)評(píng)：G·波里亞在《怎樣解題》一文中提出，解題的價(jià)值不是答案本身，而在于弄清“是怎樣想到這個(gè)解法的”“是什么促使你這樣想，這樣做的”。根據(jù)學(xué)生在課堂中的反饋，順勢(shì)而為，找到學(xué)生只懂不會(huì)的根源。這也正是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)。并且在解題過(guò)程中，讓學(xué)生學(xué)會(huì)尋根溯源，找到解題方法的來(lái)源，據(jù)此總結(jié)一些解題的切入口。

（二） “我覺(jué)得我應(yīng)該對(duì)了，但怎么還是錯(cuò)了”

一個(gè)題感覺(jué)自己會(huì)做了，但是總是做錯(cuò)，歸其原因，大概有以下幾種：推理、計(jì)算差錯(cuò)失誤;知識(shí)積累不足，導(dǎo)致題意理解有誤;考慮不周，導(dǎo)致漏解或重復(fù)計(jì)算等。

（2）已知集合A={1，2，3，4，5}，集合B={4，8}

①?gòu)募螦到集合B的映射有多少種？

②能構(gòu)成多少個(gè)以A為定義域，以B為值域的函數(shù)？

此題學(xué)生在解答中大部分學(xué)生覺(jué)得不可理解，為什么①②不是同解。究其原因，學(xué)生對(duì)映射及函數(shù)中的一些概念有些模糊。

【教學(xué)片段】

師：在函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系中，值域是如何來(lái)的？

有學(xué)生反應(yīng)過(guò)來(lái)，但還是有很多同學(xué)一臉茫然。

師：函數(shù)的值域應(yīng)該是集合B中，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系被對(duì)應(yīng)的元素即函數(shù)值組成的集合，它應(yīng)該是集合B的子集。因此出錯(cuò)的同學(xué)，是因?yàn)閷?duì)函數(shù)的值域概念理解不夠全面。

（3）將3種作物種植在如圖所示5塊試驗(yàn)田中，每塊試驗(yàn)田種植一種作物，且相鄰試驗(yàn)田不能種植同一種作物，不同的種植方法有幾種？

【教學(xué)片段】

生1：這就是涂色問(wèn)題。按涂色問(wèn)題的方法分步解決：3×2×2×2×2=48種。

生2：按涂色問(wèn)題常用的特殊元素分類(lèi)，特殊位先排：

中間第3個(gè)先排，再按2，4同色與不同色兩類(lèi)進(jìn)行分類(lèi)。

第一類(lèi)：（2，4同色）3×2×1×2×2=24;第二類(lèi)：（2，4不同色）3×2×1×2×2=24。因此得到答案也是48。

師：幾種方法做下來(lái)的答案是一樣的，我們同學(xué)應(yīng)該很肯定這個(gè)答案，但此題的正解答案是42，同學(xué)們思考一下自己的做法到底哪里有漏洞呢？我們可以假設(shè)實(shí)際情況進(jìn)行檢驗(yàn)。

第一種做法：按1～4的順序種植時(shí)，存在這樣的可能性

第2個(gè)類(lèi)型中第4、5就會(huì)存在

這種情況就會(huì)不滿足種植3種作物這一題意。你能在此基礎(chǔ)上作出改進(jìn)嗎？

生：減去兩種作物的情形即可48-3×2=42。

師：法2是否也能做出調(diào)整呢？

生：

第一類(lèi)：（2，4同色）3×2×1×3=18;第二類(lèi)：（2，4不同色）3×2×1×2×2=24。因此得到答案是42。

師：看來(lái)我們平時(shí)在做題時(shí)除了有思想方法作指導(dǎo)還得思考得更為嚴(yán)密，對(duì)知識(shí)的掌握更加準(zhǔn)確。

波里亞說(shuō)：教師最重要的任務(wù)是幫助學(xué)生。我認(rèn)為一堂課中對(duì)學(xué)生的幫助不僅僅需要知識(shí)性的傳授和技能性的習(xí)得，更為重要的是學(xué)生的一種態(tài)度：追求真理，百折不撓，嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致等。

（三） “我已經(jīng)做對(duì)了，還需要?jiǎng)e的方法嗎”

（4）自然數(shù)72有多少個(gè)約數(shù)？

【教學(xué)片段】

生：12個(gè)。

師：請(qǐng)得出此答案的同學(xué)說(shuō)說(shuō)你的解答思路。

生：一一列舉出。

師：自然數(shù)2520有多個(gè)約數(shù)？生1你也用同樣的方法可以解答？

生1：可以，但是要花更多時(shí)間去完成。

師：那可不可以對(duì)此算法進(jìn)行改進(jìn)呢？

生2：取不大于2520的最大正整數(shù)50，然后數(shù)出50的約數(shù)，再乘以2得到約數(shù)的個(gè)數(shù)。

師：你真的太聰明了，竟然想到用開(kāi)根號(hào)的方法解決了2520這個(gè)數(shù)太大的問(wèn)題，并找到了約數(shù)存在某種對(duì)稱的特點(diǎn)。不過(guò)在求50約數(shù)時(shí)用的方法還是“數(shù)而計(jì)之”?？煞裼糜?jì)數(shù)原理的方法解答此問(wèn)題呢？思考的方向又該是如何？

師：尋根溯源，我們能不能思考一下，72的約數(shù)：1，2，3，4，6，8，9，12，18，24，36，72每一個(gè)約數(shù)都有怎么樣的共性特征，如何構(gòu)成一個(gè)約數(shù)？

生：都是2或是3的倍數(shù)。

師：（引導(dǎo)學(xué)生）將72=23·32，約數(shù)可以看成兩數(shù)乘積，即2的幾次冪與3的幾次冪積的形式。

生：哦，用最小質(zhì)數(shù)的冪分解72，就可以找到每個(gè)約數(shù)的構(gòu)成。

師：不錯(cuò)。“（第1個(gè)數(shù)）×（第2個(gè)數(shù)）=約數(shù)”第1個(gè)數(shù)的可能性由2的指數(shù)可能構(gòu)成：0，1，2，3;第2個(gè)數(shù)的可能性由3的指數(shù)可能構(gòu)成：0，1，2。故此題可以用4×3=12解決。

（5）已知集合S={a1，a2，a3，…，an}，則集合S有幾個(gè)子集？

生：2n個(gè)，我們?cè)缇蜁?huì)了。

師：那你們知道為什么是2n個(gè)？

生：（議論）

師：是否也可以尋根溯源，找一找每個(gè)元素與集合的子集間的關(guān)系？

生：哦，每個(gè)元素與每個(gè)子集間的關(guān)系，只有屬于和不屬于兩種關(guān)系，因此用分步計(jì)數(shù)原理就可以得出。

（6）用5張1元幣，4張1角幣，1張5分幣和2張2分幣可以組成多種非零幣值？

生：也一樣可以用幣值的構(gòu)成來(lái)做。

師：舉一反三，觸類(lèi)旁通，可見(jiàn)我們同學(xué)非常善于學(xué)習(xí)、總結(jié)。

點(diǎn)評(píng)：“你以前見(jiàn)過(guò)它嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否知道與此有關(guān)的問(wèn)題？”有時(shí)候點(diǎn)滴的發(fā)現(xiàn)能幫助我們解決不少問(wèn)題。善于觀察、分析，善于比較類(lèi)比，善于歸納總結(jié)、概括應(yīng)用，這是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一般規(guī)律，也是獲取新知的有效手段。也正是我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)解題的一種思維訓(xùn)練。

二、 總結(jié)反思

針對(duì)本課易懂難做的特點(diǎn)，在課堂中習(xí)題訓(xùn)練需要學(xué)生逐步掌握分類(lèi)計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，提煉解題方法策略，訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生解題能力，需要教師根據(jù)課堂中學(xué)生懂而不會(huì)，會(huì)而有誤，會(huì)而不全，方法會(huì)但不通用等情況反饋的情況，選擇順勢(shì)而為，適當(dāng)提示還是類(lèi)比演示等方法做出幫助，使得知識(shí)和技能的習(xí)得能歸源，能觸類(lèi)旁通，使得課堂練習(xí)落到實(shí)處。

參考文獻(xiàn)：

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[3]陳延付.再談“好的例題教學(xué)是照亮學(xué)生解題的燈塔”[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（10）：56-57.

[4]龔輝.在解題中促進(jìn)學(xué)生學(xué)會(huì)研究的教學(xué)實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（12）：47-49.

[5]徐小建.“高立意，低起點(diǎn)”讓曲高也能和眾[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（11）：40-43.

作者簡(jiǎn)介：

劉智敏，浙江省義烏市，義烏三中。