邱尚程

摘 要：解題訓(xùn)練是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，學(xué)生的解題能力直接關(guān)系著其高考成績(jī)。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)給予解題訓(xùn)練最大限度的重視。本文結(jié)合題例簡(jiǎn)要探討了三點(diǎn)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略，即注重?cái)?shù)學(xué)思想，總結(jié)提煉；一題多解訓(xùn)練，拓展思維；反思錯(cuò)題原因，找到根源。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)解題；解題教學(xué)；教學(xué)策略

解題訓(xùn)練是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，學(xué)生的解題能力直接關(guān)系著其高考成績(jī)。高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)給予解題訓(xùn)練最大限度的重視，并注重在習(xí)題教學(xué)中探索和總結(jié)相關(guān)策略，以期望不斷促進(jìn)訓(xùn)練效果，提升學(xué)生實(shí)際結(jié)題能力。本文擬就高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)談幾點(diǎn)策略性意見(jiàn)，希望對(duì)一線教師有所啟示。

一、注重?cái)?shù)學(xué)思想，總結(jié)提煉

在高中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)學(xué)思想及方法的合理運(yùn)用往往是正確解題的關(guān)鍵。教師應(yīng)在習(xí)題教學(xué)中多引入一些蘊(yùn)含著經(jīng)典數(shù)學(xué)思想及方法的題目，供學(xué)生訓(xùn)練，并注重引導(dǎo)學(xué)生加以總結(jié)提煉，體會(huì)其運(yùn)用之道，從而從深層次上提升解題能力。例如：“設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x-1|，求解：（1）畫出y=f（x）的圖像；（2）當(dāng)x∈[0，+∞），f（x）≤ax+b，求a+b的最小值?！痹擃}比較簡(jiǎn)單，但有一定典型性，第一問(wèn)的解答需要用道基本的分類討論思想，即對(duì)定義域進(jìn)行分類討論，f（x）=|2x+1|+|x-1|可變形為f（x）=-3x（x<-1/2）；x+2（-1/2≤x<1）；3x（x≥1），是一個(gè)分段函數(shù)。第二問(wèn)則用到數(shù)學(xué)結(jié)合思想和不等式思想，亦比較容易，具體只要觀察函數(shù)圖像注意到y(tǒng)=f（x）的圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各段圖像所在直線的斜率的最大值為3，即可求解，即當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時(shí)，f（x）≤ax+b在[0，+∞）成立，因此a+b的最小值為5。

二、一題多解訓(xùn)練，拓展思維

很多高中數(shù)學(xué)題目有著一種以上的解法，也就是所謂“一題多解”。事實(shí)證明，一題多解訓(xùn)練可以有效促進(jìn)學(xué)生的解題能力，有助于數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的發(fā)展，特別是思維的靈活性和創(chuàng)新性。在平時(shí)的習(xí)題教學(xué)中，教師要適當(dāng)?shù)匾胍恍┚哂写硇缘囊活}多解題目供學(xué)生訓(xùn)練。例如：已知（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，試證明x、y、z成等差數(shù)列。

思路1：要想證明x、y、z為等差數(shù)列，必須求得x-y=y-z，而這一結(jié)論只能由已知條件推導(dǎo)得出，所以看到此題時(shí)最直觀的想法便是展開(kāi)已知條件去尋求轉(zhuǎn)換。將（z-x）2-4（x-y）（y-z）展開(kāi)并整理，不難得到x-y=y-z，即證得x、y、z成等差數(shù)列。

思路2：觀察已知條件（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，其中x-y、y-z、z-x三項(xiàng)具有“對(duì)稱輪換”的特點(diǎn)，那么我們就可以利用此特點(diǎn)采用換元法減少代數(shù)式中的字母數(shù)量，從而大大簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)換運(yùn)算。具體可設(shè)x-y=a；y-z=b，則易得x-z=a+b，這時(shí)已知代數(shù)式可轉(zhuǎn)換為（a+b）2-4ab=0，通過(guò)推導(dǎo)可得出a=b，即x-y=y-z，故x、y、z成等差數(shù)列。

思路3：仔細(xì)觀察代數(shù)式（z-x）2-4（x-y）（y-z），如果設(shè)z-x=b，x-y=a，y-z=c，則其便呈現(xiàn)出二次方程判別式的形式特點(diǎn)，即b2-4ac，這就提供利用二次方程判別式相關(guān)知識(shí)求解的可能。此時(shí)分類討論：當(dāng)x-y=0時(shí)，對(duì)已知條件推導(dǎo)易得z-x=0，所以有x=y=z，三者成等差數(shù)列；當(dāng)x-y不等于0時(shí)，關(guān)于t的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0的判別式（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，所以方程有等根，而t=1為方程的一個(gè)根，所以方程的兩個(gè)根均為1，然后利用韋達(dá)定理即可順利求解。

三、反思錯(cuò)題原因，找到根源

對(duì)學(xué)生而言，錯(cuò)題反思是解題訓(xùn)練中必不可少的一環(huán)，只有通過(guò)深入的分析找到根源，才能發(fā)現(xiàn)自身知識(shí)結(jié)構(gòu)的弱點(diǎn)或思維上的某些盲點(diǎn)，從而獲得真正提升，并在以后不再犯同類錯(cuò)誤。只有這樣，習(xí)題訓(xùn)練才能真正起到作用。反之，若只講正確答案或者對(duì)出錯(cuò)原因只停留在表面，則無(wú)異于失去使學(xué)生獲取針對(duì)性提升的良機(jī)。例如：“若銳角△ABC中角B是角A的2倍，則cosA+cosB的取值范圍是多少？”比較典型的錯(cuò)誤解答過(guò)程是：cosA+cosB=cosA+cos2A=2cos2A+cosA-1=2（cosA+1/4）2-9/8，由于△ABC為銳角三角形且B是角A的2倍，故有A∈（0，π/4），cosA∈（0， /2），所以cosA+cosB=2（cosA+1/4）2-9/8在cosA∈（0， /2）上單調(diào)遞增，由此得到cosA+cosB∈（-1， /2）。那么錯(cuò)誤的原因在哪里呢？表面上看是忽略了C=π-（B+A），C∈（0，π/2），從而得到A>π/6，A的區(qū)間大小錯(cuò)誤而導(dǎo)致解答錯(cuò)誤，但實(shí)際上，深層次的原因是忽略了C為銳角時(shí)對(duì)角A得制約，致使求得的A的區(qū)間變大，而從根源上看，則是解題者對(duì)銳角三角形的定義沒(méi)有全面而切實(shí)掌握，沒(méi)有合理地利用上銳角三角形中任意兩個(gè)銳角兩個(gè)角的和為鈍角這一隱含條件。而這在三角函數(shù)解題中又常常是正確解題的關(guān)鍵性條件。這樣，通過(guò)對(duì)出錯(cuò)根源的剖析而明確本質(zhì)原因，自然就能夠真正掌握該題，并在同類題目中不再犯同樣的錯(cuò)誤。

綜上，本文結(jié)合題例簡(jiǎn)要探討了三點(diǎn)高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略，即注重?cái)?shù)學(xué)思想，總結(jié)提煉；一題多解訓(xùn)練，拓展思維；反思錯(cuò)題原因，找到根源。事實(shí)上，高中數(shù)學(xué)解題是一個(gè)兼具深度和廣度的教學(xué)課題，一線教師要注重在平時(shí)的習(xí)題教學(xué)中不斷探索和總結(jié)，以期不斷提升解題教學(xué)的有效性。

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