劉瑞紅

摘?要：本文以《同角三角函數(shù)的基本關(guān)系》為例，探索深度學(xué)習(xí)理念下發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的課堂教學(xué).從研究關(guān)系、探索發(fā)現(xiàn)到結(jié)合最近發(fā)展區(qū)的知識(shí)生成，從題組選擇到歸納反思，不斷加深對(duì)知識(shí)的主動(dòng)理解.緊扣深度學(xué)習(xí)理論，重視數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成和理解的過(guò)程性教學(xué)，通過(guò)問(wèn)題鏈引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生強(qiáng)化歸納猜想、數(shù)學(xué)抽象的意識(shí)，形成數(shù)學(xué)建模的自覺(jué)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)推理的習(xí)慣，提升解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的綜合能力。

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)理論;數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)思維

1?深度學(xué)習(xí)理論的內(nèi)涵

學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)者經(jīng)過(guò)一定特殊的、有效的練習(xí)所出現(xiàn)的認(rèn)知、動(dòng)作技能和態(tài)度情感的變化，這種變化是長(zhǎng)期的，通過(guò)后天習(xí)得的，可分為淺層學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)，其中深度學(xué)習(xí)更注重理解和應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者結(jié)合已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，在理解的基礎(chǔ)上主動(dòng)地、批判性地學(xué)習(xí)新的知識(shí).從本質(zhì)上看，深度學(xué)習(xí)是一種主動(dòng)的、探究式的、理解性的學(xué)習(xí)方式，要求學(xué)生能夠主動(dòng)地進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)、有效遷移應(yīng)用和有關(guān)問(wèn)題的解決.因此，教師在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展深度學(xué)習(xí)，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣和思維能力有積極的促進(jìn)作用，值得一線教師在教學(xué)實(shí)踐中不斷探索.

2?數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

教育部公布的《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)（征求意見(jiàn)稿）》中提出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包含了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面.數(shù)學(xué)課堂是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效載體，在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成和理解的過(guò)程中，可以幫助學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)抽象的意識(shí)，形成數(shù)學(xué)建模的自覺(jué)，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)推理的習(xí)慣，提升解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.在數(shù)學(xué)課堂上，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目的的深度學(xué)習(xí)，更加有利于學(xué)生基于數(shù)學(xué)知識(shí)，注重內(nèi)在聯(lián)系的知識(shí)建構(gòu)，獲得主動(dòng)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法去研究問(wèn)題的能力，即學(xué)會(huì)“用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界”.

3?深度學(xué)習(xí)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)實(shí)踐

章建躍認(rèn)為：“為了落實(shí)核心素養(yǎng)，應(yīng)該結(jié)合教學(xué)內(nèi)容解讀核心素養(yǎng)，并把核心素養(yǎng)轉(zhuǎn)化為與數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容緊密結(jié)合的教學(xué)目標(biāo).”在教學(xué)中，教師應(yīng)深入挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的價(jià)值，弄清楚知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和延續(xù)，先通過(guò)追本溯源，找到學(xué)習(xí)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)之間的聯(lián)系，找到探究發(fā)現(xiàn)的切入點(diǎn)，然后通過(guò)設(shè)置數(shù)學(xué)情境，一步步引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行知識(shí)建構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，這樣才能更好地結(jié)合課堂教學(xué)落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.1?從研究關(guān)系發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科思維

在本節(jié)習(xí)題課教學(xué)中，教師沒(méi)有采用直接讓學(xué)生去算平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系的方式來(lái)發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，也沒(méi)有從三角函數(shù)線的研究直接證明，而是設(shè)計(jì)了開(kāi)放性的探索問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生用研究數(shù)量關(guān)系的基本思路，嘗試去主動(dòng)發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，教學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

問(wèn)題1?觀察下列三組三角函數(shù)值，你能發(fā)現(xiàn)同角的三個(gè)三角函數(shù)之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生回憶，我們經(jīng)常用運(yùn)算來(lái)研究數(shù)量關(guān)系，而我們熟悉的運(yùn)算就是加、減、乘、除、平方和、平方差，你能通過(guò)這些運(yùn)算去研究一下，每一行的三個(gè)三角函數(shù)值之間有什么聯(lián)系嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用深度學(xué)習(xí)理論，創(chuàng)設(shè)學(xué)生主動(dòng)探究的數(shù)學(xué)情境，教學(xué)生用高中研究數(shù)量關(guān)系的基本思路進(jìn)行開(kāi)放性探究，由特殊到一般，歸納猜想同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).課堂上通過(guò)小組合作交流和同伴互助學(xué)習(xí)，促使同學(xué)們?cè)谶@個(gè)探究過(guò)程中都有收獲，根據(jù)歸納、推理和猜想，發(fā)現(xiàn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，然后教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，通過(guò)簡(jiǎn)單運(yùn)算得出的同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系，而其他運(yùn)算關(guān)系都是可以由基本關(guān)系式變形得到的.在這個(gè)過(guò)程中，關(guān)注學(xué)生的研究成果，及時(shí)給予肯定，并進(jìn)行分享和展示，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)參與度和學(xué)習(xí)興趣.通過(guò)這樣的探究性學(xué)習(xí)，不斷強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科思維，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

3.2?從最近發(fā)展區(qū)找到知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系

問(wèn)題2?你能用所學(xué)的知識(shí)證明你的猜想嗎？你會(huì)聯(lián)想到哪些知識(shí)？

【設(shè)計(jì)意圖】運(yùn)用深度學(xué)習(xí)理論中的最近發(fā)展區(qū)理論，啟發(fā)學(xué)生注重新舊知識(shí)的聯(lián)系，將所學(xué)知識(shí)納入已有的知識(shí)體系，不斷優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).聯(lián)系任意角三角函數(shù)的定義，借助單位圓中的三角函數(shù)線，從數(shù)形結(jié)合的角度直觀感知，然后嚴(yán)格證明同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.請(qǐng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法對(duì)猜想進(jìn)行說(shuō)理證明，完成對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的第一次認(rèn)識(shí).通過(guò)對(duì)軸線角的研究，發(fā)展學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，學(xué)生探索獲得同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系，教師引導(dǎo)完善，完成教學(xué)重點(diǎn).探究和證明的過(guò)程是學(xué)生體驗(yàn)、認(rèn)知和內(nèi)化知識(shí)和思想方法的過(guò)程，同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思維，發(fā)展學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng).

問(wèn)題3?當(dāng)角α的終邊與坐標(biāo)軸重合時(shí)，等式也成立嗎？?jī)蓚€(gè)等式適用的范圍是什么？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生經(jīng)過(guò)共同分析、合作交流，得出同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切.教師板書(shū)課題并分析同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特征，體會(huì)數(shù)學(xué)中變與不變，無(wú)限與有限之間的辯證聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的美.

問(wèn)題4?請(qǐng)判斷下列等式是否成立？你能談?wù)剬?duì)“同角”的理解嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)概念辨析，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式結(jié)構(gòu)的認(rèn)知，教師給出從數(shù)到字母再到式子的變化，加深學(xué)生對(duì)同角的認(rèn)識(shí).教師引導(dǎo)學(xué)生歸納出“同角”的兩層含義：一是角相同，二是對(duì)任意有意義的角，基本關(guān)系式都成立.將同角三角函數(shù)基本關(guān)系的研究從推導(dǎo)證明過(guò)渡到研究本質(zhì)，由感性認(rèn)識(shí)上升到理性認(rèn)識(shí)，完成對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系的第二次認(rèn)識(shí)，加深對(duì)“同角”含義的理解，突破教學(xué)難點(diǎn).在同角三角函數(shù)基本關(guān)系的發(fā)現(xiàn)過(guò)程中，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，感受數(shù)與形的完美統(tǒng)一.通過(guò)對(duì)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的結(jié)構(gòu)分析，體會(huì)變與不變，無(wú)限與有限之間的辯證聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)公式的結(jié)構(gòu)美，獲得美好的學(xué)習(xí)情感體驗(yàn).

3.3?以素養(yǎng)為導(dǎo)向的題組設(shè)計(jì)

根據(jù)建構(gòu)主義和深度學(xué)習(xí)的理論，任何知識(shí)的探究源頭來(lái)源于“問(wèn)題”，在課堂教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境還包括選擇適合的題組來(lái)促進(jìn)學(xué)生思維和能力的提升.課堂知識(shí)內(nèi)容的設(shè)計(jì)是促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的根本，內(nèi)容設(shè)計(jì)得詳略得當(dāng)，有的放矢才能提升知識(shí)的內(nèi)在吸引力，而題組設(shè)計(jì)更有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)變化發(fā)展的認(rèn)知，通過(guò)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系和發(fā)展，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題中自然而然地進(jìn)行歸納和總結(jié)，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).讓學(xué)生真正參與進(jìn)來(lái)，是促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的外在動(dòng)力，因此一方面習(xí)題的選擇應(yīng)該具有問(wèn)題性、開(kāi)放性，另一方面借助題組的變式，加強(qiáng)知識(shí)與方法之間的關(guān)聯(lián)性，可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和核心素養(yǎng).

【設(shè)計(jì)意圖】深度學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者結(jié)合已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和個(gè)人經(jīng)驗(yàn)，主動(dòng)建構(gòu)新知識(shí)與原有知識(shí)之間的聯(lián)系.例題1的設(shè)置以同角三角函數(shù)的基本關(guān)系為基礎(chǔ)，以方程為核心思想，旨在幫助學(xué)生從方程的角度認(rèn)識(shí)同角基本關(guān)系，明確“知一求二”的基本方法，進(jìn)而從正向以方程滲透消元思想，逆向以“齊次分式”結(jié)構(gòu)的觀察，探索出“弦化切”的適用情況和技巧.通過(guò)例題及變式的層層深入，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法，形成不同的解題方法，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

問(wèn)題5?觀察分式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，想一想，什么樣的式子可以使用構(gòu)造法來(lái)完成弦化切？

【設(shè)計(jì)意圖】深度學(xué)習(xí)發(fā)生在教師設(shè)置的數(shù)學(xué)情境中，教師有效的引導(dǎo)，有利于學(xué)生思維的發(fā)展和核心能力的提升.三種解題方法有利于學(xué)生結(jié)合知識(shí)的最近發(fā)展去主動(dòng)建構(gòu)和完善解題思維，將多種方法融會(huì)貫通，提升數(shù)學(xué)思維能力.避免盲目地解題練習(xí)，而讓知識(shí)和解題方法的產(chǎn)生水到渠成，更有利于發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.變式練習(xí)使得學(xué)生對(duì)商數(shù)關(guān)系的作用和同角三角函數(shù)中的“弦切互化”有了更深層次的思考和認(rèn)識(shí).教師可以追問(wèn)，一定要是一次的齊次分式嗎？如果是二次的齊次分式行不行？結(jié)合變式，學(xué)生探索出應(yīng)該“同時(shí)除以cos2α（cos α≠0）”來(lái)構(gòu)造“弦化切”？

題組式的題目設(shè)計(jì)有利于學(xué)生開(kāi)展深度學(xué)習(xí)，對(duì)知識(shí)的聯(lián)系比單純練習(xí)再總結(jié)，體會(huì)更深刻，知識(shí)的內(nèi)化效果好，有利于學(xué)生獲得成功的學(xué)習(xí)體驗(yàn).教師再給出變式5，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成弦的二次整式，讓學(xué)生再分析是否可以用構(gòu)造法完成“弦化切”，又延伸出“1”的恒等變換，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用的巧妙.

例2.化簡(jiǎn)（1+tan2α）·cos2α.

【設(shè)計(jì)意圖】深度學(xué)習(xí)理論重視學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，對(duì)于學(xué)生可以自主完成的內(nèi)容，教師不需要講也不用花費(fèi)過(guò)多的時(shí)間，該例題由學(xué)生獨(dú)立完成，然后講解思路分析和做法，讓學(xué)生跳一跳可以夠到果子.教師需要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)化簡(jiǎn)進(jìn)行歸納總結(jié)，加強(qiáng)知識(shí)與方法之間的聯(lián)系，使學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力獲得提升.

4?實(shí)踐反思

深度學(xué)習(xí)理論在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用，首先需要老師樹(shù)立學(xué)習(xí)觀和教學(xué)觀，精心準(zhǔn)備才能保證教學(xué)活動(dòng)的順利開(kāi)展.充分挖掘教學(xué)內(nèi)容對(duì)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的價(jià)值，根據(jù)課標(biāo)的要求，在每一節(jié)數(shù)學(xué)課中貫徹落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng).深度學(xué)習(xí)理論能夠很好地幫助學(xué)生建立知識(shí)之間的聯(lián)系和優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).知識(shí)點(diǎn)的拓展要有度，能夠讓學(xué)生理解和接受，獲得積極的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，拓展延伸要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況來(lái)制定教學(xué)計(jì)劃.通過(guò)合作學(xué)習(xí)可以幫助不同程度的學(xué)生獲得自己的提升，同時(shí)構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，對(duì)于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有積極的作用.

在課堂教學(xué)中，還可以再進(jìn)行優(yōu)化的是：給學(xué)生更多自主學(xué)習(xí)的空間，增加一些動(dòng)手實(shí)踐和操作，通過(guò)調(diào)整教學(xué)形式，讓課堂多一些趣味，這樣學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性會(huì)更高.在學(xué)習(xí)過(guò)程中，師生是合作互助的關(guān)系，多些互動(dòng)交流會(huì)促進(jìn)建立和諧的師生關(guān)系，教師對(duì)于學(xué)生過(guò)程性的表現(xiàn)，要及時(shí)給予積極的反饋，肯定學(xué)生的努力和取得的進(jìn)步，對(duì)于學(xué)生提出的問(wèn)題，要幫助學(xué)生尋求解決辦法，鼓勵(lì)學(xué)生不斷進(jìn)步，這樣學(xué)生也會(huì)更積極努力地參與到教學(xué)活動(dòng)中來(lái)，在尋求答案的過(guò)程中，學(xué)生的核心素養(yǎng)得到了鍛煉.

實(shí)踐證明，基于深度學(xué)習(xí)理論發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是有效的，值得一線教師不斷鉆研，在積極踐行中，總結(jié)出行之有效的做法并推廣，使學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得更多的數(shù)學(xué)能力提升.新時(shí)代需要的人才是具備良好的學(xué)習(xí)能力，能夠不斷提升自己，解決實(shí)際問(wèn)題，同時(shí)又富有想象力和創(chuàng)造力，能與他人交流合作并迅速接受新知識(shí)和利用新技術(shù)的高素質(zhì)人才，這些都要求我們能夠終身學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí).在新形勢(shì)下，我們需要不斷優(yōu)化教學(xué)方式，通過(guò)深度學(xué)習(xí)不斷加強(qiáng)對(duì)學(xué)生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)、提高學(xué)生的綜合素質(zhì).

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