呂亞男 呂端良
摘要:本文基于發(fā)生教學(xué)法,遵循導(dǎo)數(shù)概念的創(chuàng)造和應(yīng)用的最自然的方式,從概念的導(dǎo)入、概念的剖析、概念的應(yīng)用三個維度進行導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計。
關(guān)鍵詞:發(fā)生教學(xué)法;導(dǎo)數(shù);教學(xué)設(shè)計
概念是構(gòu)筑學(xué)科理論體系的基礎(chǔ)。不同的學(xué)科,對概念有不同的定義表述,但其共性是對事物本質(zhì)屬性的概括。對于數(shù)學(xué)概念而言,則是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性,是人們通過實踐,從研究對象的許多屬性中,抽象出其本質(zhì)屬性概括而成的[1]。
高等數(shù)學(xué)作為一門古老而經(jīng)典的數(shù)學(xué)學(xué)科,其大多數(shù)概念既具有高度的抽象性和概括性,也蘊含著豐富的歷史文化和哲學(xué)思想。毋庸置疑,教好高等數(shù)學(xué)要從重視概念教學(xué)開始。只有概念的根基扎實,才有可能建造數(shù)學(xué)學(xué)科的萬丈高樓。
本文以導(dǎo)數(shù)概念為例,研究發(fā)生教學(xué)法在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)中的運用,給出基于發(fā)生教學(xué)法的導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)設(shè)計。
一、發(fā)生教學(xué)法概述
1.發(fā)生教學(xué)法的基本原理
發(fā)生教學(xué)法的原理是學(xué)科教學(xué)的方法應(yīng)當(dāng)盡可能地基于以科學(xué)知識內(nèi)在的自然的方式和方法。也就是教學(xué)必須跟隨知識發(fā)展的順序[1]。對于高等數(shù)學(xué)的概念教學(xué)而言,就是要遵從數(shù)學(xué)概念創(chuàng)造和應(yīng)用的最自然的方式。通俗來說,就是講解概念時要讓學(xué)生見證概念的起源。但是也要注意,見證起源不是簡單的照搬歷史,而是教師在研究數(shù)學(xué)史、通曉學(xué)科發(fā)展歷程的基礎(chǔ)上,進行數(shù)學(xué)概念再創(chuàng)造的過程。
2.基于發(fā)生教學(xué)法的教學(xué)框架構(gòu)建
基于發(fā)生教學(xué)法的基本原理,在進行概念教學(xué)框架構(gòu)建時,首先對所講授的概念進行數(shù)學(xué)史分析、數(shù)學(xué)邏輯分析、學(xué)生的心理認知分析以及概念的應(yīng)用領(lǐng)域分析;然后依據(jù)概念教學(xué)的必要性、直觀性、關(guān)聯(lián)性、應(yīng)用性原則,從概念的起源、幾何特征、新舊知識的關(guān)聯(lián)以及應(yīng)用等方面,考慮如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,增進學(xué)生對概念的理解;最后按照Why-What-How(簡稱WWH)三個步驟進行具體的教學(xué)設(shè)計。
二、導(dǎo)數(shù)概念的教學(xué)設(shè)計
(一)導(dǎo)數(shù)概念的導(dǎo)入,注重講清“為什么”(Why)
在國內(nèi)大部分高等數(shù)學(xué)的教材中,關(guān)于導(dǎo)數(shù)概念的引入,一般采用通過兩個不同領(lǐng)域的引例抽象出導(dǎo)數(shù)的定義的模式。比如,在同濟版的高數(shù)教材[2]中,借助物理學(xué)引例“變速直線運動的瞬時速度”和幾何學(xué)引例“曲線的切線”;在某些經(jīng)濟數(shù)學(xué)的教材[3]中,再結(jié)合經(jīng)濟學(xué)引例“產(chǎn)品總成本的變化率”等。雖然教材中的引例是從歷史或者應(yīng)用的角度提煉而來的,但是仍然缺乏對導(dǎo)數(shù)概念的起源的介紹。所以,要讓學(xué)生徹底明白為什么要研究導(dǎo)數(shù),需要教師在教學(xué)設(shè)計時,進行導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)史分析,從歷史發(fā)展的角度,帶領(lǐng)學(xué)生見證導(dǎo)數(shù)的起源。
在介紹導(dǎo)數(shù)的起源時,可以從講清楚引例從何而來入手。比如,為什么要研究“曲線的切線”?這是由于17世紀30年代,光學(xué)透鏡的設(shè)計以及炮彈彈道軌跡的計算,促使數(shù)學(xué)家們對曲線的切線進行研究[4]。而物理學(xué)引例“變速直線運動的瞬時速度”則是源于機器大工業(yè)以及力學(xué)的發(fā)展。借助多媒體課件,向?qū)W生展示17世紀工業(yè)技術(shù)發(fā)展的圖片、科學(xué)進步的文獻資料等,會進一步激發(fā)學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念學(xué)習(xí)的興趣。
(二)導(dǎo)數(shù)概念的剖析,注重多維度分析“是什么”(What)
在經(jīng)過為什么研究導(dǎo)數(shù)的激發(fā)后,引導(dǎo)學(xué)生積極探索,讓學(xué)生明白導(dǎo)數(shù)的概念是如何建立起來的。
1.從宏觀上介紹導(dǎo)數(shù)的發(fā)展歷程。
導(dǎo)數(shù)的發(fā)展歷程其實就是微積分的發(fā)展史。從費馬使用的無窮小量,到牛頓的流術(shù)數(shù)以及萊布尼茨引入增量 ,再到由“無窮小”引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機,最后到19世紀嚴格的極限理論(以柯西為代表)和嚴格的實數(shù)理論(以威爾斯特拉斯為代表)的創(chuàng)立,使得微積分的基礎(chǔ)得以穩(wěn)固,第二次數(shù)學(xué)危機得以化解。從宏觀上讓學(xué)生了解導(dǎo)數(shù)在微分學(xué)中的地位,并且從中可以得到重要的啟示:微積分的邏輯順序是“實數(shù)理論→極限理論→微積分”,但是其歷史發(fā)展順序卻恰恰相反[5]。
2.從微觀角度剖析導(dǎo)數(shù)的概念。
從教材中的引例入手,引導(dǎo)學(xué)生探索引例的分析方法,尋找不同問題的共性,然后抽象概括得到導(dǎo)數(shù)的定義——函數(shù)值增量與自變量增量的比值,當(dāng)自變量增量趨于零時的極限。而導(dǎo)數(shù)的本質(zhì)是通過極限的概念對函數(shù)進行局部的線性逼近,即一個變量隨某個變量變化時的變化率[4]。
3.從直觀上進一步闡述導(dǎo)數(shù)的概念。
從形式化角度給出導(dǎo)數(shù)的概念之后,學(xué)生可能仍未深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念。因此,再從導(dǎo)數(shù)的幾何意義入手,從直觀上進一步闡述導(dǎo)數(shù)是什么。從直觀上來講,函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)就是函數(shù)曲線在該店出的切線斜率;函數(shù)在一點處可導(dǎo)就是函數(shù)曲線在該點有切線;而函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo),就是函數(shù)曲線在該區(qū)間上的每一點都有切線。進一步,有了切線斜率和切點,就可以利用點斜式方程寫出曲線的切線方程,進而得到法線方程。
4.從關(guān)聯(lián)性角度剖析導(dǎo)數(shù)的概念。
導(dǎo)數(shù)作為通過極限定義的一個新的概念,引導(dǎo)學(xué)生思考:導(dǎo)數(shù)與極限、連續(xù)等概念之間的關(guān)系。導(dǎo)數(shù)涉及到增量比值的極限,連續(xù)也涉及到增量的極限,那導(dǎo)數(shù)與連續(xù)之間是什么關(guān)系呢?一方面從定義角度推導(dǎo)可導(dǎo)必連續(xù),再舉反例說明連續(xù)未必可導(dǎo)。另一方面從幾何圖像上來展示連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系。
分析了可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系之后,結(jié)合之前已經(jīng)建立的連續(xù)與極限的關(guān)系,自然可以得到“可導(dǎo)連續(xù)極限存在”,但是反之均不成立。通過類比歸納,可以進一步加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解。
(三)導(dǎo)數(shù)概念的應(yīng)用,注重講清如何用(How)
多維度的剖析了導(dǎo)數(shù)的概念之后,還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生探討導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。第一,可以從定義入手得到計算導(dǎo)數(shù)的第一種方法——定義法,并且可以借助左右導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判定分段函數(shù)分界點的可導(dǎo)性。第二,可以將導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與學(xué)生的專業(yè)知識相結(jié)合。比如,對于經(jīng)管類學(xué)生,可以將導(dǎo)數(shù)對應(yīng)到邊際分析、彈性分析中。第三,可將導(dǎo)數(shù)與生活實際相結(jié)合。比如,高速公路測速器實際上檢測的就是瞬時速度,復(fù)興號動車組的最高時速也是指瞬時速度。通過導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,進一步加深學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解,最終內(nèi)化為自身對概念的圖式。
三、結(jié)束語
教學(xué)實踐證明,發(fā)生教學(xué)法在導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)過程中收到良好效果。由此以點帶面,可以將發(fā)生教學(xué)法運用到高等數(shù)學(xué)課程的其它核心概念,以及線性代數(shù)和概率論與數(shù)理統(tǒng)計等課程的概念教學(xué)中。
參考文獻:
[1]朱琳.基于發(fā)生教學(xué)法的線性空間概念的教學(xué)研究[D].上海:華東師范大學(xué)理工學(xué)院數(shù)學(xué)系,2017:11-12.
[2]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編.高等數(shù)學(xué)(第六版)上冊[M].北京:高等教育出版社,2007:77-79.
[3]顧靜相.經(jīng)濟數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京:高等教育出版社,2014:56-58.
[4]杜瑞芝.數(shù)學(xué)史辭典新編[M].濟南:山東教育出版社,2017:591.
[5]顧沛.數(shù)學(xué)文化[M].北京:高等教育出版社,2008:122- 128.
作者簡介:
呂亞男,1982年1月,女,漢族,山東淄博人,碩士,講師,研究方向:高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究。
呂端良,山東科技大學(xué)基礎(chǔ)課部。
基金項目:本文系山東科技大學(xué)優(yōu)秀教學(xué)團隊支持計劃(編號:JXTD20180509);2018群星計劃教育教學(xué)改革項目(編號:QX2018M91)。