溫永堅(jiān)

【摘要】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。本文圍繞著史寧中教授對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的解讀，嘗試在“圖形與幾何”的教學(xué)導(dǎo)入中進(jìn)行理解與運(yùn)用，采取行之有效的策略去落實(shí)，以求提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；圖形與幾何；教學(xué)導(dǎo)入

圖形與幾何在數(shù)學(xué)體系中有著十分重要的位置，它以圖形的認(rèn)識(shí)、測(cè)量、圖形的運(yùn)動(dòng)、圖形與位置為內(nèi)容，以發(fā)展學(xué)生的空間觀念，幾何直觀、推理能力為核心。反映出豐富多彩的現(xiàn)實(shí)生活，學(xué)生對(duì)此是非常熟悉和感興趣的。但是，作為教師，在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)，也不應(yīng)該忽略對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，那么，數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)是什么呢？《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確提出，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。史寧中教授將數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)解讀為三句話：用數(shù)學(xué)的眼光觀察數(shù)學(xué)世界，用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)世界。在“圖形與幾何”中，即用抽象的眼光觀察圖形世界，用幾何直觀和空間觀念來(lái)分析抽象的圖形世界，用圖形的語(yǔ)言來(lái)描述數(shù)學(xué)世界。

下面，筆者以圖形與幾何（北師大版）教學(xué)導(dǎo)入為例，圍繞史寧中教授的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)觀進(jìn)行分析，談?wù)剛€(gè)人一己之見(jiàn)。

一、用抽象的眼光觀察圖形世界

1.用抽象的眼光欣賞圖形

數(shù)學(xué)課程具有一定的文化價(jià)值，是文化傳承的載體。它與其他文化課程一樣，除了具有傳承、發(fā)展、提高的共同特點(diǎn)以外，還具備特殊的審美文化價(jià)值。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，不應(yīng)該停留在淺層次欣賞美的感覺(jué)上。還要在一定程度上體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)用價(jià)值，學(xué)會(huì)用抽象的眼光去欣賞圖形，展現(xiàn)數(shù)學(xué)圖形中的對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美，給學(xué)生以美的享受。

例如，在教學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《欣賞與設(shè)計(jì)》時(shí)，主要是通過(guò)欣賞教材和生活中的一些美麗圖案，激起學(xué)生對(duì)美麗圖案的探究欲望，喚起學(xué)生的審美意識(shí)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的美，體會(huì)圖形世界的神奇。為了讓學(xué)生欣賞到更多美麗的圖案，根據(jù)這一設(shè)計(jì)理念，在課前，筆者要求學(xué)生運(yùn)用軸對(duì)稱、平移等知識(shí)，開(kāi)展一項(xiàng)“我愛(ài)我的班集體”為主題的《班徽的設(shè)計(jì)》大賽。在活動(dòng)中，學(xué)生熱情參與，創(chuàng)意倍出，好作品不斷涌現(xiàn)。當(dāng)學(xué)生在欣賞美麗圖案時(shí)，教師及時(shí)提出相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考。

師：同學(xué)們，現(xiàn)在有請(qǐng)獲獎(jiǎng)的同學(xué)上來(lái)展示他們的作品，并介紹他們的作品設(shè)計(jì)體會(huì)，請(qǐng)同學(xué)們細(xì)心欣賞，認(rèn)真聆聽(tīng)?。▽?shí)物展示）

師：大家在欣賞這些美麗的圖案時(shí)，再想一想，這些圖案是由哪些簡(jiǎn)單圖形經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的？（可以用平移或軸對(duì)稱得到，也可以用平移和軸對(duì)稱相結(jié)合得到）

當(dāng)一幅幅美麗的作品呈現(xiàn)在同學(xué)們面前時(shí)，學(xué)生會(huì)感到無(wú)比自豪，在享受美麗圖案的同時(shí)，也感受到軸對(duì)稱圖形的魅力，學(xué)會(huì)了用抽象的目光去欣賞美，感受到數(shù)學(xué)圖案獨(dú)特的美。

2.用抽象的眼光觀察圖形

觀察是一種有目的、有計(jì)劃、主動(dòng)并由思維參與的知覺(jué)過(guò)程?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程充滿了觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證、推理與交流等豐富多彩的數(shù)學(xué)活動(dòng)。從數(shù)學(xué)角度，用抽象的眼光觀察圖形，可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)、運(yùn)用知識(shí)的能力，讓學(xué)生養(yǎng)成勤于思考，樂(lè)于創(chuàng)造的好習(xí)慣，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在圖形與幾何教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生科學(xué)地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)中的圖形，體現(xiàn)圖形中的數(shù)學(xué)價(jià)值，養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的角度去發(fā)現(xiàn)，去思考的習(xí)慣，才能創(chuàng)造出更多更美的生活。

例如，在教學(xué)二年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)角》時(shí)，我們要在直觀感知中抽象出角的基本圖形，一位教師這樣設(shè)計(jì)導(dǎo)入：出示一幅班級(jí)生活場(chǎng)景（課件演示）

師：同學(xué)們，在生活中，我們經(jīng)?？吹礁鞣N角，在這幅畫(huà)里，你發(fā)現(xiàn)了哪些物體有角呢？（學(xué)生交流討論）

生1：我發(fā)現(xiàn)了桌子有四個(gè)角

生2：我發(fā)現(xiàn)了掛鐘有角（時(shí)針和分針）

生3：我發(fā)現(xiàn)了紅領(lǐng)巾也有角呀

生4：我的書(shū)本、鉛筆盒也有角呢

... ...

師：同學(xué)們真細(xì)心，觀察能力真棒！你們能把它們畫(huà)出來(lái)嗎？

生：……（學(xué)生有點(diǎn)遲疑，此處引導(dǎo)學(xué)生思考：生活中角怎樣變成數(shù)學(xué)中的角？）

師：這些角究竟是怎么樣的呢，下面我們來(lái)展示一下（課件動(dòng)畫(huà)演示從實(shí)物中抽象出平面的角）

學(xué)生通過(guò)觀察生活中常見(jiàn)的身邊物體，然后在動(dòng)畫(huà)的演示過(guò)程中，初步感知角的共同特點(diǎn)，經(jīng)歷了從實(shí)物中認(rèn)識(shí)角，辨析角的過(guò)程，培養(yǎng)了學(xué)生觀察、抽象能力，發(fā)展了學(xué)生空間觀念，使學(xué)生逐步養(yǎng)成了用抽象的眼光去觀察事物的特征的習(xí)慣。

二、用幾何直觀和空間觀念來(lái)分析抽象的圖形世界

1.用幾何直觀去分析圖形

史寧中教授認(rèn)為幾何直觀是一種解決問(wèn)題的能力，是借助于見(jiàn)到的或想象出來(lái)的幾何圖形，通過(guò)圖形本身及圖形與圖形之間的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象進(jìn)行直接感知、整體把握。

作為教師，我們要注意培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，要充分認(rèn)識(shí)到，借助幾何直觀，可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得形象、直觀，可以快速地理解問(wèn)題，內(nèi)化教材的知識(shí)，提升學(xué)生把握空間的認(rèn)知能力，并能夠靈活地解決實(shí)際問(wèn)題。在圖形與幾何教學(xué)中。要提升課堂教學(xué)效率，我們可以運(yùn)用實(shí)物直觀、圖形直觀這兩種形式去分析圖形。

①實(shí)物直觀

皮亞杰認(rèn)為空間表征的建構(gòu)是通過(guò)兒童漸進(jìn)的動(dòng)手活動(dòng)形成的，兒童的理解來(lái)自于他們作用于物體的活動(dòng)。幾何圖形的內(nèi)容具有豐富的現(xiàn)實(shí)背景，學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常接觸各種幾何形體，對(duì)幾何圖形非常熟悉。因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師要鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手制作幾何圖形實(shí)物。引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)親自觸摸、觀察、測(cè)量、想象、概括，開(kāi)展看一看、比一比、折一折、剪一剪、拼一拼、擺一擺、量一量、畫(huà)一畫(huà)”的活動(dòng)，運(yùn)用多種感官，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)幾何圖形的直觀感知。促進(jìn)知識(shí)的轉(zhuǎn)化，從而使學(xué)生理解圖形特征，形成初步的空間觀念。

例如，五年級(jí)下冊(cè)《長(zhǎng)方體的認(rèn)識(shí)》一課的導(dǎo)入，學(xué)生在第一學(xué)段也直觀認(rèn)識(shí)了長(zhǎng)方體和正方體，能夠辨認(rèn)它們的外部特征。憑借著長(zhǎng)期的生活經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生對(duì)長(zhǎng)方體已有了豐富的感知?？墒牵瑑H靠教師手中的實(shí)物模型和教材里的圖形，學(xué)生就能充分感知圖形的內(nèi)部特征了嗎？其實(shí)，在教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)于一些感知和想象能力稍弱的學(xué)生，認(rèn)知的難度還是比較大的。依據(jù)這一實(shí)際情況，課前筆者預(yù)設(shè)了一項(xiàng)學(xué)生實(shí)踐活動(dòng)：搜集并制作長(zhǎng)方體與正方體的實(shí)物模型。上課伊始，當(dāng)學(xué)生拿出手中的實(shí)物模型中，異常高興，不斷地向周圍的同學(xué)炫耀。有各種色彩繽紛的手工折紙，不同的包裝盒，還有的竟然是泥巴做成的模型。這時(shí)，教師便順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生向全班同學(xué)展示。借此提出問(wèn)題：你手中的長(zhǎng)方體和正方體各有什么特點(diǎn)？讓學(xué)生就此比一比，說(shuō)一說(shuō)。

由于在課前導(dǎo)入時(shí)，教師巧妙地變開(kāi)展搜集和制作模型的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、操作和歸納過(guò)程，充分感知面、棱、頂點(diǎn)的含義，發(fā)現(xiàn)和掌握長(zhǎng)方體和正方體的特點(diǎn)。學(xué)生在實(shí)踐操作中學(xué)習(xí)，感知與實(shí)物密切相聯(lián)，激發(fā)了學(xué)生的興趣，快速幫助學(xué)生構(gòu)建了幾何空間觀念。

②圖形直觀

從實(shí)物直觀再到圖形直觀，學(xué)生經(jīng)歷了由表象思維向形象思維的發(fā)展過(guò)程。教師可以利用多媒體平臺(tái)，把實(shí)物模型直觀轉(zhuǎn)換成幾何圖形直觀，在觀察、辨認(rèn)中掌握幾何圖形，體會(huì)幾何直觀在圖形中的作用。讓學(xué)生的直觀認(rèn)知得到進(jìn)一步的提升，進(jìn)一步發(fā)展其空間觀念。

例如，在教學(xué)六年級(jí)下冊(cè)《面的旋轉(zhuǎn)》導(dǎo)入時(shí)，如果僅僅讓動(dòng)手旋轉(zhuǎn)手中的小旗，然后再說(shuō)一說(shuō)旋轉(zhuǎn)后形成的圖形。由于圖形的快速旋轉(zhuǎn)，也快速消失，當(dāng)小旗停下來(lái)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)圖形留給學(xué)生的記憶表象還是不夠深刻。學(xué)生只停留在淺層次的感知上，要使學(xué)生完整而全面感知圓柱與圓錐等立體圖形的特征，教師應(yīng)該把實(shí)物直觀轉(zhuǎn)換成圖形直觀。這時(shí)，我們可以借助多媒體平臺(tái)，運(yùn)用動(dòng)畫(huà)播放形式，反復(fù)把這一過(guò)程生動(dòng)的在學(xué)生面前展示出來(lái)，由此給學(xué)生留下深刻的空間記憶，豐富學(xué)生的表象，學(xué)使生對(duì)圓柱與圓錐的認(rèn)知更加全面。

因?yàn)橛辛藙?dòng)畫(huà)的生動(dòng)演示，產(chǎn)生了形象而直觀的效果。化抽象為直觀，化靜為動(dòng)，化難為易，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，也培養(yǎng)了學(xué)生幾何直觀能力。

2.用空間觀念去抽（想）象圖形

空間觀念實(shí)際上是指物體的形狀、大小、位置、距離、方向等形象在人腦中的反應(yīng)。要想建立空間觀念，學(xué)生需要經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理、驗(yàn)證的過(guò)程。它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：①由實(shí)物的形狀抽象出幾何圖形?，F(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)物都可以抽象出各種各樣的幾何圖形。在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生去搜集各種實(shí)物，然后在課堂進(jìn)行上印證，或者舉例生活中的實(shí)物，通過(guò)思考，與記憶中的圖形進(jìn)行驗(yàn)證。另一方面，教材也通過(guò)實(shí)物照片、場(chǎng)景圖、圖形等不同的形式把幾何圖形抽象出來(lái)，把立體圖形轉(zhuǎn)換成平面圖形。

例如，四年級(jí)下冊(cè)觀察物體《看一看》導(dǎo)入，筆者依據(jù)教材呈現(xiàn)了三幅圖，開(kāi)展了同桌兩人“我搭你畫(huà)”的合作活動(dòng)，要求一個(gè)同學(xué)搭建，另一個(gè)同學(xué)畫(huà)出正面圖。在“我搭你畫(huà)”的活動(dòng)中，當(dāng)展示一個(gè)和兩個(gè)正方體時(shí)，另一個(gè)同學(xué)輕易畫(huà)了出來(lái)?？墒钱?dāng)同桌展示三個(gè)正方體時(shí)，有的把第三個(gè)正方體放在上面，前面、背面、左側(cè)面、右側(cè)面，這時(shí)有些同學(xué)犯難了，筆下遲疑起來(lái)，有時(shí)只看到兩個(gè)正方體，多出的一個(gè)哪里去了？重疊的又怎么畫(huà)？這時(shí)學(xué)生的對(duì)立體圖形的轉(zhuǎn)換成平面圖形，有了新的認(rèn)識(shí)，重疊的圖形怎么展示，隱藏的圖形怎么展示，學(xué)生也在不斷的思索。此時(shí)教師順勢(shì)引導(dǎo)，將事先畫(huà)出來(lái)的同學(xué)上臺(tái)展示，并說(shuō)出自己的想法，當(dāng)疑惑在講解和演示中解惑出來(lái)時(shí)，學(xué)生豁然開(kāi)朗，空間觀念也慢慢形成。

②由幾何圖形想象出實(shí)物的形狀。想象是學(xué)生依靠大量感性材料而進(jìn)行的一種高級(jí)的思維活動(dòng)。對(duì)幾何圖形的觀察感知，僅僅形成了物體初步的表象，要進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念。必須讓學(xué)生展開(kāi)豐富的空間想象。通過(guò)繪制或描述圖形方式，可以把想象出的實(shí)物圖形展示出來(lái)，以形成物體完整的表象，深化學(xué)生的空間觀念。

五年級(jí)下冊(cè)的《展開(kāi)與折疊》，教材安排了兩個(gè)活動(dòng)，一是把正方體展開(kāi)，讓學(xué)生初步感知正方體與展開(kāi)圖之間的關(guān)系。二是把每一種展開(kāi)圖重新折疊成正方體，拓展學(xué)生對(duì)正方體展開(kāi)圖的認(rèn)識(shí)。當(dāng)時(shí)課堂上筆者安排了這兩個(gè)活動(dòng)時(shí)，學(xué)生因?yàn)閯?dòng)手動(dòng)手參與而興趣高漲。學(xué)生在參與活動(dòng)一時(shí)，細(xì)心剪，相互比，很快向全班展示出各種不同的正方體展開(kāi)圖，然后再進(jìn)行描述，雖然這時(shí)候?qū)W生得到的展開(kāi)圖并不夠全面，可是由于是學(xué)生親身參與體驗(yàn)，得到的感悟卻比較深刻。這時(shí)候，筆者在再啟發(fā)學(xué)生，正方體的展開(kāi)圖只有這些嗎？學(xué)生帶著疑問(wèn)之時(shí)，筆者再用課件展示各種不同的正方體的展開(kāi)圖（有正確和錯(cuò)誤的），然后問(wèn)學(xué)生，哪些圖形可以折疊成正方體，這時(shí)候讓學(xué)生帶著想象，去思考、去判斷、去想象，在他們的腦海中浮現(xiàn)出一個(gè)個(gè)立體的正方體圖形，讓他們?cè)谙胂笾袪?zhēng)論，在爭(zhēng)論中進(jìn)行驗(yàn)證。教師把正方體的11種展開(kāi)圖的折紙交還給學(xué)生，讓他們一一折疊，體驗(yàn)到成功的快樂(lè)，進(jìn)一步感受到正方體展開(kāi)與折疊之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

這兩個(gè)活動(dòng)也是平面圖形與立體圖形的相互轉(zhuǎn)換。在這個(gè)過(guò)程中，想象成為了學(xué)生概括、抽象的重要的思維橋梁，拓展了學(xué)生的空間觀念。

三、用圖形的語(yǔ)言來(lái)描述數(shù)學(xué)世界

斯托利亞爾曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)的教學(xué)也就是數(shù)學(xué)語(yǔ)言的教學(xué)?！眻D形是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的對(duì)象，也是數(shù)學(xué)交流的工具，用圖形的語(yǔ)言描述現(xiàn)實(shí)情境的數(shù)量關(guān)系，是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的初步抽象，圖形語(yǔ)言是發(fā)展學(xué)生抽象思維助力器，當(dāng)學(xué)生積累了一定的空間觀念感知后，我們可以借助圖形的語(yǔ)言描述來(lái)形成空間觀念。

圖形的語(yǔ)言教學(xué)中常用的圖形語(yǔ)言有線段圖、數(shù)軸圖、集合圖、單位圓、幾何圖等。在圖形與幾何的教學(xué)中，圖形本身既可以作為就是一種研究對(duì)象，也可以作為一種語(yǔ)言符號(hào)。圖形的語(yǔ)言體現(xiàn)在集合圖的運(yùn)用上面，倒如在四年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)三角形和四邊形》這一單元里。圖形的分類、三角形分類、四邊形分類等內(nèi)容，在教學(xué)導(dǎo)入時(shí)，都是按一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的，在滲透分類標(biāo)準(zhǔn)的同時(shí)，也滲透了集合的思想，學(xué)生運(yùn)用集合圖進(jìn)行分類，把相同特征的同一類圖形放在同一個(gè)集合圖里，例如把平面圖形、立體圖形歸類為兩個(gè)集合。把直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形歸類為三個(gè)集合。把四邊形、平行四邊形、梯形歸類為三個(gè)集合。實(shí)際也是運(yùn)用了圖形的語(yǔ)言了解圖形的特征，描述圖形之間的關(guān)系。

在這過(guò)程中，我們要有圖形語(yǔ)言的意識(shí)，在教學(xué)中注意引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生使用圖形語(yǔ)言，才能使學(xué)生善于用圖形語(yǔ)言思考、表達(dá)與交流數(shù)學(xué)。

小學(xué)數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)觀，不同的角度有不同的理解，它不僅體現(xiàn)在教學(xué)導(dǎo)入上，更多的貫穿在整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，我們必須把培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)作為重要的目標(biāo)，結(jié)合新課標(biāo)理念，采取行之有效的策略去落實(shí)。

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