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轉(zhuǎn)化思想在解中學(xué)數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用

2019-09-10 07:22徐雁明
廣東教學(xué)報·教育綜合 2019年58期
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)解題轉(zhuǎn)化思想中學(xué)數(shù)學(xué)

徐雁明

【摘要】數(shù)學(xué)教學(xué)的核心在于數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的基本數(shù)學(xué)思想之一,也是數(shù)學(xué)思想方法的核心。轉(zhuǎn)化思想是指在分析解決問題時把那些待解決問題通過某種轉(zhuǎn)化過程,化歸為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問題,最終求得原問題的解答。因此,解題時要善于將復(fù)雜化簡單,陌生化熟悉,一般化特殊,數(shù)形互化等。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)解題;轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用十分廣泛,在較為綜合的數(shù)學(xué)問題解決當(dāng)中離不開轉(zhuǎn)化思想——把復(fù)雜的問題化為簡單的形式,把抽象的問題化為具體的,把不熟悉的化為熟悉的,甚至數(shù)化為形。所謂分析和解決問題的能力,就是不斷轉(zhuǎn)化的能力,同時邏輯思維的過程,也是不斷轉(zhuǎn)化的過程。數(shù)學(xué)問題的設(shè)計都是圍繞著最基本的數(shù)學(xué)概念、定理、知識、方法而進(jìn)行的,都是為考查“三基”服務(wù)。因此,無論問題設(shè)計得多么復(fù)雜,總能經(jīng)過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,把問題歸結(jié)到最基本的知識。為此,在解答數(shù)學(xué)問題時要善于將復(fù)雜、陌生的問題轉(zhuǎn)化為簡單、熟悉的問題來解決,轉(zhuǎn)化思想是解答數(shù)學(xué)問題的重要思想。

一、 “一般”化為“特殊”:對一些“成立”問題,常??梢匀讉€“特殊值”進(jìn)行分析

例1. 證明:對任意m∈R,直線y-mx+

3m+2=0恒通過定點,并求出該定點的坐標(biāo)。

分析:對任意實數(shù)m,直線總過定點,因此,當(dāng)m=0或m=1時,直線也過定點。所以,定點的坐標(biāo)應(yīng)滿足方程組

這里便體現(xiàn)著“一般”(對任意實數(shù)m,直線總過定點)化到“特殊”(m=0,m=1時,直線也過定點)的轉(zhuǎn)化。

解:令m=0,m=1,有 , 則有 。把它代入原直線方程得到式子:-2-3m+3m+2=0。此式對任意實數(shù)m恒成立,所以對于任意實數(shù)m,直線 y-mx+3m+2=0恒過定點(3,-2)。

二、“不熟悉”轉(zhuǎn)化為“熟悉”:常常可以把極坐標(biāo)中不熟悉的問題轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)來解決,復(fù)數(shù)中不熟悉的式子轉(zhuǎn)化為實數(shù)式(實行公式應(yīng)用轉(zhuǎn)化)

例2 .求在極坐標(biāo)系下的圓

的圓心坐標(biāo)。

分析:我們學(xué)習(xí)極坐標(biāo)方程的時間較短,接觸不多,對其不太熟悉。因此,我們較難知道 是怎么樣的圓,但化為直角坐標(biāo)后,求圓的圓心坐標(biāo)是我們很熟悉的。應(yīng)該注意的是,最終結(jié)果是圓心的極坐標(biāo)形式,而不是直角坐標(biāo)的形式。

解:把極坐標(biāo)與普通方程的互化公式:

代入極坐標(biāo)方程,得到圓的直角坐標(biāo)方程: ,所以,

因此圓心的直角坐標(biāo)為 ,再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)形式為 ,

即圓 的圓心坐標(biāo)為 。

三、“未知”化為“已知”,把問題的特定量通過題意條件轉(zhuǎn)化到已知部分去求解

例3.設(shè)f(x)是 上的奇函數(shù),

f(x+2)=-f(x),0≤x≤1,f(x)=x,則f(7.5)等于 (A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5)

分析:f(7.5)不在0≤x≤1上,我們無法直接求出f(7.5)的值 ,必須對f(7.5)作適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化使f(7.5)最后在0≤x≤1。

解: f(7.5)=- f(5.5)= f(3.5)=- f(1.5)= f(-0.5)

又f(x)是奇函數(shù), f(-0.5)=- f(0.5)=-0.5,故答案為B。

四、“立體”化為“平面”,在某些立體問題中需要考慮其展開圖,而立體幾何中的計算一般是轉(zhuǎn)化成解平面三角形的相關(guān)問題

例4.在母線長為20cm,上下底面半徑分別為5cm,10cm的圓臺中,從母線AB的中點M拉一根繩子,圍繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到B點, ①求繩子的最短長度;②求此狀態(tài)的繩子和圓臺上底圓周的最短距離。

分析:空間中解決此問題難度較大,因為立體幾何比較抽象,我們應(yīng)把圓臺的側(cè)面展開到平面上,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。

解:如圖,設(shè)圓臺側(cè)面展開圖的圓心角為α,OA=r 則有

解得r=20

由10π=αr 和r=20

得α=π/2

∴繩子的最短長度為

作OD⊥MB, 則

∴ED=24-20=4cm,則繩子和圓臺上底圓周間的最短距離為4cm

五、“幾何條件”轉(zhuǎn)化為“代數(shù)式”(或代數(shù)方程),在解析幾何中常常涉及到一些幾何條件,如線段長度,直線垂直等,應(yīng)轉(zhuǎn)化為成相應(yīng)的代數(shù)式或方程

例5.直線l=mx+1與橢圓C: ,交于A、B兩點,以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB(O為坐標(biāo)原點),求點P的軌跡方程。

分析:設(shè) ,因為OA、OB為平行四邊形OAPB的鄰邊,令E為OP的中點,則E也為AB的中點,通過適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,可以求出點P的軌跡方程。

解:設(shè) ,OP的中點為E,則E的坐標(biāo)為( , )。 由

消去y,得

由韋達(dá)定理得 則有

即AB的中點為E

,于是 消去m,得點P的軌方程為。

六、“多”化“少”,一個式子往往有多個變量或成分,利用題意或適當(dāng)?shù)姆椒ǎ瑴p少變量或變式成分,讓問題易于處理和判別

例6.求拋物線上的點,使得該點與點P(5,0)的距離取最小值。

解:在拋物線任意取一點 m(x,y),則y2=4x

∴當(dāng)x=3時, 取最小值4,即拋物線上的點到P點的距離的最小值為4。

七、“動”與“靜”的轉(zhuǎn)化,數(shù)學(xué)中許多靜止?fàn)顟B(tài)的圖象的位置與形態(tài)可以運動的觀點理解為運動的特殊位置和形態(tài),能使靜止的圖形具有活力,而運動從它的反面找到它的量度,從可變性中挖掘其內(nèi)在確定性

例7. 如圖邊長為2a正三角形ABC頂點A、B,分別在x軸和y 軸上移動,求頂點C 原點O的距離d的最小值和最大值.

分析:動三角形ABC看作相對定點O不動,而O相對三角形ABC運動。此時點O運動軌跡為以AB為直徑的圓,問題就轉(zhuǎn)化為求C到圓上的點的距離的最大值和最小值。

解:將三角形ABC固定,原點O相對三角形ABC運動,其軌跡是以AB為直徑的圓。設(shè)其圓心為p,半徑為a,則

由平面幾何知,可得 。

八、“數(shù)”“形”轉(zhuǎn)化,數(shù)與形是數(shù)學(xué)研究的兩類不同對象,但對同一個問題往往可以用數(shù)與形兩種形式規(guī)劃,二者相互溝通和轉(zhuǎn)化,既可以發(fā)揮數(shù)的嚴(yán)密性,又可以體現(xiàn)形的直觀性

例8.已知實數(shù)x,y滿足

求y/x的最大值。

分析:本題直接求解較為困難,但是把問題轉(zhuǎn)化為求直線OP斜率的最大值。

解:畫出 的圖形 ,設(shè)直線OP的方程為y=kx,則有當(dāng)直線與圓相切時,直線的斜率最大。

∴當(dāng)圓點(2,0)到直線的距離為d,且半徑 時,直線與圓相切。

即 ,解得 ,∴斜率 最大值為 。

總之,這些不同類型的轉(zhuǎn)化,遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能概括“轉(zhuǎn)化思想”的豐富內(nèi)容,而且這些類型也不是絕對的,而是互相交叉、互相滲透的。譬如“一般”化“特殊”, “不熟悉” 化“熟悉”等,特別是“數(shù)” 與“形”轉(zhuǎn)化,我們常用的一些思想方法,對此我們是熟悉的,還要“熟練”的。教師在平時的教學(xué)中要善于引導(dǎo)和鼓勵學(xué)生在學(xué)習(xí)上和生活中經(jīng)常運用轉(zhuǎn)化思想,這樣,將能解決更多的數(shù)學(xué)問題。

參考文獻(xiàn):

[1]翟文剛.轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解決中的運用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究,2000:12—14.

[2]張騫,劉玉云.實施化歸與轉(zhuǎn)化的原則[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(高中),2003:46—48.

[3] 廣東省試題.《中學(xué)數(shù)學(xué)研究》.1999,11—12:16.

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