姜興榮

[摘? 要] 因數(shù)學(xué)解題活動本質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動，故高質(zhì)量的數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)基于數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)和提升. 在解題分析中提升思維的探究性，在問題變式拓展中提升思維的高度，在解題反思中提升元認(rèn)知水平，在解題方法的優(yōu)化中提升思維的寬度，在解題錯(cuò)解剖析與糾正中提升思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)解題;教學(xué)設(shè)計(jì);思維品質(zhì)

從一定程度上說，數(shù)學(xué)教學(xué)的過程就是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的過程. 無論是數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)，還是數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用，都是以某種形式的問題為載體的分析、思考、抽象、探究、解決等數(shù)學(xué)化的思維過程，即數(shù)學(xué)解題的過程. 因此，數(shù)學(xué)解題教學(xué)的質(zhì)量決定著學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的質(zhì)量，進(jìn)而決定著學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)水平. 如何進(jìn)行數(shù)學(xué)解題教學(xué)也就成了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的頭等大事. 由于數(shù)學(xué)解題本質(zhì)上是數(shù)學(xué)思維活動，故高質(zhì)量的數(shù)學(xué)解題教學(xué)應(yīng)基于數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)和提升，這是不言而喻的. 文章擬從教學(xué)設(shè)計(jì)的視角，就如何基于提升學(xué)生思維品質(zhì)進(jìn)行數(shù)學(xué)解題教學(xué)談幾點(diǎn)看法，供同行參考.

高質(zhì)量的數(shù)學(xué)題的求解活動，要求解題者深度理解數(shù)學(xué)知識、深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法、有扎實(shí)的數(shù)學(xué)推理運(yùn)算能力，因而對數(shù)學(xué)教學(xué)具有極高的價(jià)值. 高質(zhì)量的數(shù)學(xué)題往往表現(xiàn)為題設(shè)條件抽象、關(guān)系隱匿，思維過程長，思路不易被發(fā)現(xiàn)，對解題者思維探究力和洞察力要求較高. 學(xué)生的思維水平有一個(gè)逐漸成長和發(fā)展的過程，需要在解題實(shí)踐活動中經(jīng)受長期的鍛煉而逐步形成. 解題分析活動是在教師指導(dǎo)、影響下的師生思維交流、碰撞的活動過程，對學(xué)生思維探究性的快速提升具有極大的促進(jìn)作用. 如何更好、更有效地發(fā)揮解題分析活動的這一作用，需要教師的精心設(shè)計(jì)和智慧化的課堂實(shí)施，現(xiàn)舉例說明之.

案例1：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓方程+=1（a>b>0），F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，C為橢圓的上頂點(diǎn)，過F的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若直線l的斜率為，且=，求橢圓的離心率.

分析二：師：上面這一解法運(yùn)算量偏大，注意到直線l過焦點(diǎn)F，能否從橢圓的定義、對稱性等方面考慮，看看有無其他運(yùn)算量小一些的解法？

讓學(xué)生在獨(dú)立思考、積極探求的基礎(chǔ)上，開展小組學(xué)習(xí)活動，進(jìn)行交流、討論，教師巡視、了解情況，必要時(shí)參與討論，之后，讓每個(gè)小組選派一名代表展示他們的解法.

解法二：過點(diǎn)A，B分別作右準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為A1，B1，過點(diǎn)A作直線BB1的垂線，垂足為H，如圖2.

從學(xué)生的角度看，解題分析活動是一種思維學(xué)習(xí)、鍛煉和感悟的活動，教師的角色應(yīng)定位于：幫助學(xué)生學(xué)會思維，切忌“越位”代替學(xué)生思考. 分析開始階段，教師的幾句引導(dǎo)性用語、師生的簡短對話，主要是對學(xué)生的思維起引發(fā)、定向作用;后續(xù)的探索求解，要讓學(xué)生親身經(jīng)歷思維探究的磨礪，要讓學(xué)生自己充分地展開獨(dú)立思考，確有必要時(shí)再組織生生合作、討論和交流活動，或教師啟發(fā)引導(dǎo)，以此來有效地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力.

數(shù)學(xué)題是用文字、符號和圖形圖表等語言形來表述的，有其內(nèi)在的必然聯(lián)系，蘊(yùn)含著一定的邏輯結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)模式，解題者若能洞悉其本質(zhì)，就能在解題的道路上克難攻堅(jiān)，“能洞悉本質(zhì)”要求解題者必須具備良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，具有一定的思維高度，居高臨下，舉重若輕. 實(shí)踐證明，在不改變問題本質(zhì)的前提下，從不同角度、不同層次、不同背景下變換問題的形式，能營造一種積極的思維氣氛，有效地提升學(xué)生的思維層次和高度，開闊學(xué)生的視野，培養(yǎng)其探索精神和創(chuàng)新意識.

案例2：（教材中的原題）求證：C+2C+3C+…+nC=n·2n-1.

對變式1進(jìn)行逆向思考可得：

變式5：（南京市、鹽城市2019屆高三一模）已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=3，且對任意的n∈N*，都有a1C+a2C+a3C+…+an+1C=（an+2-1）·2n-1，證明：數(shù)列{an}是等差數(shù)列.

本案例從組合數(shù)的系數(shù)視角進(jìn)行了縱向深化式變式拓展和橫向類比式變式拓展. 常見的變式拓展方式有：低維問題向高維問題，常量問題向變量問題，單變量問題向多變量問題，靜態(tài)問題向動態(tài)問題，相似相近對象之間的類比變式拓展，對原題的條件或結(jié)論進(jìn)行弱化或增強(qiáng)或改變或交換等. 如將問題一般化或特殊化，等差數(shù)列問題與等比數(shù)列問題、橢圓問題與雙曲線問題之間進(jìn)行類比，在方程、函數(shù)式中引入?yún)⒆兞?，二元最值問題拓展為三元最值問題等.

解完題后，對解題過程進(jìn)行“回溯”，對整個(gè)解題的心路歷程進(jìn)行回顧總結(jié)、體會反思，從中提煉出重要的數(shù)學(xué)思想方法、有價(jià)值的結(jié)論和思維策略，作為以后解題的思維工具，指導(dǎo)今后的解題活動. 經(jīng)?；慕忸}反思活動，能使解題者學(xué)會對自己的思維活動進(jìn)行實(shí)時(shí)監(jiān)督、主動控制、及時(shí)調(diào)整，在解題中遇到困難時(shí)，能通過自己的元認(rèn)知活動主動調(diào)整思維策略，排除困難，探索到解題的思路. 學(xué)生的解題反思習(xí)慣、反思能力，需要教師在解題教學(xué)過程中引領(lǐng)、培養(yǎng)、提高.

案例3：已知α，β，γ∈R，cos2α+cos2β+cos2γ=1，sinα+sinβ+sinγ=0，求tanγ的最大值.

本題為三元問題，對學(xué)生而言困難較大，需要教師充分發(fā)揮主導(dǎo)作用，在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生思考、小組討論及師生對話互動等一系列活動之下，得到如下兩種解法.

解法二：由解法一得tan2γ===1+≤1+1=2. 當(dāng)且僅當(dāng)sinα=sinβ時(shí)，上式等號成立，所以tanγ的最大值為.

反思：解法一通過消元、運(yùn)用“主元思想”構(gòu)造一元二次方程，將三元問題“降維”為一元問題去處理;解法二通過換元將三元問題化歸為二元問題，進(jìn)而將三元最值問題轉(zhuǎn)化為二元最值問題，由基本不等式輕松獲解. 這兩種思路是我們處理多元問題的基本思想方法.

通過上述反思，學(xué)生在今后遇到此類問題時(shí)，就能主動運(yùn)用上述“降維思想”調(diào)控自己的思維尋找解題思路，完成解題任務(wù).

“一題多法”是解數(shù)學(xué)題的一大特征，體現(xiàn)了一個(gè)解題者思維的寬度指標(biāo). 在多種解法中，有的煩瑣冗長，有的簡捷優(yōu)美;有的常規(guī)基本，有的技巧高超;有的著重代數(shù)方法，有的著重幾何方法，有的著重三角方法;有的方法是數(shù)形結(jié)合，而最好的方法則是常規(guī)、簡捷、優(yōu)美. 這是數(shù)學(xué)解題活動的根本目標(biāo)所在，也是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的努力方向和最高境界. 要實(shí)現(xiàn)這樣的教學(xué)目標(biāo)，必須讓解題教學(xué)過程成為一個(gè)解法對照、比較、優(yōu)化的過程.

案例4：（蘇州市2019屆高三第一學(xué)期調(diào)研）如圖3，長途車站P與地鐵站O的距離為千米，從地鐵站O出發(fā)有兩條道路l1，l2，經(jīng)測量，l1，l2的夾角為45°，OP與l1的夾角θ滿足tanθ=（其中0<θ<），現(xiàn)要經(jīng)過P修一條直路分別與道路l1，l2交匯于A，B兩點(diǎn)，并在A，B處設(shè)立公共自行車停放點(diǎn).

（1）略;（2）考慮環(huán)境因素，需要對OA，OB段道路進(jìn)行翻修，OA，OB段的翻修單價(jià)分別為n元/千米和2n元/千米，要使兩段道路的翻修總價(jià)最少，試確定A，B點(diǎn)的位置.

學(xué)生在解題時(shí)，多數(shù)是建系用解析法做的，其中又有兩種思路. 思路一：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)B（t，t）. 思路二：設(shè)直線AB的方程y=k（x-2）+1.極少有學(xué)生想到用面積法列式求解，而做對該題的學(xué)生為數(shù)不多. 講評時(shí)，如何設(shè)計(jì)教學(xué)過程，來幫助學(xué)生拓寬思路，培養(yǎng)其從多個(gè)角度展開思維能力，應(yīng)是本講評的重中之重. 筆者進(jìn)行了如下設(shè)計(jì)，收到了不錯(cuò)的效果.

先投影展示學(xué)生思路一與思路二的解法如下.

思路一：以直線OA為x軸，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.

接著讓全班學(xué)生觀察分析，對照比較，發(fā)現(xiàn)思路二的解法不僅運(yùn)算量大，而且容易出錯(cuò)，尤其是對k的取值范圍的隱含性容易忽視，從中感悟解題方法的不同選擇，其繁簡程度大為不同.

提問：有沒有其他簡捷的解法？視學(xué)生思考的情形，提示：能否從面積的角度考慮考慮？仍然讓學(xué)生思考想出下述解法.

通過本題這種類型的解題教學(xué)活動，讓學(xué)生知道，解題不應(yīng)止步于能解出問題，應(yīng)有更高遠(yuǎn)的追求：尋求問題的最優(yōu)最美的解法，讓自己的思維飛得更高、更遠(yuǎn).

學(xué)生因身心的成長性、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程性及思維發(fā)展的漸進(jìn)性，在解題的過程中出錯(cuò)是常有的事，從某種角度講，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是在解題出錯(cuò)與剖析糾正的矛盾運(yùn)動中不斷取得進(jìn)步的. 致錯(cuò)原因不外乎這幾個(gè)方面：態(tài)度性錯(cuò)誤，即因態(tài)度不認(rèn)真而致錯(cuò);知識性錯(cuò)誤，即因知識理解不深不透運(yùn)用致錯(cuò);方法性錯(cuò)誤，即因相應(yīng)的方法未掌握或方法運(yùn)用不當(dāng)出現(xiàn)偏差而致錯(cuò);推理錯(cuò)誤，即因推理理由不充分或前后步驟不等價(jià)而致錯(cuò);運(yùn)算錯(cuò)誤，即因用錯(cuò)公式或錯(cuò)用公式致錯(cuò);審題錯(cuò)誤，因?qū)忣}不嚴(yán)不全不深致錯(cuò). 這些錯(cuò)誤背后的根本原因是缺乏思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，所以，剖析出錯(cuò)的原因和糾正錯(cuò)誤的過程都要從基于培養(yǎng)和提高思維的嚴(yán)謹(jǐn)性展開.

學(xué)生在解題中出錯(cuò)，表面上看是知識結(jié)構(gòu)有“漏洞”、有“缺陷”，對問題的理解不夠，深層原因則是在知識學(xué)習(xí)、運(yùn)用的過程中的思維出了問題，本題中的錯(cuò)誤就是思維嚴(yán)謹(jǐn)性不夠使然. 所以，數(shù)學(xué)教學(xué)的根本是數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)和發(fā)展.

綜上所述，解題活動不僅僅是將問題解決，更是一種思維活動;解題教學(xué)不僅僅是教會學(xué)生會解題，更是一種思維鍛煉、思維提升的過程. 解題教學(xué)需要設(shè)計(jì)，在設(shè)計(jì)中定位教學(xué)目標(biāo)，在設(shè)計(jì)中選準(zhǔn)題，在設(shè)計(jì)中變式拓展;在設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上促進(jìn)課堂生成，在設(shè)計(jì)基礎(chǔ)上更好地實(shí)施師生互動，進(jìn)而優(yōu)化解題教學(xué)行為，使解題教學(xué)過程真正成為發(fā)展學(xué)生思維能力的高效活動.