蔡旋旋

摘 ?要：算理是算法的基礎(chǔ)，算法是算理的表征。在小學(xué)階段，對算理的認(rèn)知以及結(jié)構(gòu)性分析是展開計算教學(xué)的前提。在計算教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)驗中建構(gòu)、在直觀中建構(gòu)、在遷移中建構(gòu)。只有讓學(xué)生充分地感悟，循“理”入“法”，才能讓學(xué)生達(dá)到對算理的深層理解和對算法的切實把握。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);計算教學(xué);算理結(jié)構(gòu);教學(xué)措施

計算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分，貫穿于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。學(xué)生計算能力是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，其學(xué)習(xí)生態(tài)優(yōu)劣直接關(guān)涉學(xué)生學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)內(nèi)容。抓好計算教學(xué)，對發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、優(yōu)化學(xué)生學(xué)習(xí)品質(zhì)、形成學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣都具有至關(guān)重要的作用。計算教學(xué)，關(guān)鍵是處理兩個方面的問題：其一是讓學(xué)生理解算理，其二是讓學(xué)生掌握算法。其中，算理是算法的基礎(chǔ)，算法是算理的表征。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師對計算算理進(jìn)行結(jié)構(gòu)性分析，有助于教師形成有效的教學(xué)措施，改進(jìn)計算教學(xué)。

一、對計算教學(xué)中“算理”的認(rèn)知

所謂“算理”，簡單地說，就是“計算的道理”。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，算理有兩層含義：其一是運算的依據(jù)，即每一步運算的內(nèi)在道理，比如“小數(shù)加減法要小數(shù)點對齊”;其二是列式的依據(jù)，即某一個問題為什么用加法而不用減法，用乘法而不用除法。很多時候，這兩種算理是交織在一起的，也就是說，學(xué)生既要理解列式的依據(jù)，也要理解運算的依據(jù)。如果說算法解決的是“怎樣算”的問題，那么算理解決的就是“為什么這樣算”的問題;如果說算法是一種“陳述性知識”，那么算理則是一種“程序性知識”;如果說算法是一種顯性知識，那么算理則是一種隱性知識。算法是抽象的，算理是直觀的。概言之，算法是算理的抽象化、壓縮化的確證與表征。

學(xué)生在計算教學(xué)中，首當(dāng)其沖的就是要理解算理。只有在學(xué)生理解算理的基礎(chǔ)上，才能引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)算法。如果教師淡化、忽視算理教學(xué)，那么學(xué)生就只是“知其然而不知其所以然”，學(xué)生在計算學(xué)習(xí)中更多地就只是“背法則”“背順序”等，算法知識對學(xué)生而言就是機械的、死的知識。作為教師，必須重視算理教學(xué)。從計算知識獲得過程上分析，對“算理”的教學(xué)，有助于學(xué)生對算法的自主建構(gòu)，即在理解算理基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)學(xué)化、形式化的提煉、凝聚;從數(shù)學(xué)建模的視角分析，學(xué)生建構(gòu)算法的邏輯順序就是“理解算理—提煉算法—算法應(yīng)用”。在計算教學(xué)中，教師只有遵循學(xué)生理解算理、建構(gòu)算法的一般邏輯過程，才能讓學(xué)生循“理”入“法”，以“理”馭“法”。

二、對學(xué)生掌握“算理結(jié)構(gòu)”的分析

小學(xué)數(shù)學(xué)計算教學(xué)主要內(nèi)容涉及三個領(lǐng)域、四種運算，即整數(shù)的四則運算、小數(shù)的四則運算以及分?jǐn)?shù)的四則運算。其中，低中年級學(xué)段主要教學(xué)“整數(shù)四則運算”，中高年級學(xué)段主要教學(xué)“小數(shù)四則運算”“分?jǐn)?shù)四則運算”。從整體上看，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加減法的算理具有共通之處，整數(shù)、小數(shù)乘除法的算理具有共通之處。對小學(xué)階段各年級計算的算理進(jìn)行解讀，學(xué)生的體驗與理解主要體現(xiàn)在以下三個方面：

1. “算理素材”的呈現(xiàn)

“算法”是抽象的，“算理”是形象的。因此，如何選擇算理素材進(jìn)行呈現(xiàn)，就成為教師首當(dāng)其沖要思考、解決的問題。毋庸置疑，算理呈現(xiàn)首先要考慮學(xué)生的年齡、心理特征。通常情況下，小學(xué)低年級學(xué)段學(xué)生主要是直觀動作思維，為此教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行操作，可以借助小棒、圓片等讓學(xué)生進(jìn)行探究，比如“湊十法”“破十法”中借助小棒的合并、分拆等的操作;中年級學(xué)段學(xué)生主要是具體形象思維，為此教師要引導(dǎo)學(xué)生借助實物圖、主題圖等進(jìn)行具象化的思考，比如“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”算理的理解;高年級學(xué)段學(xué)生已經(jīng)具備了抽象邏輯思維能力，為此教師可以充分運用學(xué)生的生活經(jīng)驗，借助具體的數(shù)量關(guān)系、線段圖等進(jìn)行理解，比如分?jǐn)?shù)乘除法的算理理解等。優(yōu)化算理的呈現(xiàn)，有助于學(xué)生對算理的建構(gòu)、再構(gòu)，有助于引導(dǎo)學(xué)生抽象、歸納算理，建構(gòu)算法。

2. “算理發(fā)現(xiàn)”的方式

不同學(xué)段學(xué)生對算理發(fā)現(xiàn)的方式是不同的。低年級算理的教學(xué)，教師要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活，充分運用學(xué)生的生活經(jīng)驗，比如《100以內(nèi)數(shù)的加與減》，教師可以啟發(fā)學(xué)生“只有同類的事物可以相加、相減”，從而讓學(xué)生理解個位與個位相加、十位與十位相加。中年級學(xué)段，可以引導(dǎo)學(xué)生借助自己已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，有效地遷移、類比，引導(dǎo)學(xué)生整合、再構(gòu)，比如《三位數(shù)乘兩位數(shù)》，可以讓學(xué)生聯(lián)系《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》，從而讓學(xué)生鞏固算理，并更為深刻地理解算理。高年級學(xué)段，教師要側(cè)重引導(dǎo)學(xué)生感悟，從而獲得對算理的整體性理解，比如對“異分母分?jǐn)?shù)加減法”“小數(shù)的加減法”，要引導(dǎo)學(xué)生和“整數(shù)加減法”的算理聯(lián)通起來，形成“只有計數(shù)單位相同才能直接相加或者相減”的算理。高年級學(xué)段的學(xué)生對算理的理解，更加注重算理的“形”與“質(zhì)”的溝聯(lián)式發(fā)現(xiàn)。

3. “算理結(jié)構(gòu)”的建構(gòu)

在計算教學(xué)中，算理與算法并不是孤立存在的，而是相輔相成、相得益彰的。低年級學(xué)段學(xué)生學(xué)習(xí)的算法，到了中年級學(xué)段有的就成了算理的組成部分;同樣，中年級學(xué)段學(xué)生學(xué)習(xí)的算法，到了高年級學(xué)段有的也成了算理的組成部分。從這個視角看，算理的理解與算法的建構(gòu)是交織在一起的，并且呈現(xiàn)出一種螺旋上升的態(tài)勢。因此，教師在教學(xué)中必須注重引導(dǎo)學(xué)生對算理結(jié)構(gòu)進(jìn)行建構(gòu)，將算理進(jìn)行融通、融合，形成更為上位的算理。其中，有些算理還是一以貫之的。比如低年級學(xué)段“湊十法”就是高年級學(xué)段“湊整法”算理的雛形。如果學(xué)生在低年級學(xué)段理解了“湊十法”，那么學(xué)生在高年級學(xué)段自然能運用“湊整法”對整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)進(jìn)行簡便運算。引導(dǎo)學(xué)生把握算理結(jié)構(gòu)，將有助于引導(dǎo)學(xué)生對算理的深化理解與主動剖析。

三、對“算理教學(xué)”的措施探究

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是自主的、能動的、有意義的建構(gòu)過程。在計算教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過對算理的理解，自行建構(gòu)算法。只有當(dāng)學(xué)生理解了算理，學(xué)生才能感受到算法的合理性、必然性。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)驗中建構(gòu)、在直觀中建構(gòu)、在遷移中建構(gòu)。只有讓學(xué)生充分地感悟，才能讓學(xué)生明理，形成對算法的符號化表達(dá)。

1. 經(jīng)驗：學(xué)生理解算理的動力源泉

經(jīng)驗是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的源頭活水，自然也是學(xué)生理解算理的源頭活水。許多計算的算理，就孕伏于學(xué)生的經(jīng)驗之中。作為教師，可以創(chuàng)設(shè)、運用生活化、經(jīng)驗化的情境，助推學(xué)生對算理的理解。比如教學(xué)北師大版三年級上冊《乘加 （減） 混合運算》，教材中就擁有鮮活的情境：小熊購物，胖胖要買1個蛋糕和4個面包，應(yīng)付多少錢？學(xué)生根據(jù)經(jīng)驗，紛紛認(rèn)為應(yīng)該先算4個面包多少元，再算1個蛋糕和4個面包多少元。由此，學(xué)生能夠列出正確的算式——“3×4+6”或“6+3×4”。在此基礎(chǔ)上，筆者出示了一些算式，比如5×3+6×3等，讓學(xué)生對之賦予意義。由于擁有經(jīng)驗的支持，學(xué)生能根據(jù)算式說出其中的意義。這樣圍繞學(xué)生經(jīng)驗的情境、活動，為學(xué)生理解“先算乘法，后算加法”的“乘加、乘減混合運算”的算理奠定了堅實的基礎(chǔ)。

2. 直觀：學(xué)生理解算理的思維支撐

由于算法是抽象的、理性的，而學(xué)生的思維是感性的、直觀的，因此計算教學(xué)應(yīng)當(dāng)從學(xué)生的直觀入手。直觀，是學(xué)生理解算理的思維支撐，具有生動性、具體性和直接性的特質(zhì)。運用直觀的方式很多，包括模型直觀、圖片直觀、操作直觀等。比如教學(xué)北師大版教材五年級下冊《整數(shù)除以分?jǐn)?shù)》，教材運用四個同樣大的餅（圓形），每2張一份、每1張一份、每 張一份、每 張一份，可以分別分得多少份？通過直觀的圖形，學(xué)生直觀地認(rèn)識到，整數(shù)除以分?jǐn)?shù)單位，就相當(dāng)于整數(shù)乘這個分?jǐn)?shù)單位的倒數(shù)。由此形成學(xué)生的猜想“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)等于整數(shù)乘這個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)”，對于這個猜想，部分學(xué)生借助長方形圖進(jìn)行探究，從而驗證了自己的猜想。這里，學(xué)生對算理的理解完全是通過幾何直觀來實現(xiàn)的，而沒有數(shù)理邏輯的演繹。在計算教學(xué)中，教師要努力尋找直觀因子，發(fā)展學(xué)生的直觀洞察、直觀推理能力。通過直觀，學(xué)生的創(chuàng)造性潛質(zhì)將被充分地激發(fā)。

3. 遷移：學(xué)生理解算理的有效保障

如上所述，算理不是孤立存在，而是普遍關(guān)聯(lián)著的。作為教師，要把握算理結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)點，引導(dǎo)學(xué)生積極地類比、遷移，引導(dǎo)學(xué)生對算理進(jìn)行積極的同化、順應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行算理識別，從而實現(xiàn)對算理的再構(gòu)、再創(chuàng)造。比如教學(xué)北師大版教材四年級下冊《小數(shù)乘法》，教材引導(dǎo)學(xué)生運用多種方法理解“小數(shù)乘整數(shù)”的計算算理，如根據(jù)貨幣單位的轉(zhuǎn)化，進(jìn)而認(rèn)識“位置制”原則;根據(jù)小數(shù)的意義畫出長方形，然后根據(jù)整數(shù)乘法的意義來進(jìn)行解釋;如直接根據(jù)整數(shù)乘法的意義來理解小數(shù)乘整數(shù)的算理。通過對算理的逐步漸進(jìn)式的“解剖”與“深挖”，能實現(xiàn)學(xué)生對算理的個性化理解、個性化創(chuàng)造。當(dāng)然，在學(xué)生最初的算理學(xué)習(xí)中，直觀發(fā)揮著重要的作用，而當(dāng)學(xué)生理解了算理，掌握了算法后，教師可以逐步將直觀隱去，從而打開學(xué)生思維之門，挖掘?qū)W生的直觀能力，開啟學(xué)生的智慧之旅。

理解算理對學(xué)生學(xué)習(xí)計算而言，是最為根本的。在計算教學(xué)中，教師要讓學(xué)生既明理又熟法，有時還要在算理與算法間來回穿行，充分地體驗由直觀算理向抽象算法的過渡、演變。作為教師，要引導(dǎo)學(xué)生以多種方式發(fā)現(xiàn)、探究算理，讓學(xué)生達(dá)到對算理的深層理解和對算法的切實把握。通過算理教學(xué)，為學(xué)生計算提供有效支撐，讓算理充分發(fā)揮其計算的育人價值。