姜丙黃

摘?要：本文以高考數(shù)學題為主要內容，首先簡要介紹類比聯(lián)想法在解題中的主要含義，然后通過理論與實例相結合的方式，從直觀層次、變形層次和構造層次三個方面對類比聯(lián)想法加以應用，以期提高學生數(shù)學解題能力和思維能力的發(fā)展.

關鍵詞：高考數(shù)學; 類比聯(lián)想; 數(shù)學解題

人類智力發(fā)展包括感知、思維等多種能力，而思維能力是智力發(fā)展的核心.類比聯(lián)想法數(shù)學解題策略有助于學生思維能力的發(fā)展，應用類比聯(lián)想法要求學生具備豐富的想象力、一定的知識儲備量和良好聯(lián)想解題策略.因此對于很多高中學生來說，應用類比聯(lián)想法解題相對比較困難，但類比聯(lián)想法的解題效果卻勝似常規(guī)解法.實踐表明，類比聯(lián)想法解題策略可以促進學生知識的聯(lián)想和遷移，把握知識之間的聯(lián)系，形成知識網(wǎng)絡.研究類比聯(lián)想在數(shù)學解題中的應用，不僅有利于學生對知識體系的建構，而且有利于提高學生高考數(shù)學解題的能力和思維能力的發(fā)展.

1?類比聯(lián)想法的含義

波利亞解題思想注重聯(lián)想.他說，在解題活動中我們要設法“預測到解，或解的某些特征，或某一條通向它的小路”“回憶某些有用的東西，把有關的知識動員起來”.而這種預測和回憶就離不開聯(lián)想，如果在思考問題時通過聯(lián)想產(chǎn)生某種預見，我們把它稱為有啟發(fā)性的想法或靈感.波利亞稱想出一個“好念頭”是一種靈感的活動，也是一種聯(lián)想思維過程.有的數(shù)學問題可能具有某種特征，如形式、概念、位置和圖象上有著某種特點，抓住這些特征聯(lián)想、類比，發(fā)現(xiàn)解題方法，或聯(lián)想到其他知識，轉為用其他方法處理.這一解題策略要求思維的發(fā)散及豐富的想象力，當然，解題必須掌握各類知識并能融會貫通[1].

2?類比聯(lián)想法在高中數(shù)學解題中的應用

對于高考數(shù)學題，能夠在有限的時間內想出好的解題策略對于考生來說至關重要.考生如果能在短時間內能根據(jù)不同題目的已知條件和結果之間的關系確定解題思路，就能實現(xiàn)對題目的快速、準確解答，而類比聯(lián)想法在數(shù)學解題方面往往可以使人快速聯(lián)想、準確解答，達到事半功倍的效果.

本文根據(jù)題型的復雜程度將類比聯(lián)想法劃分為：直觀聯(lián)想、變形聯(lián)想、構造聯(lián)想三個層次，方便學生在數(shù)學解題實踐中，靈活運用相應的類比聯(lián)想法.下面以高中數(shù)學真題為例，具體闡述三個層次的聯(lián)想在數(shù)學解題中的應用.

2.1?直觀聯(lián)想

直觀聯(lián)想是通過對題型初步觀察，聯(lián)想到相似數(shù)學知識的一種策略，直觀聯(lián)想法強調直觀感知，是類比聯(lián)想法的最低層次，對學生的想象能力和抽象思維能力要求最低，這一層次的類比聯(lián)想易于學生理解和運用，根據(jù)這類層次題型所具有的位置關系、概念性質的不同，直觀聯(lián)想可進一步劃分為結構聯(lián)想、概念聯(lián)想.

2.1.1?結構聯(lián)想

例1?函數(shù)y=4-sinx3-cosx的最大值為.

觀察函數(shù)y=4-sinx3-cosx的外形結構，可以聯(lián)想到斜率的表達式k=y2-y1x2-x1.

基本性質是定點P（3，4）與動點（cosx，sinx）連線的斜率，而動點（cosx，sinx）的軌跡是一個單位圓.

設過P（3，4）的直線方程為y-4=k（x-3），即kx-y+4-3k=0，如圖1所示，當斜率得最大值時，該直線是單位圓的一條切線，故原點到直線的距離為l，則|4-3k|=1+k2，解得k=6±64.

因此函數(shù)y=4-sinx3-cosx的最大值為6+64.

評注?在解題時，通過題型的位置關系聯(lián)想到斜率表達式，從而將函數(shù)的最大值問題轉化為斜率的最大值問題，進而實現(xiàn)解題.

2.1.2?概念聯(lián)想[3]

例2?（2013年高考重慶卷）若關于實數(shù)x的不等式|x-5|+|x+3|

解?已知不等式可化為

（x-5）2+y2+（x+3）2+y2

由橢圓定義知，平面內動點P（x，0）到兩定點（5，0），（-3，0）的距離和小于兩定點距離時軌跡不存在.

所以a≤8.

評注?絕對值是一個數(shù)在數(shù)軸上到原點的距離，絕對值本質上反映的是距離，由絕對值一維空間上兩個數(shù)之間的距離，聯(lián)想到二維空間上平面直角坐標系兩點之間的距離坐標公式，進而聯(lián)想到橢圓存在的定義，反過來橢圓不存在即原不等式無解.

例3?（2008年高考全國卷）直線xa+yb=1通過M（cosx，sinx），則（?）.

A.a2+b2≤1???B.a2+b2≥1

C.1a2+1b2≤1D.1a2+1b2≥1

解法1?因為點M（cosx，sinx）在圓x2+y2=1上，所以直線與圓相交或相切，故圓心到直線的距離d=-11a2+1b2≤1，所以1a2+1b2≥1.故選D.

解法2?由題意知cosxa+sinxb=1.

根據(jù)柯西不等式得（cos2x+sin2x）（cosxa+sinxb）2=1.

即1a2+1b2≥1.故選D

解法3?令m→=（cosx，sinx），n→=（1a，1b）.

則m→·n→=cosxa+sinxb=1.

因為m→·n→≤m→·n→，

所以1≤cos2x+sin2x·1a2+1b2.

即1a2+1b2≥1.故選D

評注?解法1是結構聯(lián)想法的體現(xiàn)，由點M坐標的參數(shù)表示從而聯(lián)想到單位圓上任意一點都可以這樣表示，直線經(jīng)過圓上某一點意味著直線與圓的位置關系為相交或相切;

解法2是結構關系聯(lián)想的體現(xiàn)，把M（sinx，cosx）代入直線方程中得到cosxa+sinxb=1，再結合選項不難聯(lián)想到柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2;

解法3是概念聯(lián)想的體現(xiàn)，只是從向量的角度去聯(lián)想.通過把M（cosx，sinx）代入直線方程中得到sinxa+cosxb=1， 進而聯(lián)想向量的數(shù)量積概念得到m→·n→=1，其中m→=（cosx，sinx），n→=（1a，1b）.

2.2?變形聯(lián)想

變形聯(lián)想是通過對題目的條件變形或轉換，從而聯(lián)想到熟悉的數(shù)學知識的一種策略.變形聯(lián)想是感知聯(lián)想的高一層次，對學生的能力要求也相對更高.

例4?α，β為銳角，且sin（α+β）=2sinα.

證明α<β.

證明?由sin（α+β）=2sinα，

變形得1sinα=2sin（α+β）.

從而聯(lián)想到正弦定理asinα=bsinβ=csinγ=2R.

如圖2所示，令∠α=∠B，∠β=∠C，則∠A=sin[π-（α+β）]=sin（α+β）.由題意可知∠α所對的邊長為a，∠（α+β）所對的邊長為2a.設∠β所對的邊為x，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊的性質可知，x+a>2a，解得x>a.再由三角形大邊對大角，小邊對小角的性質可知α<β.

評注?例4的證明體現(xiàn)了變形再聯(lián)想的解題策略，通過將已知條件sin（α+β）=2sinα轉化成分母為正弦的三角函數(shù)1sinα=2sin（α+β），此時便于聯(lián)想到正弦定理，再結合三角形的性質可證明此問題.

2.3?構造聯(lián)想

構造聯(lián)想是通過構造一個與已知條件相符合的數(shù)學情境，然后再從情景中聯(lián)想相關的數(shù)學知識的一種解題策略.構造聯(lián)想并非憑空構造，而是結合題型當中的關鍵信息構造與之特征相符合的圖形，最后轉換到更低層次的變形聯(lián)想或者直觀聯(lián)想來解題.因此構造聯(lián)想是最高層次的類比聯(lián)想，對學生的能力要求最高.

例5?（2010年高考浙江卷）已知平面向量α→，β→（α→≠0，α→≠β→）滿足β→=1，且α→與β→-α→的夾角為120°，則α→的取值范圍是.

解法1?如圖3所示，構造符合條件的ΔOAB，則由正弦定理可得，

α→=OA=1sin60°sinB=2 33sinB，其中B∈（0，2π3），故a→∈（0，2 33].

解法2?同解法1構造符合條件的ΔOAB，設OA=α→=x，AB=β→-α→=t，則由余弦定理可得cos60°=x2+t2-122xt.

即t2-xt+x2-1=0（x>0，t>0）.

把方程看作t的一元一次方程，則方程有正實數(shù)解.因對稱軸為t=x2>0，故只需Δ=x2-4（x2-1）≥0即可，解得x∈（0，2 33].

評注?解法1和解法2都體現(xiàn)出構造聯(lián)想法的解題策略，解題的關鍵在于構造了符合已知條件的三角形，解法1由∠OAB=60°及β→=1聯(lián)想到正弦定理求解.

解法2在此基礎上通過聯(lián)想余弦定理構造一元二次方程，從而使問題得到解決.

3?結束語

綜上所述，本文從直觀聯(lián)想（結構聯(lián)想、概念聯(lián)想）、變形聯(lián)想、構造聯(lián)想三個層次闡述了類比聯(lián)想法在高中數(shù)學解題中的具體應用.通過這三個層次聯(lián)想期望讓學生能由淺入深、由易到難把握類比聯(lián)想法的解題中的奧秘，進而有意識地應用類比聯(lián)想法來解高中數(shù)學問題，提升自身的數(shù)學解題能力.

參考文獻：

[1]曾建國.數(shù)學解題策略選講[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學出版社，2011.

[2]蔡小雄.更高更妙的高中數(shù)學[M].杭州：浙江師范大學出版社，2016.

[3]劉沛松.聯(lián)想方法在高中數(shù)學解題思路的分析[J].文理導航，2017（09）：50.